程慧燕　蔣文麗

摘 要 本文就同濟六版《高等數(shù)學(xué)》的幾個問題做了注記，對比區(qū)分了易混的三組概念和符號，探討了從數(shù)列極限到函數(shù)極限的自然過渡方法，分析了常系數(shù)非齊次線性微分方程求特解時多項式的設(shè)置方式，發(fā)散了高斯公式的應(yīng)用中一道例題的解法。

關(guān)鍵詞 同濟六版 高等數(shù)學(xué) 符號 概念 解題方法 注記

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.01.021

同濟六版《高等數(shù)學(xué)》是一部經(jīng)典的工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)的教材，適合當(dāng)前我國各類高校工科類本科專業(yè)根據(jù)不同的教學(xué)要求分層次教學(xué)的需要。但是，再完美的教材鑒于作者的認(rèn)知方式也有不盡如人意的地方。概念、符號、解題方法對于高等數(shù)學(xué)來說是精髓，是靈魂，本文就同濟六版《高等數(shù)學(xué)》的幾個問題做了注記，以資借鑒和提高。

1 幾個基本概念、符號的說明

對高等數(shù)學(xué)課而言，學(xué)生要想把它學(xué)好、學(xué)精，離不開對一些基本概念的理解和一些符號的準(zhǔn)確掌握，尤其對于初學(xué)者。所以，作為教師就要在授課時對學(xué)生正確引導(dǎo)，注意區(qū)分，多加強調(diào)。

1.1 單側(cè)極限、單側(cè)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的單側(cè)極限的符號

同濟六版《高等數(shù)學(xué)》第一章第三節(jié)（P34）給了單側(cè)極限概念，把左、右極限分別記作 （） = （）、 （） = （）；第二章第一節(jié)（P83）給了單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念，把左、右導(dǎo)數(shù)分別記作（） = 、（） = ；按照上面這兩種記法，不難想象（）、（）分別表示的就應(yīng)該是函數(shù) （）的導(dǎo)函數(shù) （）在點處的左、右極限，也就說有（） = （）、（） = （）。

這里以→為例說明這些符號的不同。 （）、（）、（）分別代表的就是函數(shù) （）在處的右極限、右導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的右極限，其中（）還蘊含函數(shù) （）在的右鄰域（， + ）內(nèi)每一點可導(dǎo)。雖然其符號極其相似，但這三個是完全不同的概念，不能混為一談，尤其要引導(dǎo)學(xué)生正確書寫和理解不同符號的含義，特別是對于后兩者，很多高等數(shù)學(xué)的初學(xué)者在解題的時候誤認(rèn)為（） = （） = （），求分段函數(shù)在其分支界點處的導(dǎo)數(shù)時，用這種方法可能會導(dǎo)致計算結(jié)果的錯誤。比如下面這一問題，設(shè)，則（0）= = = 0，當(dāng)≠0時，（） = 2，而（2）不存在，就是（）沒有意義，所以說（）與 （）之間一般不存在相互關(guān)系，不要錯誤利用來解題。

同濟六版《高等數(shù)學(xué)》第二章第一節(jié)（P87）給了這樣一道習(xí)題：

設(shè)函數(shù)，為了使函數(shù) （）在 = 1處連續(xù)且可導(dǎo)，、應(yīng)取什么值？

常規(guī)的解法應(yīng)該是： （）在 = 1處連續(xù)，有 （） = （），即1 = ； （）在 = 1處可導(dǎo)有 （1） = （1），即 = = ，從而 = 2， = 。

值得一提的是，很多學(xué)生在做作業(yè)的時候關(guān)于 （）在 = 1處的可導(dǎo)性條件是這么用的：當(dāng)≤1時， （） = ，當(dāng)>1時， （） = ，由條件知 （） = （），而 （） = （） = 2， （） = = ，從而 = 2， = 。很多老師在批改作業(yè)的時候就認(rèn)為學(xué)生的這種做法是錯誤的，事實上王金金，任春麗在文獻[3]中已經(jīng)證明：設(shè)函數(shù) （）在[， + ]上連續(xù)，在（， + ）內(nèi)可導(dǎo)，且 （） = 存在，則函數(shù) （）在點處的右導(dǎo)數(shù)（）存在，且有（） = （） = （）。

所以，盡管（）與 （）是不同的概念，但是在一定條件下它們之間有聯(lián)系，既要引導(dǎo)學(xué)生正確區(qū)別，同時不要不假思索地給學(xué)生的作業(yè)判錯，要引以為戒。

1.2 函數(shù)微分學(xué)的一些符號

同濟六版《高等數(shù)學(xué)》第二章第三節(jié)（P99）給了高階導(dǎo)數(shù)的概念，以二階導(dǎo)數(shù)為例：

一般的，函數(shù) = （）的導(dǎo)數(shù) = （）仍然是的函數(shù)。我們把 = （）的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù) = （）的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即 = 或 = （）。

其中符號 = = ；表示的二階微分，即是對微分兩次（ = 0）；表示對微分一次，即 = 。三者表示的是不同的含義，不能混淆，尤其是 = 與≠。比如像有的教材上給出如下的習(xí)題：

設(shè) = ，求，，，。

像上述例題中的表達式，就不準(zhǔn)確，誤認(rèn)為 = 與 = 。

1.3 最值與極值的定義

同濟六版《高等數(shù)學(xué)》第一章第十節(jié)（P70）給了函數(shù)最值的概念：

對于在區(qū)間上有定義的函數(shù) （），如果有，使得對于任一都有 （）≤ （）（（ （）≥ （）），則稱 （）是函數(shù) （）在區(qū)間上的最大值（最小值）。

第三章第五節(jié)（P154）給出了函數(shù)極值的概念：

設(shè)函數(shù) （）在點的某鄰域（）內(nèi)有定義，如果對于去心鄰域內(nèi)的任一，有 （）< （）（或 （）> （）），那么就稱 （）是函數(shù) （）的一個極大值（或極小值）。

上述兩個概念是有很大不同的。首先，最值是定義在函數(shù)有意義的某個區(qū)間上，是一個全局性的概念，而極值是定義在函數(shù)有意義的某點的某鄰域范圍內(nèi)，是一個局部性的概念；其次，最值的定義中“對于任一都有 （）≤ （）（ （）≥ （））”，可以取， （）也可以等于 （），而極值的定義中“對于去心鄰域內(nèi)的任一，有 （）< （）（或 （）> （））”，≠， （）也是嚴(yán)格大于或者小于 （）；比如定義在區(qū)間[0，2]的常數(shù)函數(shù) = 1，在區(qū)間[0，2]上能取到最值，區(qū)間[0，2]上的每個點都是最值點，但是此函數(shù)在區(qū)間[0，2]上取不到極值；第三，極值一定是局部的最值，最值卻不一定是極值，極值只能在區(qū)間內(nèi)部取到，而最值可以在區(qū)間端點取到。

2 函數(shù)的極限的講解方法

從數(shù)列極限到函數(shù)極限，同濟六版《高等數(shù)學(xué)》是先介紹自變量趨于有限值時函數(shù)的極限，而后介紹自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限。為了增強對比學(xué)習(xí)的效果，比照 = 0讓學(xué)生討論，從數(shù)列極限過渡到時函數(shù)極限，接著引出、時函數(shù)極限的概念，比如可以從 （） = 的圖像出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生類似時函數(shù)極限討論→時函數(shù)極限，以具體實例引出單側(cè)極限的概念，從而實現(xiàn)從數(shù)列極限到函數(shù)極限的自然過渡。

3 常系數(shù)非齊次線性微分方程求特解

同濟六版《高等數(shù)學(xué)》第七章第八節(jié)（P341）給出了二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 + + = （），當(dāng) （） = 時不用積分就可求出方程特解的待定系數(shù)法。

設(shè) = （），帶入方程得（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 。當(dāng)是特征方程 + + = 0的單根，即 + + = 0，但2 + ≠0，此時（）必須是次多項式，教材上說“可令（） = （）”。很明顯，（）與（）是不同的，二者相差一個常數(shù)，不影響最終的結(jié)果嗎？事實上，當(dāng)是特征方程 + + = 0的單根時，在（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 中 + + = 0，方程左端最后一項（ + + ）（）不起作用，同時（）比（）多出來的那個常數(shù)在求導(dǎo)的過程中不影響導(dǎo)數(shù)的結(jié)果，也就是說令（） = （）或者令（） = （）都能滿足方程（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = ，而且令（） = （）在待定系數(shù)時還少求解一個系數(shù)，何樂而不為？當(dāng)是特征方程 + + = 0的重根時，可令（） = （），是一樣的道理。這一點作為教師必須得清楚。

4 高斯公式的應(yīng)用中一道例題的解法

同濟六版《高等數(shù)學(xué)》第十一章第六節(jié)（P231）例1：

利用高斯公式計算曲面積分（） + （），其中為柱面 + = 1及平面 = 0， = 3所圍成的空間閉區(qū)域 的整個邊界曲面的外側(cè)（如圖1）。

教材上利用高斯公式把曲面積分（） + （）轉(zhuǎn)化成了（），接下來的計算完全可以發(fā)散開來讓學(xué)生去想怎么求，因為三重積分的計算他們已經(jīng)學(xué)過并且很熟悉。按照慣常的思維，最直接的解法是把上面的三重積分化成直角坐標(biāo)下的三次積分，不過不難發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域 在坐標(biāo)平面上的投影是圓域，所以也可以按照書上把其化成柱面坐標(biāo)下的三次積分（），同時這個三重積分的計算還可以進一步延伸利用對稱性和截面法轉(zhuǎn)化為 = = 。

數(shù)學(xué)被譽為鍛煉思維的體操和人類智慧之冠上最明亮的寶石，高等數(shù)學(xué)更是很多理工科學(xué)科進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，所以在備課的時候做充分的準(zhǔn)備，而授課時盡可能以一種比較易于為學(xué)生接受的思維和方式來展開是很有必要的。同濟六版《高等數(shù)學(xué)》雖然很經(jīng)典，但是在一些細(xì)節(jié)處理上還是可以改進的，其中一些沒有點明，被作者略去的內(nèi)容還是需要教師在授課的時候講到的，最起碼是自己備課的時候應(yīng)該用心想過的。當(dāng)然，仁者見仁智者見智，畢竟從學(xué)生的實際出發(fā)、切合不同專業(yè)的需要才是最根本的。

參考文獻

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3] 王金金，任春麗.函數(shù)的右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的右極限的關(guān)系[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2009.12（5）.