元 野，楊綠峰，2，周 明

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧530004;2.廣西壯族自治區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)廳，廣西 南寧530028)

0 引 言

在高速鐵路、跨江海大型橋梁和海港碼頭等基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)中所出現(xiàn)的混凝土中鋼筋的銹蝕問題已引起混凝土科學(xué)與工程界的高度重視，而氯離子正是引起鋼筋銹蝕最主要的原因［1］。鋼筋銹蝕導(dǎo)致鋼筋有效受力截面縮小，混凝土保護(hù)層出現(xiàn)裂縫，這大大縮短結(jié)構(gòu)工作壽命，危害結(jié)構(gòu)承載力和安全性。因此，正確選取混凝土中氯離子擴(kuò)散模型及參數(shù)表達(dá)形式，并據(jù)此分析混凝土中氯離子擴(kuò)散過程和分布規(guī)律，這是進(jìn)行結(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，具有重要的工程意義和學(xué)術(shù)研究價(jià)值。

目前，學(xué)術(shù)界和工程界普遍使用Fick 第二定律［2］描述氯離子擴(kuò)散過程，并假設(shè)混凝土表面氯離子濃度為恒定值，建立氯離子分布函數(shù)的求解方法，進(jìn)而分析結(jié)構(gòu)的耐久性及服役壽命。然而，研究表明，處于氯鹽環(huán)境下的真實(shí)混凝土結(jié)構(gòu)，其表面氯離子濃度并不是恒定值。趙羽習(xí)等［3］檢測實(shí)際工程混凝土中氯離子濃度擬合時(shí)發(fā)現(xiàn)，混凝土表面氯離子濃度隨時(shí)間逐步積累升高，并最終達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值。王命平等［4］建立了鹽霧區(qū)混凝土結(jié)構(gòu)表面氯離子濃度隨時(shí)間變化的分段線性模型;Petcherdchoo［5］利用暴露試驗(yàn)數(shù)據(jù)和平方根模型擬合了隨時(shí)間變化的表面氯離子濃度;Cost 等［6］通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合，得到不同環(huán)境作用區(qū)域表面氯離子濃度的冪函數(shù)模型;Song 等［7］提出利用表面氯離子濃度的對(duì)數(shù)模型擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果效果較好;Kassir 等［8］應(yīng)用指數(shù)模型來描述表面氯離子濃度的時(shí)變性。余紅發(fā)等［9］引入表面氯離子濃度指數(shù)模型，推導(dǎo)出表面氯離子濃度時(shí)變的一維擴(kuò)散解析解。Ann 等［10］求解了表面氯離子濃度為線性模型和平方根模型的氯離子擴(kuò)散解析解，并比較了不同表面氯離子濃度模型對(duì)氯離子擴(kuò)散過程的影響，并發(fā)現(xiàn)這種影響可能使預(yù)測的混凝土服役壽命相差2 ～3 倍。上述研究表明，混凝土表面氯離子濃度時(shí)變性對(duì)混凝土中氯離子的擴(kuò)散過程和濃度分布規(guī)律有顯著影響。

由于混凝土的氯離子擴(kuò)散系數(shù)屬于材料參數(shù)，當(dāng)水化齡期增加時(shí)，混凝土抗氯離子滲透能力逐漸增強(qiáng)［11］。Takewake 等［12］通過實(shí)驗(yàn)研究了擴(kuò)散系數(shù)隨混凝土暴露時(shí)間而發(fā)生變化的規(guī)律，提出了擴(kuò)散系數(shù)衰減經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。Mangat 等［13］提出了擴(kuò)散系數(shù)冪函數(shù)衰減經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?jù)此研究了混凝土中氯離子的濃度分布。Maage 等［14］通過分析在役混凝土檢測數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出了擴(kuò)散系數(shù)的冪函數(shù)時(shí)變模型。Song 等［15］研究認(rèn)為應(yīng)該引入時(shí)變擴(kuò)散系數(shù)修正氯離子擴(kuò)散控制方程，據(jù)此得到正確的氯離子擴(kuò)散解析解。Tang 等［16］詳細(xì)分析了擴(kuò)散系數(shù)時(shí)變條件下由于解析解簡化推導(dǎo)造成的誤差，給出了不同擴(kuò)散系數(shù)時(shí)變模型的解析解形式。姚詩偉［17］應(yīng)用Laplace 變換方法推導(dǎo)了擴(kuò)散系數(shù)時(shí)變條件下Fick第二定律的解析解。楊綠峰等［18］建立了時(shí)變擴(kuò)散系數(shù)下的氯離子二維擴(kuò)散解析解，并考慮混凝土初始暴露齡期的影響而提出了簡化計(jì)算方法?？梢?，氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)變性不可忽略，正確引入擴(kuò)散系數(shù)時(shí)變性才可以準(zhǔn)確得到混凝土中氯離子擴(kuò)散和濃度分布規(guī)律。

綜上可知，氯離子侵蝕環(huán)境下的混凝土結(jié)構(gòu)表面氯離子濃度和擴(kuò)散系數(shù)都具有時(shí)變性，需要在混凝土結(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計(jì)中加以考慮。Frederiksen 等［19］研究了表面氯離子濃度呈冪函數(shù)變化、擴(kuò)散系數(shù)也為時(shí)變函數(shù)時(shí)，擴(kuò)散控制方程的雙伽瑪函數(shù)簡化形式解析解。事實(shí)上，不同環(huán)境腐蝕條件下的表面氯離子濃度時(shí)變規(guī)律存在差異，但上述研究只求解了表面氯離子濃度為冪函數(shù)時(shí)的解析解，筆者認(rèn)為有必要結(jié)合不同的表面氯離子濃度時(shí)變模型，同時(shí)考慮擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)變性，據(jù)此研究建立雙時(shí)變條件下的擴(kuò)散控制方程解析解，為混凝土結(jié)構(gòu)耐久性分析和設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

本文同時(shí)考慮擴(kuò)散系數(shù)及表面氯離子濃度的時(shí)變性，利用變量代換法和Laplace 積分變換法求解雙時(shí)變條件下擴(kuò)散控制微分方程，求解得到線性模型、平方根模型、冪函數(shù)模型和對(duì)數(shù)模型等4 類不同表面氯離子濃度時(shí)變模型的雙時(shí)變解析解，并據(jù)此研究混凝土表面氯離子濃度和氯離子擴(kuò)散系數(shù)時(shí)變性對(duì)混凝土中氯離子擴(kuò)散過程的影響。

1 混凝土中氯離子擴(kuò)散的時(shí)變模型

氯鹽侵蝕環(huán)境下，混凝土中氯離子擴(kuò)散過程可以采用Fick 第二定律微分控制方程進(jìn)行描述，即

式中，C(x，t)表示暴露時(shí)間為t 時(shí)，混凝土中距表面x 深度處的氯離子濃度;D(t)為混凝土的氯離子擴(kuò)散系數(shù)，通常采用其表觀值;D0為初始暴露齡期t0時(shí)刻的混凝土氯離子擴(kuò)散系數(shù)，簡稱為混凝土的初始齡期擴(kuò)散系數(shù)，可通過RCM 法測得;f(t)為氯離子擴(kuò)散系數(shù)的齡期衰減函數(shù);n 是齡期衰減系數(shù)，根據(jù)長期暴露混凝土在不同時(shí)刻t 的D 值擬合得到。

式(1)應(yīng)滿足初始條件

及邊界條件

式中，C0為混凝土的初始氯離子濃度;CS(t)為混凝土的表面氯離子濃度時(shí)變函數(shù)，其時(shí)變性通常采用線性［4］、平方根［5］、冪函數(shù)［6］和對(duì)數(shù)［7］等模型描述，應(yīng)根據(jù)實(shí)際工程所處環(huán)境和混凝土組份選擇合適的模型。

2 D 和CS雙時(shí)變下的解析解

將其在時(shí)間域［0，t］上積分，可以求得表達(dá)式:

令齡期衰減函數(shù)f(t)為變量T(t)的一階導(dǎo)數(shù)，即:

鑒于t0＜＜t，故式(7)可以簡化為［18］:

求逆函數(shù)得:

考慮式(6)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得:

根據(jù)式(7)可知，T 與時(shí)間t 的量綱相同，因而，式(1)的初始條件和邊界條件可以表達(dá)為:

將式(11)、(12)、(13)、(14)聯(lián)立，引入過余函數(shù)G(x，T)=C(x，T)-C0和GS(T)=CS［t(T)］-C0，則上述控制微分方程及其初始條件和邊界條件可轉(zhuǎn)化為:

對(duì)式(15)各項(xiàng)兩邊施行對(duì)變量T 的Laplace 變換，令:

并代入邊界條件得:

求解式(17)的通解為:

對(duì)式(21)兩邊施加Laplace 逆變換得:

《舌尖1》是找到了菜然后再去發(fā)掘背后的故事，《舌尖2》是找了個(gè)故事然后讓主人公順便做個(gè)菜?？赐辍渡嗉?》，我們體會(huì)到，中國人無論生活在什么樣的境況中，都在快樂地尋找生命中的美味；但在《舌尖2》，我們認(rèn)識(shí)到，無論做出多么美味的食物，他們的生活始終充滿著痛苦離散和磨難。

將過余函數(shù)G(x，T)=C(x，T)-C0代入，得到任意時(shí)變邊界條件下擴(kuò)散系數(shù)時(shí)變的解析解通式為:

依據(jù)Laplace 變換表格，可以將各種不同的CS(t)時(shí)變模型代入通式，再將T 用式(8)替換，即可得到與不同表面氯離子濃度時(shí)變模型對(duì)應(yīng)的雙時(shí)變條件下的解析解，該解析解應(yīng)滿足初始條件。

若表面氯離子濃度的時(shí)變模型可表示為函數(shù):

式中，C1和α 為時(shí)變項(xiàng)系數(shù)。當(dāng)α=1 時(shí)，CS(t)為線性模型［4］;當(dāng)α=1/2 時(shí)，CS(t)為平方根模型［5］;當(dāng)α ＞0 但不等于1 或0.5 時(shí)，CS(t)為普通的冪函數(shù)模型［6］。此時(shí)，可以求得混凝土中氯離子濃度分布的解析解:

若表面氯離子濃度CS(t)為對(duì)數(shù)模型［7］:

式中，t ≥1，β 為時(shí)變項(xiàng)系數(shù)，ε 表示標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間(通常為1 a 或28 d)的表面氯離子濃度。其解析解可表示為:

3 算 例

算例:某跨海大橋橋面板混凝土養(yǎng)護(hù)28 d 時(shí)暴露于海洋氯鹽環(huán)境，即t0=28 d=0.076 7 a，相應(yīng)地，氯離子擴(kuò)散系數(shù)D0=5×10-12m2/s=157.68 mm2/a，初始氯離子濃度很小時(shí)可以忽略其影響，故取C0=0，保護(hù)層厚度70 mm，表面氯離子濃度可選用冪函數(shù)模型:

或?qū)?shù)模型:

式中，C1=0.2，α=0.3，ε=0.2，β=0.097。

表面氯離子濃度的兩種時(shí)變模型如圖1 所示。從圖1中可以看出，CS隨時(shí)間增長的速度在前10 a 較快，隨后增速逐漸趨于平緩，對(duì)數(shù)模型表現(xiàn)得更為明顯。

利用本文推導(dǎo)的解析解計(jì)算以下6 種條件下該混凝土橋面板中氯離子的濃度分布規(guī)律。其中，CS為非時(shí)變參數(shù)時(shí)，取CS=0.80%;D 為時(shí)變參數(shù)時(shí)，其齡期衰減系數(shù)為0.3，否則取D=D0。

①同時(shí)考慮D 和CS的時(shí)變性，且CS為冪函數(shù)時(shí)變模型，其計(jì)算結(jié)果用D-CP 表示;

②同時(shí)考慮D 和CS的時(shí)變性，且CS為對(duì)數(shù)時(shí)變模型，其計(jì)算結(jié)果用D-CL 表示;

③只考慮D 的時(shí)變性，其計(jì)算結(jié)果用DV 表示;

④只考慮CS的時(shí)變性，且取冪函數(shù)時(shí)變模型，其計(jì)算結(jié)果用CP 表示;

⑤只考慮CS的時(shí)變性，且取對(duì)數(shù)時(shí)變模型，其計(jì)算結(jié)果用CL 表示;

⑥CS和D 都為常數(shù)，其計(jì)算結(jié)果用CT 表示。

為檢驗(yàn)本文推導(dǎo)的解析解正確性，將上述6 種情況下橋面板中距暴露面深度為20 mm 處氯離子濃度隨時(shí)間變化規(guī)律的解析解與有限元法計(jì)算結(jié)果相比較，結(jié)果如圖2 所示。其中，“1”表示解析解法，“2”表示有限元法。從圖2 中可以看出，兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常吻合，由此證明了本文解析解的正確性。

圖1 CS積累變化曲線Fig.1 The accumulated curve of CS

進(jìn)一步地利用本文解析解計(jì)算距混凝土暴露面30、50、70 mm 處氯離子濃度隨時(shí)間變化曲線，結(jié)果分別如圖3 ～圖5 所示。從圖中可以看出，圖例CT 表示的非時(shí)變模型的氯離子濃度最高，圖例D-CP 和D-CL 表示的雙時(shí)變模型的氯離子濃度最低，圖例DV、CP 和CL 表示的單時(shí)變模型介于非時(shí)變和雙時(shí)變之間。由此說明，CS和D 的時(shí)變性對(duì)氯離子擴(kuò)散規(guī)律有顯著影響，在混凝土結(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計(jì)中應(yīng)同時(shí)考慮CS和D 的時(shí)變性。進(jìn)一步地，對(duì)比非時(shí)變模型和單時(shí)變模型的計(jì)算結(jié)果，DV 與CT 曲線之間的差距要大于CP、CL 與CT 之間的差距。由此可知，擴(kuò)散系數(shù)D 的時(shí)變性對(duì)氯離子濃度分布的影響更大。同時(shí)可以看出，表面氯離子濃度和氯離子擴(kuò)散系數(shù)的非時(shí)變模型、單時(shí)變模型和雙時(shí)變模型等3 類模型對(duì)混凝土內(nèi)的氯離子濃度積聚規(guī)律產(chǎn)生了不同影響，這種差異在混凝土較深處更為明顯。但是，隨著計(jì)算深度的增大，特別是D 時(shí)變性的影響明顯增大。由此說明，混凝土結(jié)構(gòu)保護(hù)層越厚，CS和D 的時(shí)變性對(duì)鋼筋表面的氯離子濃度影響越顯著，即對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性的影響越大。

對(duì)比圖1 與圖3 ～圖5 的氯離子濃度分布規(guī)律可以看出，兩種不同的表面氯離子濃度時(shí)變模型之間的差別隨時(shí)間增長而逐漸增大，而這兩種模型對(duì)混凝土內(nèi)部氯離子濃度分布的影響相對(duì)較小，且隨著擴(kuò)散深度的增加而減小。

圖2 20 mm 處氯離子濃度的解析解和有限元解Fig.2 Chloride concentration at 20 mm by the CFS and the FEM

圖3 30 mm 處氯離子濃度Fig.3 Chloride concentration at 30 mm

圖4 50 mm 氯離子濃度Fig.4 Chloride concentration at 50 mm

圖5 70 mm 處氯離子濃度Fig.5 Chloride concentration of 70 mm

4 結(jié) 論

用變量代換法和Laplace 積分變換法求解表面氯離子濃度和氯離子擴(kuò)散系數(shù)雙時(shí)變條件下氯離子擴(kuò)散解析解，并通過與有限元法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，證明了本文解析解的正確性。研究表明:

①不同CS時(shí)變模型之間的差異隨時(shí)間而增大，且隨著擴(kuò)散深度增大逐漸減小。

②不同CS模型之間的混凝土內(nèi)氯離子的積聚和濃度分布規(guī)律差異較小。CS和D 的時(shí)變性都能夠?qū)β入x子擴(kuò)散和濃度分布規(guī)律產(chǎn)生顯著影響，而且D 時(shí)變性相對(duì)于CS時(shí)變性的影響更大。

③CS和D 的時(shí)變性對(duì)混凝土內(nèi)不同深度處的氯離子濃度的影響將隨著深度而增大，D 時(shí)變性的影響隨深度而增大的趨勢更明顯。

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