張國凱，李海波，夏 祥，李俊如，于 崇，劉景森

（中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點實驗室，湖北 武漢 430071）

1 引 言

能量轉(zhuǎn)化是各種物理變化的本質(zhì)特征，能量驅(qū)動是巖石破壞的誘因，研究巖石受力過程中能量變化對解決實際工程（如估計巖爆烈度）有重要研究意義[1－2]。巖石的破壞是損傷累積的結(jié)果，微裂紋的萌生與發(fā)展直接影響著材料的宏觀力學性能[3]。

黎立云等[4]對砂巖進行了動態(tài)和靜態(tài)加載試驗，得到了不同沖擊速度下巖石破壞的總吸收能、耗散能，達到相同破壞程度動態(tài)加載比靜態(tài)加載消耗更多能量。張志鎮(zhèn)等[5]試驗證明了峰前應(yīng)變硬化大于應(yīng)變軟化，宏觀表現(xiàn)出應(yīng)變硬化和能量積聚，而峰后階段后者大于前者，宏觀表現(xiàn)為應(yīng)變軟化和能量釋放。謝和平等[2]根據(jù)彈性理論研究了能量的積聚與釋放規(guī)律。陳旭光[6]從單軸壓剪破壞出發(fā)，研究了巖石內(nèi)摩擦角和釋放動能的關(guān)系，前提是假設(shè)試件為一條宏觀主裂紋擴展至貫通破壞。王學濱[7]采用Scott 模型對斷裂能進行了研究，其中峰后斷裂能不包括軸向劈裂斷裂能。能量變化過程伴隨著損傷，損傷變量的定義有彈性模量[8]、聲波速度[9]、CT 數(shù)[10]和聲發(fā)射數(shù)[11]等。Walsh[12]1965年就提出損傷變量D 的定義方法。Huang 等[13]根據(jù)平面應(yīng)力條件下微裂紋與應(yīng)變的Weibull 分布規(guī)律得到了加載過程中的損傷變化率。損傷實質(zhì)是微裂紋的發(fā)展造成的，Park 等[14]、Lee 等[15]利用PFC 對含預制裂紋巖樣進行了單軸壓縮試驗，研究了裂紋擴展規(guī)律。Yang[16]根據(jù)爆破動荷載作用下裂紋密度的概率形式定義了損傷變量，認為只有在應(yīng)變大于臨界應(yīng)變時裂紋才能擴展。

通過室內(nèi)試驗得到試樣力學參數(shù)，采用商業(yè)軟件PFC 進行顆粒細觀參數(shù)標定，并取3 種工況進行數(shù)值試驗，從細觀力學角度研究裂紋、能量及損傷演化的相關(guān)性。通過定義損傷變量，得出微裂紋與損傷呈線性發(fā)展關(guān)系，為進一步研究損傷提供依據(jù)。

2 試驗及微裂紋擴展研究

2.1 室內(nèi)巖石力學特性

實驗試樣取自廣西一采石場的砂巖，按照規(guī)范[17]要求加工成φ50 mm×100 mm的圓柱體，取其中完整性較好的15 組試樣，試驗采用中科院武漢巖土力學研究所自行研制的RMT－150C 數(shù)字控制式電液伺服試驗機，加載采用位移控制方式。室內(nèi)實驗試樣平均宏觀力學參數(shù)：強度為148.71 MPa，彈性模量為38.79 GPa，泊松比為0.219，密度為2 674 kg/m3，試樣平均縱波速度為3 588 m/s，完整性較好。

2.2 數(shù)值模型

數(shù)值試驗細觀本構(gòu)模型選用能反映巖石力學特性的平行黏結(jié)模型。細觀參數(shù)標定依據(jù)：彈性模量與顆粒模量相關(guān)、峰值強度與顆粒黏結(jié)強度及摩擦系數(shù)相關(guān)、顆粒法向與切向剛度比值與試樣泊松比相關(guān)[18]。細觀參數(shù)標定過程較繁瑣，需依據(jù)上述規(guī)律和經(jīng)驗反復調(diào)試，最終選取與室內(nèi)試驗宏觀彈性模量、泊松比、峰值強度基本一致的細觀參數(shù)[15]。尹小濤等[18]對不同粒徑顆粒進行試驗，粒徑小于 0.6 mm 時峰值強度離散性較小。細觀參數(shù)取值見表1。

2.3 試驗結(jié)果對比分析

室內(nèi)試驗和數(shù)值模擬了3 種工況應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖1 所示。工況1 與室內(nèi)試驗彈性模量、泊松比、極限強度非常接近，細觀參數(shù)選擇合理。在此基礎(chǔ)上選取細觀顆粒參數(shù)取3 種不同工況對試樣破壞過程進行研究，宏觀力學參數(shù)見表2。

圖1 室內(nèi)試驗和數(shù)值模擬應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Stress-strain curves of experiment and simulation

工況1 與工況2 顆粒彈性模量相同，黏結(jié)強度不同，得到宏觀彈性模量基本一致，極限強度隨黏結(jié)強度增大而增大，說明峰值強度與顆粒的黏結(jié)強度正相關(guān)。工況1 與工況3 顆粒間黏結(jié)強度相同，接觸模量不同，試件峰值強度基本不變，彈性模量隨顆粒模量的增加而增大，說明試樣的彈性模量與顆粒接觸模量正相關(guān)。

表1 PFC 模擬的細觀參數(shù)Table 1 Mesoscopic parameters of PFC simulation

表2 3 種工況宏-細觀對應(yīng)參數(shù)Table 2 Macroscopic and microscopic corresponding parameters under 3 conditions

2.4 微裂紋擴展規(guī)律

以工況1為例，PFC 模擬不同時步裂紋分布如圖2 所示。圖中，黑色為張拉裂紋，紅色為剪切裂紋，前者占主導優(yōu)勢。加載初期無微裂紋，當應(yīng)力達到極限強度的40%左右，由于顆粒間黏結(jié)強度呈正態(tài)隨機分布，只有少數(shù)強度較低的顆粒所受張拉或剪切應(yīng)力大于其黏結(jié)強度，導致鏈接斷裂，微裂紋呈無規(guī)則的散亂分布，見圖2（a）；隨著加載的進行微裂紋數(shù)量不斷增加，空間分布也表現(xiàn)出一定規(guī)律，出現(xiàn)了輕微的剪切分布帶，見圖2（c）；此時對應(yīng)極限強度附近。繼續(xù)加載微裂紋加速擴展，并匯聚成核，出現(xiàn)明顯的剪切滑移帶，剪切帶附近裂紋逐漸增多，見圖2（d），到達一定程度微裂紋逐漸貫通，出現(xiàn)了剪切滑動導致試件破壞。

圖2 數(shù)值模擬不同時步裂紋發(fā)展Fig.2 Crack propagation at different loading stages

隨著加載進行微裂紋發(fā)展速度由慢到快，隨著微裂紋和內(nèi)部微缺陷的增多，有效承載面減小導致相應(yīng)應(yīng)力增大，越來越多的顆粒所受應(yīng)力大于其黏結(jié)強度；試件內(nèi)部微裂紋的擴展導致應(yīng)力重分布，加速了微裂紋擴展速度。

Grady 等[19]提出巖石內(nèi)部被激活的微裂紋數(shù)目與體應(yīng)變之間滿足Weibull 分布，即

式中：K、m為試驗參數(shù)；εv為體應(yīng)變。

上述擬合相關(guān)性系數(shù)較小。劉小明等[20]假定在單軸壓縮作用下巖石內(nèi)部微裂紋的發(fā)展過程符合：

根據(jù)泊松比定義：εl=με，ε為軸向應(yīng)變，有

對3 種工況進行模擬試驗，微裂紋發(fā)展及相應(yīng)冪函數(shù)擬合曲線隨應(yīng)力-應(yīng)變曲線發(fā)展如圖3 所示。

圖3 微裂紋發(fā)展曲線Fig.3 Growth curves of microcrack

3 種工況下微裂紋與軸應(yīng)變冪函數(shù)擬合的相關(guān)性系數(shù)均大于0.98。微裂紋隨軸應(yīng)變基本呈S 型曲線發(fā)展，尤其在初始階段，直到起裂應(yīng)力附近微裂紋才開始以極小的速率進行擴展，在峰值強度前冪函數(shù)擬合相對實際微裂紋數(shù)量較大，微裂紋擴展速率隨應(yīng)變增加不斷增大，在峰值強度附近達到極值并在一定范圍內(nèi)基本保持穩(wěn)定，此時試件內(nèi)已形成宏觀貫通裂紋，之后裂紋擴展主要沿宏觀貫通裂紋附近，且擴展速率隨應(yīng)力的不斷下降而減小。由于試驗加載采用位移控制即恒定速率加載，軸向應(yīng)變與加載時間呈正比，因此微裂紋與軸應(yīng)變（時間）的冪函數(shù)關(guān)系假設(shè)成立，可以通過軸應(yīng)變推斷微裂紋發(fā)展。

3 能量轉(zhuǎn)化規(guī)律研究

謝和平等[2]假設(shè)巖石受力過程與外界沒有進行熱交換，根據(jù)熱力學第一定律：

式中：Ue為彈性應(yīng)變能密度；Ud為耗散能密度。

陳旭光等[19]研究能量并考慮裂紋的影響，假設(shè)一條宏觀主裂紋擴展至貫通破壞，與室內(nèi)試驗破壞形態(tài)不一致，宏觀本構(gòu)理論不易實現(xiàn)試件的多裂紋破壞形態(tài)。以工況1為例分析能量的變化規(guī)律。

3.1 理論與模擬應(yīng)變能

PFC 模擬中將顆粒黏結(jié)能和應(yīng)變能之和記作總應(yīng)變能，由彈性應(yīng)變能密度得理論應(yīng)變能。彈性理論與數(shù)值模擬應(yīng)變能變化如圖4 所示。峰值強度前，裂紋擴展較少，理論計算與數(shù)值模擬應(yīng)變能相吻合，在極限強度達到最大值，表現(xiàn)為峰前能量積聚，峰后能量釋放[5]。極限強度附近能量出現(xiàn)平穩(wěn)段：應(yīng)變的增加使局部應(yīng)變能繼續(xù)增大；裂紋的開展導致平均應(yīng)力下降，同時耗散一部分能量，這兩部分能量相互抵消。PFC 中分離顆粒儲存的應(yīng)變能完全釋放，宏觀彈性理論對微裂紋考慮不充分，導致理論計算應(yīng)變能較大，數(shù)值模擬應(yīng)變能更符合實際能量的變化，從細觀力學角度研究能量更具優(yōu)勢。

圖4 理論計算與數(shù)值模擬應(yīng)變能變化曲線Fig.4 Strain energy curves of obtained by theoretical calculation and numerical simulation

3.2 能量與應(yīng)力-應(yīng)變及裂紋相關(guān)性

根據(jù)能量守恒定律，定義耗散能=邊界功-總應(yīng)變能，各能量的表達式這里不再贅述，見文獻[21]。應(yīng)力-應(yīng)變過程中各能量變化規(guī)律如圖5 所示。

圖5 能量隨應(yīng)力-應(yīng)變的變化關(guān)系曲線Fig.5 Relationships between energy and stress-strain

將應(yīng)力-應(yīng)變曲線分為4 個階段：

（1）初始壓縮階段（OA 段）：裂紋起裂應(yīng)力為峰值強度的41.5%，對應(yīng)圖5 中A 點，此階段無微裂紋產(chǎn)生，邊界功全轉(zhuǎn)化為試件的應(yīng)變能，基本無能量耗散，顆粒動能和摩擦能基本為0。

（2）線彈性階段（AB 段）：A 點后微裂紋開始擴展，但速率較慢，處于穩(wěn)定擴展階段，摩擦能呈線性小速率增長，試件宏觀表現(xiàn)出線彈性。邊界功和應(yīng)變能增長速率逐漸增大，表現(xiàn)出應(yīng)變硬化和能量積聚。耗散能基本呈線性增長，到B 點邊界功與應(yīng)變能出現(xiàn)了較小分離。

（3）塑性屈服階段（BC 段）：隨著應(yīng)力增加，裂紋擴展到一定程度試件宏觀表現(xiàn)出塑性屈服，裂紋處于加速不穩(wěn)定擴展階段，顆粒摩擦能增長速率增大；裂紋表面能所耗散能量增大，耗散能呈下凸型增長，增長速率不斷增大；應(yīng)變能與邊界功均增長但速率下降，二者逐漸分離；應(yīng)變能增長速率逐漸趨于穩(wěn)定后下降，在C 附近減小為0。

（4）峰后加速破壞階段（CD 段）：峰后試件表現(xiàn)出應(yīng)變軟化，應(yīng)變能在C 點達到極值。之后由于微裂紋擴展進一步加速，且顆粒間相對滑移變大，摩擦能增長速率增大；應(yīng)變能的迅速釋放及邊界功的持續(xù)增加，導致耗散能占系統(tǒng)功的比例逐漸增大直至試件破壞。

整個壓縮階段顆粒動能先增加后減小后又增大，但占系統(tǒng)能量比例極小；應(yīng)變能增長速率隨應(yīng)變先增大，后保持不變，最后逐漸減小變?yōu)樨撝怠?/p>

圖6 能量與裂紋發(fā)展的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curve between energy and crack

各能量隨微裂紋變化如圖6 所示。峰值強度前，耗散能、摩擦能同裂紋呈線性增長，峰值強度處微裂紋數(shù)量達到451 個，此時耗散能約占邊界功的10%。應(yīng)變能在極限強度附近達到極值，后出現(xiàn)隨裂紋發(fā)展保持不變的較長穩(wěn)定段，而耗散能和摩擦能均增大，且耗散能所占比例持續(xù)增大，當耗散能與應(yīng)變能相等時（裂紋數(shù)為1 100 左右），其增長速率進一步增大，應(yīng)變能下降速率加快，此時微裂紋擴展速率激增，出現(xiàn)明顯滑移錯位，最終裂紋貫通試樣破壞。試樣壓縮過程中應(yīng)變能隨裂紋呈下凹型，即增長速率逐漸下降為負值；耗散能與摩擦能隨裂紋呈上凹型，增長速率逐漸增大。

4 損傷演化規(guī)律研究

上述研究得到了微裂紋與軸應(yīng)變的變化關(guān)系，損傷的本質(zhì)是微裂紋的衍生發(fā)展和累積。范華林[6]用割線模量定義損傷變量：

對數(shù)值試驗工況1 割線模量進行統(tǒng)計，隨應(yīng)力-應(yīng)變變化曲線如圖7 所示。割線模量在峰值強度迅速降低，對應(yīng)微裂紋擴展速率迅速增大，定義此時為試件損傷門檻，損傷閾值 Dcri=0.158。

圖7 割線模量變化曲線Fig.7 Curves of secant modulus

微裂紋的發(fā)展是損傷演化的實質(zhì)，為研究微裂紋與損傷演化關(guān)系，對3 種工況下?lián)p傷與微裂紋發(fā)展數(shù)據(jù)匯總分析，得出損傷變量與微裂紋符合線性發(fā)展關(guān)系，二者線性擬合相關(guān)系數(shù)均大于0.98，關(guān)系變化曲線如圖8 所示。

圖8 損傷變量與裂紋變化關(guān)系曲線Fig.8 Relationships between damage variable and crack propagation

綜上所述得出，微裂紋與損傷基本呈線性同步發(fā)展，由微裂紋的發(fā)展可推出損傷的演化規(guī)律。即損傷[20]：D ∝n(ε)，定義單軸壓縮下?lián)p傷：

式中：a、b 由材料性質(zhì)決定。

即為單軸壓縮下?lián)p傷的演化方程。通過試驗得到巖石的基本參數(shù)，進而求出損傷演化規(guī)律。

5 結(jié) 論

（1）試件峰值強度與細觀顆粒的黏結(jié)強度正相關(guān)，宏觀彈性模量與顆粒接觸、黏結(jié)模量正相關(guān)。

（2）應(yīng)變能在峰值強度達到極值，增長速率隨應(yīng)變先增大，后不變，最后逐漸減小為負值，表現(xiàn)為峰前積聚，峰后釋放。耗散能隨裂紋呈上凹型，增長速率逐漸增大。摩擦能隨裂紋基本呈線性發(fā)展。

（3）峰值強度前數(shù)值模擬與彈性理論所得應(yīng)變能吻合，之后前者小于后者。PFC 從細觀力學出發(fā)實現(xiàn)試件多裂紋破壞形態(tài)，研究能量變化更合理。

（4）微裂紋與軸向應(yīng)變符合冪次函數(shù)關(guān)系假設(shè)（ 見式（1））。

（5）損傷與軸應(yīng)變呈冪次函數(shù)關(guān)系，對應(yīng)的損傷閾值為0.158。損傷與微裂紋呈線性發(fā)展關(guān)系，為損傷演化規(guī)律研究提供參考。

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