劉林超，閆啟方，陳晴晴

（信陽師范學(xué)院土木工程學(xué)院，河南信陽464000）

非均質(zhì)土體中群樁縱向振動(dòng)的內(nèi)外域模型解

劉林超，閆啟方，陳晴晴

（信陽師范學(xué)院土木工程學(xué)院，河南信陽464000）

考慮土體沿徑向的非均質(zhì)特性，將樁周土體分為內(nèi)域土和外域土兩部分?；贜ovak薄層法分別求解了內(nèi)域土和外域土的豎向振動(dòng)。考慮內(nèi)域土和外域土接觸面的連續(xù)性條件，求得了樁土豎向動(dòng)力相互作用的等效Winkler彈簧-阻尼器模型的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。根據(jù)土體豎向位移衰減函數(shù)和樁樁豎向動(dòng)力相互作用因子的定義，考察了非均質(zhì)土體的豎向位移衰減函數(shù)和非均質(zhì)土體中樁樁豎向動(dòng)力相互作用因子，進(jìn)而研究了非均質(zhì)土中群樁的豎向動(dòng)力阻抗。研究表明，非均質(zhì)土體的豎向位移衰減函數(shù)和非均質(zhì)土中群樁的豎向振動(dòng)可以退化到均質(zhì)土的情形，忽略樁周土體沿徑向的非均質(zhì)特性將導(dǎo)致土體豎向位移衰減函數(shù)偏小而群樁豎向動(dòng)力阻抗偏大，樁周土體內(nèi)外域剪切模量比和樁間距等對(duì)群樁豎向振動(dòng)有較大的影響。

土動(dòng)力學(xué)；群樁；縱向振動(dòng)；衰減函數(shù)；剪切模量比

引 言

樁基礎(chǔ)在建筑工程基礎(chǔ)、橋梁工程基礎(chǔ)、動(dòng)力機(jī)械基礎(chǔ)、高速鐵路基礎(chǔ)等眾多工程領(lǐng)域中有著較大的應(yīng)用。由于樁基不但要承受靜力荷載的作用，通常還要承受縱向、水平和扭轉(zhuǎn)等各種形式動(dòng)態(tài)激勵(lì)的作用，同時(shí)由于地震等隨機(jī)動(dòng)態(tài)荷載的破壞性對(duì)建筑物樁基礎(chǔ)性能的影響非常大，近幾十年來關(guān)于樁基振動(dòng)特性的研究越來越受到關(guān)注，并取得了很好的研究成果［1-6］，這些研究都是假設(shè)樁周土體為均質(zhì)土，實(shí)際上這是一種理想化的情形。然而實(shí)際工程中所遇到的場(chǎng)地土一般都是成層非均質(zhì)的，在振動(dòng)中樁側(cè)土將會(huì)發(fā)生部分弱化而使其剛度降低［7］。對(duì)于土體狀態(tài)、力學(xué)性能或土工參數(shù)等隨深度或徑向發(fā)生變化的土體稱之為非均質(zhì)土，當(dāng)前主要從兩個(gè)方面來考慮樁周土體的非均質(zhì)特性，一種是針對(duì)土體的豎向方向分層情況，如LU Shu-hui等［8］在考慮橫向慣性效應(yīng)的情況下研究了層狀土中端承樁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，王玨等［9］通過在Winkler模型中引入描述地基土剪切效應(yīng)的第二地基參數(shù)，采用初參數(shù)法和傳遞矩陣法得到了層狀地基中鄰樁的動(dòng)力相互作用因子；另一種是考慮樁周土體沿徑向的非均質(zhì)特性，由于樁周土的弱化區(qū)域相對(duì)有限，通常在大于5倍樁徑的區(qū)域后這種弱化就不十分明顯了。所以，目前針對(duì)徑向非均質(zhì)土中樁基振動(dòng)的研究時(shí)，在處理樁周土體時(shí)通常將樁周土劃分為內(nèi)域土和外域土來處理，在內(nèi)域土剪切模量的處理方面有兩種方法，一種是將內(nèi)域土視為沿徑向的非線性土體，如Hans Vaziri［10］和Chau K T［11］等假定樁周土剪切模量沿徑向滿足雙曲本構(gòu)關(guān)系對(duì)徑向非均質(zhì)土中單樁振動(dòng)進(jìn)行了研究；另一種是較為常用的方法就是將內(nèi)域土剪切模量也視為常量來處理，如周鐵橋等［12］研究了軸對(duì)稱徑向非均質(zhì)土中樁的縱向振動(dòng)特性，楊冬英等［13］在三維軸對(duì)稱條件下，基于連續(xù)介質(zhì)模型進(jìn)行了縱、徑雙向非均質(zhì)土中樁的縱向動(dòng)力特性研究。本文將考慮樁周土體沿徑向的非均質(zhì)特性來研究非均質(zhì)土體中群樁的縱向振動(dòng)特性。

1 樁周非均質(zhì)土層縱向振動(dòng)求解

將圖1所示的樁基周圍的土介質(zhì)視為由樁周弱化土組成的內(nèi)域土和外圍土組成的外域土兩部分組成，內(nèi)域土和外域土均為均質(zhì)各向同性介質(zhì)，且內(nèi)域土的剪切模量比外域土的剪切模量小。假設(shè)樁長與土層厚度相等，都為H，樁身半徑為r0，內(nèi)域土半徑為r1，G1和ρ1分別為外域土體的剪切模量和密度，ξ1為外域土體的粘滯阻尼系數(shù)，w1為外域土體z方向的位移分量，G2和ρ2分別為內(nèi)域土體的剪切模量和密度，ξ2為內(nèi)域土體的粘滯阻尼系數(shù)，w2為內(nèi)域土體z方向的位移分量。將土體劃分為無窮多的薄土層，當(dāng)樁頂作用豎向簡諧荷載時(shí)，樁周的薄土層也將作豎向穩(wěn)定振動(dòng)，根據(jù)Novak薄層法，假定薄土層的縱向振動(dòng)互相獨(dú)立，且忽略薄土層的徑向位移和切向位移，僅考慮土體的豎向位移。對(duì)于樁周的外域土體和內(nèi)域土體可分別建立其縱向振動(dòng)控制方 程 為［14］

式中 i為虛數(shù)單位，ω為樁頂豎向簡諧荷載的頻率。首先求解外域土體的縱向振動(dòng)，式（1）整理可得

對(duì)式（3）進(jìn)行無量綱化，令νs1=則有

其中，q2=-。求解式（4）并考慮無窮遠(yuǎn)處土體的邊界條件，則有

由此可得外域土體無量綱化的豎向剪切應(yīng)力為

同樣的，對(duì)內(nèi)域土體的縱向振動(dòng)方程（2）進(jìn)行無量綱化，并整理可得

圖1 管樁-土相互作用模型Fig.1 Interactional model of pipe pile-soil

2 非均質(zhì)土-樁Winkler彈簧-阻尼器模型的系數(shù)

將非均質(zhì)土與樁的動(dòng)力相互作用用Winkler彈簧-阻尼器模型來描述，為此需要先求出Winkler彈簧-阻尼器模型的剛度和阻尼系數(shù)。設(shè)薄土層壁處（樁土接觸面處）產(chǎn)生的無量綱化縱向位移為1，相應(yīng)的邊界條件為

考慮內(nèi)域與外域接觸面邊界條件的連續(xù)性，有

應(yīng)力即式（5），（6），（8）和（9），以及邊界條件式（10）和（11），則有

由式（12）～（14）可得

由此可得非均質(zhì)土-樁Winkler彈簧-阻尼器相互模型的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別為ks=Real（R），Cz=Imag（R）。

3 非均質(zhì)土層的縱向位移衰減函數(shù)及樁-樁動(dòng)力相互作用因子

主動(dòng)樁在樁頂簡諧激勵(lì)的作用下，將引起樁周土體的振動(dòng)，導(dǎo)致樁周土產(chǎn)生向外擴(kuò)散的柱狀波的傳播，假定柱狀波沿水平方向傳播，考慮內(nèi)域土和外域土的縱向位移式（16）和式（18），在Dobry R等人研究的基礎(chǔ)上［15］，可知外域土和內(nèi)域土的縱向位移的衰減函數(shù)分別為

圖2 G不同時(shí)外域土縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線（S/r0=12，r1/r0=10）Fig.2 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different G（S/r0=12，r1/r0=10）

圖3 r1不同時(shí)外域土縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線（S/r0=12，G=0.5）Fig.3 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different r1（S/r0=12，G=0.5）

圖4 S/r0不同時(shí)外域土縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線（G=0.5，r1/r0=10）Fig.4 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different S/r0（G=0.5，r1/r0=10）

圖5 G不同時(shí)內(nèi)域土縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線（S/r0=6，r1/r0=10）Fig.5 Vertical displacement attenuation function of inner zone soil varying with frequency for different G（S/r0=6，r1/r0=10）

圖6 r1不同時(shí)內(nèi)域土縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線（S/r0=6，G=0.5）Fig.6 Vertical displacement attenuation function of outer inner soil varying with frequency for different r1（S/r0=6，G=0.5）

圖7 S/r0不同時(shí)內(nèi)域土縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線（G=0.5，r1/r0=10）Fig.7 Vertical displacement attenuation function of inner zone soil varying with frequency for different S/r0（G=0.5，r1/r0=10）

圖2～4給出了外域土的縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線，圖5～7給出了內(nèi)域土的縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線。從縱向位移衰減函數(shù)隨頻率曲線可以看出，非均質(zhì)土的縱向位移衰減可以退化到均質(zhì)土的情況，隨著頻率的增大，無論是內(nèi)域土還是外域土，其縱向位移衰減函數(shù)隨頻率的增大都將趨近零，這是由于頻率過大時(shí)土體位移還沒來得及發(fā)生反應(yīng)外界激勵(lì)就向相反方向作用了。從圖2可以看出，均質(zhì)土的縱向位移衰減函數(shù)隨頻率變化曲線的峰值最小，峰值對(duì)應(yīng)的頻率最大；隨著內(nèi)域土體剪切模量的增大，外域土的縱向位移隨頻率的衰減函數(shù)越?。ㄈ鐖D2所示），但峰值對(duì)應(yīng)的頻率越大。內(nèi)域土范圍越大（即r1/r0越大），外域土的縱向位移隨頻率的衰減函數(shù)越大而峰值對(duì)應(yīng)的頻率也越?。ㄈ鐖D3所示）?？梢?，如果忽略樁周土體沿徑向的非均質(zhì)特性而將土體視為均質(zhì)土的話將導(dǎo)致縱向位移衰減函數(shù)偏小。樁間距（S/r0）對(duì)外域土的縱向位移衰減函數(shù)也有影響，樁間距（S/r0）越大縱向位移衰減函數(shù)越小，主動(dòng)樁振動(dòng)產(chǎn)生的柱狀波隨著樁間距的增大將逐漸衰減。內(nèi)外域土體剪切模量比對(duì)內(nèi)域土縱向位移衰減函數(shù)（如圖5所示）的影響較外域土縱向位移衰減函數(shù)（如圖2所示）要大。對(duì)于內(nèi)域土，剪切模量越小時(shí)，內(nèi)域土的縱向位移衰減函數(shù)隨頻率的變化曲線在低頻范圍內(nèi)存在輕微的波動(dòng)，這是由于內(nèi)域土剪切模量較小時(shí)，其對(duì)土體的約束作用過小導(dǎo)致的波動(dòng)。內(nèi)域土體的范圍對(duì)樁周土縱向位移衰減函數(shù)的影響較?。ㄈ鐖D6所示），這是由于樁周土體的弱化主要在樁周附近大約4倍樁徑范圍［13］，當(dāng)r1/r0小于4時(shí)，即r1/r0=3時(shí)，相互作用因子虛部隨頻率變化曲線峰值較大，而峰谷較小。對(duì)于內(nèi)域土體，樁間距（S/r0）對(duì)內(nèi)域土縱向位移衰減函數(shù)的影響很大（如圖7所示），樁間距（S/r0）越大，內(nèi)域土的縱向位移衰減函數(shù)越小，衰減函數(shù)隨頻率變化曲線的峰值對(duì)應(yīng)的頻率也越小。

圖8 樁-樁相互作用模型Fig.8 pile-pile interaction model

為了確定圖8所示非均質(zhì)土體中樁樁的縱向動(dòng)力相互作用因子，假定圖8所示的主動(dòng)樁和被動(dòng)樁的幾何尺寸、材料性質(zhì)、半徑、長度都相同，半徑為r0，樁長為H，都為端承樁。忽略主動(dòng)樁和被動(dòng)樁的徑向尺寸以軸線代替，主動(dòng)樁與被動(dòng)樁的軸線間距為S。主動(dòng)樁在樁頂簡諧激勵(lì)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)波僅沿水平方向傳播，進(jìn)而引起被動(dòng)樁的振動(dòng)。被動(dòng)樁在水平振動(dòng)波作用下引起的縱向位移與主動(dòng)樁縱向位移之比即為樁樁縱向動(dòng)力相互作用因子。

非均質(zhì)土與樁之間的動(dòng)力相互作用利用Winkler彈簧-阻尼器模型來描述，其剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)由式（20）確定。對(duì)于主動(dòng)樁可建立如下無量綱化的縱向振動(dòng)方程

式中yp1（）為主動(dòng)樁無量綱縱向振動(dòng)位移幅值，對(duì)于端承樁，主動(dòng)樁上下兩端無量綱化后的邊界條件為

由主動(dòng)樁縱向位移式（25）可以求得樁身任一點(diǎn)分布力，再由樁頂作用力和樁頂縱向位移可以得到單樁樁頂?shù)呢Q向動(dòng)態(tài)復(fù)剛度

主動(dòng)樁的縱向振動(dòng)將引起周圍土體的縱向位移，進(jìn)而引起被動(dòng)樁樁周土體的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，由非均質(zhì)土的縱向位移衰減函數(shù)式（21）和（22）知被動(dòng)樁處引起的土體縱向位移為ψ，考慮式（20）同樣可以建立被動(dòng)樁的無量綱縱向振動(dòng)方程為

根據(jù)相互作用因子的定義考慮主動(dòng)樁和被動(dòng)樁樁頂縱向位移，可得非均質(zhì)土中樁樁縱向動(dòng)力相互作用因子的表達(dá)式為

4 非均質(zhì)土中群樁豎向動(dòng)力阻抗

設(shè)n×n群樁中各根樁的幾何尺寸、材料屬性等相同，且對(duì)稱分布。忽略扭轉(zhuǎn)作用的影響，僅考慮豎向軸力作用。設(shè)群樁樁頂作用有簡諧荷載，無量綱化后的縱向荷載幅值設(shè)為Pq，第i根樁的軸力設(shè)為Ni，第i根樁在自身豎向軸力Ni作用下和其余n-1根樁的影響下產(chǎn)生的位移記為WGi（0），群樁的無量綱豎向位移記為WG（0）。考慮承臺(tái)的約束作用以及承臺(tái)處的平衡條件則有

由式（30）和（31）可求得群樁的豎向位移WG（0）和各單樁分擔(dān)的縱向荷載Ni。考慮群樁縱向動(dòng)力阻抗的定義，則有

為了便于比較，群樁縱向動(dòng)力阻抗的實(shí)部和虛部同除以n2倍的單樁剛度，引入群樁的縱向動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼，即

5 3×3群樁縱向動(dòng)力阻抗數(shù)值分析

這里以圖9所示3×3群樁為例來分析非均質(zhì)土中群樁的縱向動(dòng)力阻抗，這里主要考慮兩種情形，一種是被動(dòng)樁全部在主動(dòng)樁內(nèi)域的情形，一種是被動(dòng)樁全部在主動(dòng)樁外域的情形。對(duì)于部分被動(dòng)樁在主動(dòng)樁內(nèi)域，部分在主動(dòng)樁外域的情形，需要根據(jù)每根被動(dòng)樁相對(duì)主動(dòng)樁所處位置的不同，分別求出其對(duì)應(yīng)的相互作用因子，然后再在求出的相對(duì)因子的基礎(chǔ)上求解群樁動(dòng)力阻抗，但計(jì)算量相對(duì)要大得多。

圖9 群樁模型Fig.9 Pile group model

圖10和11分別給出了內(nèi)域土與外域土剪切模量比和樁間距不同時(shí)，被動(dòng)樁全部在主動(dòng)樁內(nèi)域范圍的情形；圖12和13為被動(dòng)樁全部在主動(dòng)樁外域的情況，從圖上可以看出群樁縱向動(dòng)力阻抗考慮土體非均質(zhì)性相對(duì)均質(zhì)土的差別較大?？梢钥闯?，不論是被動(dòng)樁群在主動(dòng)樁內(nèi)域還是外域，在低頻時(shí)，非均質(zhì)土中群樁縱向振動(dòng)的動(dòng)剛度變化不大（如圖10，12所示），此時(shí)樁基類似于埋置基礎(chǔ)，而內(nèi)域土的剪切模量較外域土剪切模量較小時(shí)，也就是樁周土弱化的越明顯，動(dòng)阻尼隨頻率的變化曲線在低頻時(shí)將產(chǎn)生波動(dòng)；在高頻時(shí)，內(nèi)外域剪切模量比越大，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼越大，且動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼隨頻率變化曲線峰值對(duì)應(yīng)的頻率越大。樁間距對(duì)非均質(zhì)土中群樁縱向動(dòng)力阻抗的影響如圖11和13所示，樁間距對(duì)動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼的影響相對(duì)較大且較為復(fù)雜，樁間距對(duì)群樁縱向動(dòng)力阻抗的影響與頻率有一定的關(guān)系，樁間距對(duì)群樁縱向動(dòng)力阻抗的影響與均質(zhì)土的情況不同［16］，在整個(gè)頻率內(nèi)動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼隨頻率變化曲線沒有均質(zhì)土的情況平緩，且在低頻時(shí)非均質(zhì)土動(dòng)阻尼隨頻率變化曲線有較大的波動(dòng)。對(duì)比圖10和12可以看出，內(nèi)域范圍r1/r0=30時(shí)相對(duì)內(nèi)域范圍r1/r0=3時(shí)，r1/r0=3時(shí)的情況反而更接近均質(zhì)土的情形，這是因?yàn)榇藭r(shí)樁間距較大，被動(dòng)樁全部在主動(dòng)樁外域范圍內(nèi)，由于r1/r0→1時(shí)和r1/r0→∞同樣都是接近均質(zhì)土的情形。而r1/r0=3相對(duì)r1/r0=30更接近均質(zhì)圖的情形，所以圖12中非均質(zhì)土和均質(zhì)土的結(jié)果相對(duì)圖10更接近。可見，在進(jìn)行群樁設(shè)計(jì)時(shí)，忽略樁周土沿徑向的非均質(zhì)特性是不合適的，同時(shí)還需要綜合考慮被動(dòng)樁的范圍和樁間距等的影響，其設(shè)計(jì)相對(duì)均質(zhì)土要復(fù)雜得多。

圖10 被動(dòng)樁全部在內(nèi)域時(shí)群樁縱向動(dòng)力阻抗（S/r0= 4，r1/r0=30）Fig.10 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of inner zone soil（S/r0= 4，r1/r0=30）

圖11 被動(dòng)樁全部在內(nèi)域時(shí)群樁縱向動(dòng)力阻抗（G= 0.5，r1/r0=30）Fig.11 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of inner zone soil（G=0.5，r1/r0=30）

圖12 被動(dòng)樁全部在外域時(shí)群樁縱向動(dòng)力阻抗（S/r0= 10，r1/r0=3）Fig.12 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of outer zone soil（S/r0= 10，r1/r0=3）

圖13 被動(dòng)樁全部在外域時(shí)群樁縱向動(dòng)力阻抗（G= 0.5，r1/r0=3）Fig.13 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of outer zone soil（G=0.5，r1/r0=3）

6 結(jié) 論

在考慮樁周土體沿徑向非均質(zhì)特性的情況下，研究了非均質(zhì)土體的縱向位移衰減函數(shù)，并在樁樁動(dòng)力相互作用因子和樁樁疊加原理的基礎(chǔ)上研究了非均質(zhì)土中群樁的縱向振動(dòng)特性。通過數(shù)值算例得到如下結(jié)論：非均質(zhì)土中群樁的振動(dòng)解可以退化到均質(zhì)土體的情形；內(nèi)外域土剪切模量比和樁間距等參量對(duì)土體縱向位移衰減函數(shù)和群樁縱向振動(dòng)有較大影響；在外界頻率較低的情況下，群樁的縱向振動(dòng)類似于埋置基礎(chǔ)；由于樁周土沿徑向的非均質(zhì)特性對(duì)土體縱向位移衰減函數(shù)和群樁縱向動(dòng)力阻抗有較大影響，在實(shí)際工程應(yīng)用中盡量考慮土體的非均質(zhì)特性。最后，需要指出的是，文中雖然通過將樁周土劃分為內(nèi)域土和外域土的方法考慮了每根樁樁側(cè)土的非均勻性，且只考慮了被動(dòng)樁完全在主動(dòng)樁內(nèi)域或外域的特殊情況，在更復(fù)雜群樁工況的分析方面還存在著不足，與工程實(shí)際還有一定的差距，為此需要開展這方面的進(jìn)一步研究。

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Solution of vertical vibration of pile groups for inner and outer regions model of heterogeneous soil

LIU Lin-chao，YAN Qi-fang，CHEN Qing-qing
（School of Civil Engineering，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，China）

Considering the heterogeneous characteristics along the radial direction of the soil around the pile，the soil is divided into two regions：the inner region and the outer region.The vertical vibrations of the inner region soil and outer region soil are solved based on the Novak′s layer method，and the stiffness and damping coefficients of equivalent Winkler spring-damper model of the dynamic interaction of pile-soil is obtained by considering the inner region and outer region contact surface continuity conditions.According to the definitions of vertical displacement attenuation function and pile-pile vertical dynamic interaction factor，the vertical displacement attenuation function of heterogeneous soil and pile-pile vertical dynamic interaction factor are investigated，and the vertical dynamic impedance of pile groups in heterogeneous soil is also analyzed.The results indicate that the vertical displacement attenuation function of heterogeneous soil and the vertical vibration of pile groups in heterogeneous soil can be degenerated into the case of homologous soil；ignoring the heterogeneity of the soil around the pile along the radial direction will result in a smaller vertical displacement attenuation function of soil and a smaller vertical dynamic impedance of pile groups.The shear modulus ratio of inner region and outer region soil，the pile spacing distance have great effects on the vertical vibration of pile groups in heterogeneous soil.

soil dynamics；pile groups；vertical vibration；attenuation function；shear modulus ratio

TU435；TU473.1

A

1004-4523（2015）05-0822-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.018

劉林超（1979—），男，博士，副教授。電話：（0376）6391575；E-mail：llc109@126.com

2014-04-16；

：2015-04-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（U1504505）；河南省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（112300410105，142102210063）；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目（15A560036）；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目（2013GGJS-121）；信陽師范學(xué)院重大課題預(yù)研項(xiàng)目（2013ZDYY19）；信陽師范學(xué)院青年科研基金資助項(xiàng)目（2014-QN-063）；信陽師范學(xué)院青年骨干教師資助計(jì)劃（2012007）