張嬌

摘 ? 要：本文從靜電平衡的角度，解釋平行板電容器兩極板的電荷與電場(chǎng)分布的若干問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：電容器;不等量電荷;電荷分布

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2015）1-0041-3

人教版高中物理選修3-1第一章第8節(jié)電容器的電容一節(jié)第二段中說(shuō)到：“把電容器的一個(gè)極板與電池組的正級(jí)相連，另一個(gè)極板與負(fù)極相連，兩個(gè)極板將分別帶上等量的異號(hào)電荷，這個(gè)過(guò)程叫做充電。”

從此段話(huà)中可知，在用電池充電時(shí)，電容器將帶上等量的異號(hào)電荷。那么，電容器能不能帶不等量電荷。如果能，它們是不是也都分布在兩極板的內(nèi)部。這時(shí)，電容容器的內(nèi)部是不是也是勻強(qiáng)電場(chǎng)，用U=時(shí)用的是哪一個(gè)Q呢？

1 ? ?電容器是否能帶不等量的電荷

我們可以將一個(gè)帶有電量為Q1的極板A靠近一個(gè)帶電量為Q2的極板B，如圖1所示。此時(shí)，兩極板構(gòu)成的電容器就帶不等量電荷。那么，此種情況下，是不是不能穩(wěn)定存在，電荷要馬上跑走呢？由電容器的構(gòu)造可知：電容器與外界絕緣，電荷不能從兩個(gè)極板中跑出。

2 ? ?平行板電容器上的電荷分布

2.1 ? ?等量異種電荷在平行板電容器中的電荷分布

根據(jù)異性相吸，電荷分布在兩極板內(nèi)表面。

2.2 ? ?等量同種電荷在平行板電容器中的電荷分布

根據(jù)同性相斥，電荷分布在兩極板外表面。

2.3 ? ?不等量電荷在平行板電容器中的電荷分布

由于不等量，不能簡(jiǎn)單的根據(jù)同性相斥、異性相吸來(lái)判斷電荷的分布。

極板是金屬制成的，如果極板內(nèi)部電場(chǎng)不為零，電荷就會(huì)受到電場(chǎng)力的作用而發(fā)生移動(dòng)，從而改變極板內(nèi)部的電場(chǎng)，最終會(huì)導(dǎo)致極板內(nèi)部的電場(chǎng)為零，從而使極板達(dá)到靜電平衡。

這樣，我們只需將兩極板上的電荷在極板內(nèi)部產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加等于零，就可以知道電荷是怎么分布的。一塊金屬板帶電荷的電場(chǎng)根據(jù)大學(xué)物理一書(shū)，知道一塊金屬薄板在帶電均勻的情況下，它兩側(cè)的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小與電荷量成正比（書(shū)上是說(shuō)與電荷密度成正比，但可知電荷量與電荷密度是正比關(guān)系），方向與板垂直。

現(xiàn)在，我們用極板內(nèi)部電場(chǎng)要為零解釋等量電荷在兩極板上的分布問(wèn)題。如果AB帶等量異種電荷，那么，它們產(chǎn)生的電場(chǎng)大小是一樣的。如果AB帶的電荷都在外側(cè)的話(huà)，在AB內(nèi)部?jī)蓚€(gè)電場(chǎng)方向是同向的，將不能抵消，那么，極板內(nèi)部的自由電荷由于受電場(chǎng)力作用將繼續(xù)移動(dòng)，直到內(nèi)部電場(chǎng)為零為止。同理，如果電荷都在極板的左（右）側(cè)，也會(huì)有這種矛盾。并同理可證，等量異種電荷若分布在內(nèi)側(cè)，兩極板內(nèi)部電場(chǎng)確實(shí)為零。所以，等量異種電荷均勻分布在兩極板內(nèi)側(cè)。

接下來(lái)我們利用極板內(nèi)部電場(chǎng)為零求導(dǎo)不等量電荷在極板上的分面情況：

設(shè)A板帶Q1，B板帶Q2，假設(shè)A的左側(cè)表面帶有電量為X，右側(cè)表面則帶有Q1-X;B的左側(cè)表面帶有電量為Y，右側(cè)表面則帶有Q2-Y。

對(duì)于A的內(nèi)部電場(chǎng)有

kQ1-k（Q1-X）-kY-K（Q2-Y）=0

可以解得：

對(duì)于B的內(nèi)部電場(chǎng)有

可以解得：

在這個(gè)情境中，我們并沒(méi)有限定Q與Q的電性正負(fù)。也就是說(shuō)，我們得到的是一般情況，我們可以來(lái)看看，在各種特殊情況下是否滿(mǎn)足。在此之前，我們先解讀下公式算得的結(jié)論告訴我們什么： ? ? ? ?與 ? 是兩極板的內(nèi)表面，從這兩解可看出，兩內(nèi)表面一定帶等量異種電荷。 ? ? ? 與 ? ? 是兩電荷的外表面，從這兩解我們可以看出，兩外表面所帶電荷一定帶等量同種電荷。

3 ? ?平行板電容器上的電荷分布的另一種解釋

設(shè)靜電平衡時(shí)平行板電容器兩極板的四個(gè)表面所分布的電荷分別為q1、q2、q3和q4，這里用一種簡(jiǎn)單而直觀(guān)的方法求解它們。我們知道，靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上電荷分布的原則是使得導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)保持為零、導(dǎo)體表面（附近）的場(chǎng)強(qiáng)與表面垂直。按照這一原則，可知電力線(xiàn)必然是垂直地從極板表面發(fā)出或垂直地落在極板表面上，而不允許電力線(xiàn)穿過(guò)導(dǎo)體。這樣，在兩極板之間，只可能有從一極板垂直出發(fā)，并垂直地指向另一極板的平行電力線(xiàn)，如圖2中（a）、（b）、（c）、（d）所示。

（a） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （b）

（c） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （d）

圖2 ?極板間電場(chǎng)線(xiàn)分布情況

而電力線(xiàn)發(fā)出的地方必有正電荷，終止的地方必有負(fù)電荷。根據(jù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，兩極板內(nèi)側(cè)表面上的電荷必然是量值相等，符號(hào)相反。

由于q2、q3量值相等、符號(hào)相反，它們?cè)趦蓸O板內(nèi)部產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)將完全抵消。而在兩極板外側(cè)的兩個(gè)表面，電荷必然是量值相等、符號(hào)相同，因?yàn)橹挥羞@樣，才能保證它們?cè)趦蓸O板內(nèi)部產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)也相互抵消。

4 ? ?兩極板的電勢(shì)差問(wèn)題

兩極板帶有異種等量電荷時(shí)，兩極板電勢(shì)差U=。那么，當(dāng)兩極板帶有不等量電荷時(shí)，這個(gè)Q應(yīng)該是哪個(gè)Q了呢？

設(shè)A板帶Q1，B板帶Q2，此時(shí)，在兩極板上的電荷分布如圖3。

圖3 ?兩極板電荷分布

即：兩內(nèi)表面帶等量異種電荷，兩外表面帶等量同種電荷。

兩外表面帶有的同種電荷在極板內(nèi)部由于各自產(chǎn)生的電場(chǎng)大小相等，方向相反，所以它們的合場(chǎng)強(qiáng)為零，此時(shí)內(nèi)部的電場(chǎng)就由兩異種電荷的合場(chǎng)強(qiáng)決定。也就是說(shuō)，兩外極板的電荷不影響內(nèi)部的電場(chǎng)，我們可以把它當(dāng)做不存在。此時(shí)，兩極板間的電勢(shì)差與等量異種電荷的電勢(shì)差相同，所以此種情況下，利用U=算電勢(shì)差時(shí)，Q用的絕對(duì)值，即內(nèi)極板一個(gè)板所帶電荷量的絕對(duì)值。

5 ? ?兩極板的電勢(shì)差問(wèn)題的另一種解釋

電容器儲(chǔ)存能量是將能量以電場(chǎng)的形式儲(chǔ)存在兩極板之間的體積內(nèi)，該體積以?xún)?nèi)的電場(chǎng)能量可稱(chēng)之為“有效”能量;而該體積以外的電場(chǎng)能量是“無(wú)效”的或無(wú)意義的?？梢宰C明，在極板間產(chǎn)生電場(chǎng)的“有效”電荷，僅僅是兩極板的相對(duì)的兩個(gè)表面上的電荷。又根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)之間的積分關(guān)系U =·dl，可知，兩極板間的電勢(shì)差也僅由兩極板的相對(duì)的兩個(gè)表面的電荷決定。因此，電容U=中的Q應(yīng)是指電容器兩極板（極板可以是任意形狀）相對(duì)的兩個(gè)表面的其中任一個(gè)面上的電量，簡(jiǎn)稱(chēng)電容器兩極板內(nèi)側(cè)表面所帶的電量。

6 ? ?平行板電容器的電場(chǎng)分布問(wèn)題

上面已經(jīng)分析了，內(nèi)部電場(chǎng)由兩極板內(nèi)側(cè)電荷決定，與兩外極板無(wú)關(guān)，所以，它仍是勻強(qiáng)電場(chǎng)。

兩極板內(nèi)部電荷在平行板電容器外側(cè)產(chǎn)生的電場(chǎng)都是大小相等方向相反的勻強(qiáng)電場(chǎng)，所以互相抵消。也就是在考慮外部電場(chǎng)時(shí)，是兩外極板電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加，由于兩外極板電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，且方向一致，大小相等，所以不能抵消。在兩極板外部?jī)蓚?cè)，存在垂直于極板的勻強(qiáng)電場(chǎng)。場(chǎng)強(qiáng)大小由外極板所帶電荷量決定。

7 ? ?小 ?結(jié)

綜上所述，平行板電容器兩極板可以帶有不等量電荷，這些電荷分布時(shí)，最終會(huì)使內(nèi)極板帶有等量異種電荷，外極板帶有等量同種電荷。此時(shí)，平行板電容器內(nèi)部仍為勻強(qiáng)電場(chǎng)，外部也存在勻強(qiáng)電場(chǎng)。兩極板電勢(shì)差用U=時(shí)用的是內(nèi)極板一個(gè)板所帶電荷量的絕對(duì)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]王炳和.關(guān)于電容C=Q/U公式中Q的一點(diǎn)注釋[J].武警技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) ，1997，（12）：13.

[2]吳勇.對(duì)“探究影響平行板電容器電容的因素”演示實(shí)驗(yàn)的探討[J].物理教學(xué)探討，2011，（2）：74.

（欄目編輯 ?羅琬華）