孫雷

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 變式教學(xué)

解題策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）11A-

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在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，變式教學(xué)是學(xué)生掌握知識(shí)的所使用的一種重要方式，根據(jù)變式的對(duì)象不同，變式教學(xué)存在不同的形式。解題變式是以題目的變化為對(duì)象的一種變式，它的范疇不僅局限于題設(shè)和結(jié)論變化，更應(yīng)包含多種方法運(yùn)用于同一題目或同一方法運(yùn)用于不同題目的解決上。

一、改變條件，構(gòu)造相似問(wèn)題情境

所謂改變條件，構(gòu)造相似問(wèn)題情境，就是在學(xué)生力所能及的范圍內(nèi)，結(jié)合教學(xué)需要，對(duì)題目中條件和結(jié)論進(jìn)行變換，即等價(jià)變換或非等價(jià)變換，也即對(duì)題目中的條件表述進(jìn)行變更，使其表達(dá)更加直觀或隱蔽，從而對(duì)題目難度進(jìn)行控制的教學(xué)方式。其意義在于，通過(guò)題目變式研究，能夠突顯問(wèn)題的新角度，引發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

【案例1】垂徑定理及推論教學(xué)片段

例：已知圓O中，AB為圓的直徑，CD是圓的一條弦，AB⊥CD垂足為E，求證：CE=DE，[（][（][（][（][AC=AD，BC=BD]；

變式一：AB為圓O直徑，CE=DE，求證：AB⊥CD，[（][（][（][（][AC=AD，BC=BD]。

變式二：AB為圓O直徑，[（][（][AC=AD]，求證：AB⊥CD，CD=DE，[（][（][BC=BD]。

……

分析上述教學(xué)片段可以發(fā)現(xiàn)這是一種等價(jià)變式，通過(guò)等價(jià)形式的變換讓學(xué)生明白垂徑定理中平分弧、平分弦、垂直于弦和AB過(guò)圓心，以其中2個(gè)為條件，就可以得到其他的結(jié)論。從而彰顯了等價(jià)變式的價(jià)值，即融會(huì)貫通，理解并掌握知識(shí)點(diǎn)的正用與逆用。

【案例2】二次函數(shù)解析式求解教學(xué)片段

例：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（1，0），（0，5）和（-1，8）三點(diǎn)，求二次函數(shù)解析式。

變式一：二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=-2，圖象開(kāi)口向下，經(jīng)過(guò)（0，5）和（2，-7）兩點(diǎn)，求解析式。

變式二：某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9），并經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-5，0），求此拋物線的解析式。

變式三：某拋物線對(duì)稱軸為x=-2，它與直線y=-5x+5交于AB兩點(diǎn)，同時(shí)直線y=x+1交x軸于A點(diǎn)，直線y=-x+5交y軸于B點(diǎn)，求拋物線的解析式。

分析上述教學(xué)片段可以發(fā)現(xiàn)這是一種非等價(jià)變式，它是對(duì)條件進(jìn)行變換，由例題直至變式4中有關(guān)二次函數(shù)的表述，使題目中的等量關(guān)系逐漸變得模糊，由最初直接列方程組求解到需要分析題目中隱含的條件和公式，再到需要厘清題目中的點(diǎn)線關(guān)系，排除無(wú)用條件，題目難度逐步加深。但正是由于這種變化，為最簡(jiǎn)單的待定系數(shù)法引入了分析思維，給學(xué)生提供了挑戰(zhàn)，從而引發(fā)學(xué)生的求知欲望。

二、同一情境，運(yùn)用不同方法解決

所謂同一情境，不同方法達(dá)到相同目的就在于一道題目有多種不同的方法能夠解決疑難。一題多解是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須涉及的領(lǐng)域，其作用在于使學(xué)生在已有的認(rèn)知范圍內(nèi)用不同的知識(shí)點(diǎn)作為橋梁解決同一問(wèn)題；其意義在于促使學(xué)生尋求問(wèn)題本質(zhì)的各個(gè)等價(jià)形式，從不同的方面思考解決問(wèn)題的方法，從而促進(jìn)學(xué)生的變通性思維、發(fā)散性思維的發(fā)展。

變式教學(xué)運(yùn)用一題多解的關(guān)鍵在于從不同側(cè)面看待問(wèn)題；題目中運(yùn)用不同的思維方式；變動(dòng)解題過(guò)程中的局部?jī)?nèi)容。以下以垂徑定理教學(xué)片段為例詳加解釋。

【案例3】如圖，已知AB是圓O的直徑，CD是圓O的弦，AB⊥CD垂足為E，且E為CD中點(diǎn)，求證AC=AD.

【分析】從不同角度出發(fā)至少有以下幾種解法：

解法一：利用垂徑定理求得∠CAB=∠DAB，∠CBA=∠DBA，加上AB這條公共直線構(gòu)造全等三角形；

解法二：利用垂徑定理證明兩圓周角相等，構(gòu)造△ACE∽△ADE，再利用相似比求證；

解法三：運(yùn)用勾股定理解決，利用條件AB⊥CD、AE為公共邊，CE=DE，或者利用AB為直徑，CB=DB；

解法四：利用圓作為軸對(duì)稱圖形這一特性來(lái)求證。

分析上述四種解題方式，可以印證一題多解的關(guān)鍵點(diǎn)，首先四種方法分別從全等、相似、直角三角形的特性和軸對(duì)稱圖形的角度思考分析；其次，四種方法分別用幾何說(shuō)理和代數(shù)運(yùn)算的方式對(duì)題目進(jìn)行了思考；再者，四種方法中有相同的部分，即垂徑定理的運(yùn)用，這說(shuō)明解題中局部變動(dòng)了解題環(huán)節(jié)。學(xué)生在解題過(guò)程中，同時(shí)把幾何部分的幾種重要的性質(zhì)與概念回顧了一遍，建立了知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，鞏固了舊知，增強(qiáng)了知識(shí)的運(yùn)用能力。

三、不同情境，運(yùn)用相同方法達(dá)成

所謂不同情境，運(yùn)用相同方法達(dá)成，就是將同一種解題的方法運(yùn)用于不同的知識(shí)版塊的問(wèn)題處理上。其作用在于串連具有相同本質(zhì)不同形式的不同知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生形成全面的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。例如根的判別式是求解一元二次方程根的最基本的方法，但它還可以運(yùn)用于其他的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

【案例4】根的判別式在不同情境中的運(yùn)用教學(xué)片段

變式一：方程x2+（a-2）x+4=0沒(méi)有實(shí)根，a的取值范圍是多少？

變式二：拋物線y=x2+（a-2）x+4的圖象與x軸不存在交點(diǎn)，a的取值范圍是多少？

變式三：關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+（a-2）x+4不能分解，a的取值范圍是多少？

分析上述幾個(gè)變式，它們所涉及的知識(shí)點(diǎn)雖然包含了一元二次方程、二次函數(shù)的圖象、因式分解等幾個(gè)不同方面，但透過(guò)題目的表象，可以發(fā)現(xiàn)在本質(zhì)上它們均與根的判別式有聯(lián)系，可以說(shuō)判別式就是使幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)構(gòu)建成知識(shí)網(wǎng)的紐帶。如果將它們孤立講述，則會(huì)割裂知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而使學(xué)生的整個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出碎片狀。但通過(guò)一法多用的變式教學(xué)，就可以串連各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)各知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（責(zé)編 林 劍）