許志宏 張 濤
(日照職業(yè)技術學院公共教學部,山東 日照276800)
不定積分是高職理工科學生學習高等數(shù)學的重要內容,熟練掌握不定積分的計算方法對學好微積分乃至整個高等數(shù)學起著至關重要的作用,同時不定積分的計算對思維的培養(yǎng)以及學生的所學專業(yè)課也有重要作用.面對不定積分中被積函數(shù)的細微差別,高職學生會感覺束手無策,不知該選擇何種積分方法。筆者在多年的高等數(shù)學教學過程中發(fā)現(xiàn)對于一些特定的兩個函數(shù)乘積的積分,學生總是掌握的不夠好,不能很準確地找到合適的解題方法。如何幫助學生盡快掌握這一類不定積分計算方法呢?本文主要想經(jīng)過對常見的兩個不同類型的函數(shù)相乘的不定積分計算問題進行分析、研究、總結,旨在創(chuàng)造有效的學習途徑,使學生盡快掌握基本的積分方法與技巧,對不定積分的計算方法有整體的掌握.
當兩個函數(shù)相乘時,特別是冪函數(shù)與內函數(shù)也是冪函數(shù)的復合函數(shù)相乘時,注意到若冪函數(shù)的次數(shù)比另一個復雜函數(shù)的內函數(shù)的次數(shù)低一次時,該類型的不定積分可以考慮用第一類換元積分法(即湊微分法)來求解。
當冪函數(shù)與內函數(shù)也是冪函數(shù)的復合函數(shù)相乘時,注意到若冪函數(shù)的次數(shù)比另一個復雜函數(shù)的內函數(shù)的次數(shù)高時,該類型的不定積分可以考慮用分部積分法來求解。
該題用了一次分部積分法。
該題是在例4的基礎上用了二次分部積分法。例6求
解:
該題是在例5的基礎上用了三次分部積分法。
通過上面的實例分析可知,冪函數(shù)與內函數(shù)也是冪函數(shù)的復合函數(shù)相乘時,形如 則可以考慮用第一類換元積分法;形如
可以考慮用分部積分法。當然,不定積分的計算方法有很多種,筆者只是針對被積函數(shù)是冪函數(shù)與內函數(shù)也是冪函數(shù)的復合函數(shù)相乘這類情況做了分析研究與總結。我們要在掌握了不定積分的幾種常用方法的基礎上,抓住被積函數(shù)的特征,做到選擇適當?shù)姆e分方法,活學活用、及時總結分析,以便靈活運用不定積分的計算方法。
[1]劉賢軍,等.高等數(shù)學[M].青島:中國海洋大學出版社,2009.
[2]盛祥耀.高等數(shù)學[M].3 版.北京:高等教育出版社,2004.
[3]劉必立.不定積分計算方法芻議[J].科技信息,2012(35).
[4]徐海利.關于積分方法的探討[J].貴陽學院學報:自然科學版,2012(02).
[5]張立卓,孫輝.談不定積分運算中的一些靈活性[J].高等數(shù)學研究,2002(04).