孫 凱 ，陳正林 ，陳 劍 ，徐學(xué)燕

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150090；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090）

1 引 言

凍土通常由土顆粒、孔隙氣、冰以及未凍水組成。由于冰和未凍水的存在，凍土在外部環(huán)境因素的變化時(shí)通常表現(xiàn)出流變特性[1－2]。凍土的蠕變是凍土流變特性的一個(gè)重要表現(xiàn)，近年來(lái)隨著在多年凍土區(qū)一系列重要工程的逐步開展、人工凍結(jié)法施工技術(shù)的廣泛應(yīng)用，凍土在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，尤其是高應(yīng)力水平下的蠕變變形計(jì)算成為一個(gè)非常重要的研究課題。凍土的蠕變是非常復(fù)雜的一種現(xiàn)象，土的類型、密度、含水率、溫度及應(yīng)力狀態(tài)等因素都會(huì)影響凍土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[3]。研究結(jié)果表明[4]，凍土在恒定應(yīng)力作用下蠕變過(guò)程可以分為兩個(gè)階段：減速蠕變階段（變形速率隨時(shí)間降低）和穩(wěn)態(tài)蠕變階段（變形速率近似為常數(shù)）。某些情況下，尤其是高應(yīng)力水平下，土顆粒的破碎、冰晶體的破碎、冰-土膠結(jié)體結(jié)構(gòu)性的損傷以及冰在高應(yīng)力作用下的融化都會(huì)導(dǎo)致凍土原有結(jié)構(gòu)的破壞而導(dǎo)致蠕變進(jìn)入加速階段。在加速蠕變階段，變形速率加速增長(zhǎng)，而這種蠕變會(huì)導(dǎo)致試樣的迅速破壞。

基于元件模型的流變模型理論由于其概念直觀也被廣泛應(yīng)用于描述巖土材料的蠕變特性。經(jīng)典的模型有Kelvin 模型、Burgers 模型、Bingham 模型以及Nishihara 模型等。這些經(jīng)典元件模型中通常認(rèn)為模型參數(shù)是定常數(shù)，無(wú)法很好地描述蠕變的全過(guò)程，尤其是對(duì)加速蠕變階段的描述[5]?？涤绖俒6]采用非定常、非牛頓黏性元件代替冪律型黏性元件描述加速蠕變。汪仁和等[7]在Nishihara 模型中采用非牛頓黏性元件代替牛頓黏性元件來(lái)描述凍土一維加速蠕變狀態(tài)。

凍土的蠕變是典型的非線性流變，即應(yīng)力-應(yīng)變的等時(shí)曲線不是直線或折線，應(yīng)力水平的變化和時(shí)間的變化都能引起非線性，且應(yīng)力和時(shí)間對(duì)非線性的影響是耦合的。凍土的蠕變機(jī)制非常復(fù)雜，如果考慮到這些因素，建立的模型形式上將非常復(fù)雜，同時(shí)也不容易推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)。因此基于元件模型，在黏滯系數(shù)中引入時(shí)間和應(yīng)力水平的影響，根據(jù)凍土的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)擬合，進(jìn)而建立簡(jiǎn)單而適用的凍土的蠕變本構(gòu)關(guān)系。本文首先基于Nishihara 模型，采用非定常的黏性元件（見(jiàn)圖1）。將黏彈性元件的黏滯系數(shù)修正為時(shí)間的函數(shù)，將黏塑性元件的黏滯系數(shù)修正為應(yīng)力水平和時(shí)間的函數(shù)，建立起凍土的一維蠕變方程，進(jìn)而推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)。通過(guò)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，無(wú)論是一維還是三維應(yīng)力狀態(tài)，該模型均能夠較好地反映凍土蠕變過(guò)程中的衰減、穩(wěn)定和加速階段。

圖1 非線性Nishihara 模型Fig.1 Nonlinear Nishihara model

2 改進(jìn)的凍土一維蠕變模型

Nishihara 模型被廣泛應(yīng)用于描述巖土材料的流變特性，能夠描述衰減和穩(wěn)態(tài)蠕變過(guò)程，但不能反映加速蠕變。Nishihara 模型由一個(gè)廣義Kelvin 體和一個(gè)黏塑性體串聯(lián)而成，通過(guò)將其中的黏性元件修正來(lái)描述凍土的非線性蠕變特性。

2.1 非定常的廣義Kelvin 體

Kelvin 體把一個(gè)彈簧和一個(gè)黏性元件的并聯(lián)，可以定性地描述蠕變過(guò)程中的衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變，但Kelvin 體在許多情況下不能很好地定量描述這兩個(gè)階段。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果分析，凍土蠕變具有非線性蠕變特征，且其非線性程度與蠕變時(shí)間有關(guān)，由于蠕變過(guò)程中黏滯系數(shù)將隨時(shí)間增加而發(fā)生硬化增大的規(guī)律[6]。本文假設(shè)黏滯系數(shù)的方程符合：

式中：η10、m、n為材料參數(shù)，且m≥0，n≥0；t為蠕變時(shí)間。

式（1）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

表明η1(t)單調(diào)遞增。

由式（1）可知，當(dāng)t=0 時(shí)，η1(t)=0 ；當(dāng)t→∞時(shí)，η1(t)→ η10，說(shuō)明當(dāng)t 從0→∞時(shí)，η1(t)單調(diào)遞增至η10。黏滯系數(shù)增大會(huì)導(dǎo)致土的蠕變速率逐漸減小，反映了土體在低應(yīng)力狀態(tài)下的衰減和穩(wěn)態(tài)蠕變過(guò)程[8]。非定常的Kelvin 體本構(gòu)方程為

式中：E1為Kelvin 體中彈簧的模量。

在常應(yīng)力條件下對(duì)式（3）分離變量求定積分（t=0,ε0=0 ），得到非定常Kelvin 體的蠕變?nèi)崃浚?/p>

黏性元件滿足式（1），代入式（4）可得

此時(shí)，修正后的具有非定常黏滯系數(shù)的Kelvin體退化為經(jīng)典的定常Kelvin 體。非定常的Kelvin體主要描述減速蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變。

2.2 改進(jìn)的非線性黏塑性體

凍土的流變具有牛頓黏性元件特征，由于凍土流變過(guò)程中最終要經(jīng)過(guò)加速蠕變階段而發(fā)生結(jié)構(gòu)變形破壞，更多地表現(xiàn)出非牛頓黏性元件的特性[9]。許多關(guān)于凍土蠕變的研究也表明，應(yīng)力水平是影響凍土強(qiáng)度和變形的重要因素[3－4]。應(yīng)力水平的提高會(huì)導(dǎo)致冰的融化、冰與土顆粒黏結(jié)的破壞、冰晶體的破碎甚至土顆粒的破碎，影響土的蠕變特性，進(jìn)而這些因素的影響會(huì)反映在凍土的黏滯系數(shù)的變化中。

為了描述凍土的加速蠕變過(guò)程，本文引進(jìn)一種黏塑性體（見(jiàn)圖1），由非定常的、非牛頓的黏性體與塑性體并聯(lián)。當(dāng)應(yīng)力σ <σs（屈服應(yīng)力）時(shí)，塑性體不發(fā)生應(yīng)變，此時(shí)，黏性體不起作用；當(dāng)σ >σs時(shí)，塑性體屈服，摩擦面滑移。非定常、非牛頓黏性元件的本構(gòu)方程可以表示為

假設(shè)黏滯系數(shù)η2(t)滿足：

式中：η20、v為常數(shù)。常應(yīng)力作用下將式（8）代入式（7）后，分離變量求積分（當(dāng)t=0,ε0=0）,可以得到蠕變?nèi)崃康谋磉_(dá)式為

由式（9）可見(jiàn)，蠕變過(guò)程是與初始應(yīng)力和蠕變時(shí)間有關(guān)的。本文用式（9）的蠕變函數(shù)來(lái)描述非定常、非牛頓黏塑性體的蠕變過(guò)程。

2.3 改進(jìn)的非定常的Nishihara 模型

為了描述凍土蠕變的全過(guò)程，將描述衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變的非定常Kelvin體與描述加速蠕變的黏塑性體串聯(lián)，給出一種改進(jìn)的非定常的Nishihara模型。如圖1 所示，當(dāng)應(yīng)力水平小于屈服應(yīng)力時(shí)蠕變?nèi)崃繛?/p>

當(dāng)應(yīng)力水平大于屈服應(yīng)力時(shí)蠕變?nèi)崃繛?/p>

本文擬合了不同應(yīng)力水平下凍土單軸壓縮蠕變的數(shù)據(jù)[2]，如圖2 所示，模型參數(shù)見(jiàn)表1。圖2 中，蠕變?cè)囼?yàn)的壓力從2.7 MPa 增長(zhǎng)至3.5 MPa。當(dāng)壓力在2.7 MPa 時(shí)，凍土表現(xiàn)為衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變2 個(gè)階段；當(dāng)壓力增長(zhǎng)至3.0 MPa 時(shí)，凍土經(jīng)過(guò)衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變后進(jìn)入加速蠕變階段；當(dāng)壓力增長(zhǎng)至3.5 MPa 時(shí)，凍土蠕變的前兩個(gè)階段不明顯，直接進(jìn)入加速蠕變狀態(tài)直至破壞。與定常數(shù)的Nishihara 模型相比，修正的Nishihara 模型能夠具有較好的適用性和較高的精度。

3 凍土三維蠕變模型

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下流變本構(gòu)模型難于用形象化的元件模型描述，一些研究表明其流變本構(gòu)方程與一維模型的形式是一致的，采用類比的方法推導(dǎo)出三向應(yīng)力狀態(tài)下凍土的流變本構(gòu)模型。這種方法在研究三維應(yīng)力狀態(tài)下的流變本構(gòu)關(guān)系時(shí)得到了廣泛應(yīng)用[7]。

圖2 一維凍土蠕變?cè)囼?yàn)和模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.2 Experiment and predicted results of uniaxial creep behavior of frozen soil

三軸蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果表明，各向同性且均勻的材料的蠕變是由剪切變形控制，如果忽略蠕變過(guò)程中的體應(yīng)變，當(dāng)主剪應(yīng)變速率與主剪應(yīng)力成比例時(shí)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變速率可表示[10－11]為

式中：Sij為偏應(yīng)力張量；J2為偏應(yīng)力張量的第二應(yīng)力不變量。

單軸蠕變的本構(gòu)方程是三軸蠕變的特殊形式，通過(guò)單軸蠕變時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)：σ1=σ，σ2=σ3=0可以推導(dǎo)出f(J2)的表達(dá)式，再代入式（13）中可以獲得凍土三軸蠕變本構(gòu)方程。一些學(xué)者也采用過(guò)類似的方法[12]。

單軸壓縮狀態(tài)下的偏應(yīng)力張量的第二應(yīng)力不變量簡(jiǎn)化為

將式（14）代入式（13），可得凍土的蠕變速率：

單軸狀態(tài)下當(dāng)應(yīng)力水平小于屈服應(yīng)力時(shí)，凍土只有減速蠕變和穩(wěn)定蠕變兩個(gè)階段，此時(shí)式（11）為凍土的蠕變方程，對(duì)式（11）求導(dǎo)，可得蠕變應(yīng)變速率：

由式（15）和式（16）可得

將式（17）代入式（13）可得

三軸狀態(tài)下試驗(yàn)測(cè)得土的體積不變，考慮凍土初始瞬時(shí)彈性變形，將式（18）對(duì)時(shí)間積分可得凍土在復(fù)雜應(yīng)力下的修正的廣義Kelvin 模型本構(gòu)方程：

即為當(dāng)應(yīng)力水平小于屈服應(yīng)力時(shí)凍土在三軸狀態(tài)下的蠕變方程。與單軸狀態(tài)類似，當(dāng)應(yīng)力水平未到達(dá)屈服條件時(shí)，凍土只有衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變兩個(gè)階段。

同理，單軸狀態(tài)下當(dāng)達(dá)到屈服條件時(shí)，凍土蠕變包括衰減蠕變，穩(wěn)定蠕變和加速蠕變3 個(gè)階段，此時(shí)式（12）是凍土蠕變方程，對(duì)式（12）求導(dǎo)，可得應(yīng)變速率：

由式（15）、（20）可得

將式（21）代入式（20）可得

三軸狀態(tài)下試驗(yàn)測(cè)得土的體積不變，考慮凍土初始瞬時(shí)彈性變形，對(duì)式（22）積分可得凍土在復(fù)雜應(yīng)力下的修正的Nishihara 模型本構(gòu)方程：

即為應(yīng)力水平大于屈服應(yīng)力時(shí)凍土在三軸狀態(tài)下的蠕變方程。

式（19）、（23）為凍土在復(fù)雜應(yīng)力下的蠕變本構(gòu)方程。本文擬合了凍土在三軸應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)（溫度為-10℃，圍壓為7 MPa）[4]如圖3所示，模型的材料參數(shù)見(jiàn)表2。由預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與試驗(yàn)結(jié)果可以看出，模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有較好的描述。在低應(yīng)力下的試樣開始表現(xiàn)出衰減蠕變，隨后進(jìn)入穩(wěn)定蠕變階段；隨著應(yīng)力水平增加，土體的衰減階段和穩(wěn)定蠕變過(guò)程較短；當(dāng)應(yīng)力水平達(dá)到一定程度時(shí)，土體進(jìn)入加速蠕變階段而迅速發(fā)生破壞。

圖3 三維凍土蠕變?cè)囼?yàn)和模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.3 Experiment and predicted results of the triaxial creep behavior of frozen soil

表1 一維蠕變?cè)囼?yàn)中的模型參數(shù)Table 1 Parameters of the model in uniaxial creep condition

表2 三維蠕變狀態(tài)中的模型參數(shù)Table 2 Parameters of the model in triaxial creep condition

4 結(jié) 語(yǔ)

采用一種改進(jìn)的非定常、非牛頓的黏性元件代替Nishihara 模型中的黏性元件進(jìn)而建立起一維黏彈塑性凍土蠕變本構(gòu)關(guān)系，得到的蠕變?nèi)崃渴菓?yīng)力水平與時(shí)間的函數(shù)，能夠較好地描述高應(yīng)力水平下凍土的加速蠕變的特性。

通過(guò)類比法建立起應(yīng)變速率與偏應(yīng)力張量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而將提出的一維黏彈塑性模型擴(kuò)展到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下。

本文提出的一維和三維模型能較好地描述凍土在單軸以及三軸蠕變?cè)囼?yàn)中以及不同應(yīng)力水平狀態(tài)下的各種類型的蠕變特性，說(shuō)明提出的模型在不同應(yīng)力狀態(tài)、不同應(yīng)力水平下都具有較好的適用性。

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