錢建固 ，林志果 ，馬 霄

（1.同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點試驗室，上海 2 000923）

1 引 言

交通荷載往復作用下飽和軟土路基會發(fā)生顯著的工后沉降，已提出的預測路基長期沉降的方法主要有統計分析法、彈塑性數值方法和基于試驗建立的經驗顯式模型分析法。統計分析法基于統計和概率分析，難以推廣到一般的工程案例中，也難以對非常規(guī)的工程問題或不同的工況做出準確的分析。彈塑性數值法理論較為精確，但參數取值的困難，在大數目循環(huán)荷載下的計算效率依然是其在工程實踐中推廣使用的阻礙。顯式模型具有物理概念明確、參數少、計算方便等特點，利于在工程界的推廣應用。

Monismith 等[1]建立了循環(huán)累積應變與加載次數之間關系的經驗公式。Li 等[2]總結了之前眾多的室內試驗改進了上述模型，改進模型中考慮了動應力水平qd的影響。Chai 等[3]在以上工作的基礎上，考慮了土體初始靜偏應力對首次循環(huán)加載應變的影響。黃茂松等[4]在上海地區(qū)第④層飽和軟黏土等向、偏壓固結不排水循環(huán)加載試驗基礎上建立了同時反映等向、偏壓固結情況下軸向循環(huán)累積塑性應變和孔壓發(fā)展規(guī)律的模型。

顯式模型一般與分層總和法結合，但分層總和法無法滿足路基沉降的位移協調問題。馬霄等[5]提出了等效有限元法，克服了上述缺陷，但他采用的瞬時積累逐步消散的孔壓模型與實際中孔壓積累與消散同時進行并不相符。針對以上不足的改進是本文所做的工作。

2 經驗顯式模型與等效有限元

2.1 循環(huán)累積塑性應變及孔壓顯式模型

黃茂松等[4]在上海地區(qū)第④層飽和軟黏土等向、偏壓固結不排水循環(huán)加載試驗基礎上建立了同時反映等向、偏壓固結情況下軸向循環(huán)累積塑性應變和孔壓發(fā)展規(guī)律的模型。

累積軸向應變顯式模型：

式中：η=qd/pc，qd為動偏應力；pc為圍壓；N為循環(huán)次數；a1、m、c、b為試驗確定的常數；pa為大氣壓。

累積孔壓顯式模型：

式中：u*為孔壓；η=qd/pc；au1、mu、cu、bu為試驗確定的常數，其他符號意義同前。

2.2 單元應變的計算

交通荷載循環(huán)作用下土體單元應變包括兩部分，如圖1 所示[5]。εr為軸向循環(huán)累積塑性應變，由于這部分應變對應不排水過程，因此徑向應變?yōu)?εr。對于二維平面問題，通過坐標變換由軸向和徑向應變得到全局坐標系下x、y 方向的應變，公式為

式中：α為軸向應變方向與Y 軸的夾角。

第二部分應變?yōu)榭讐合⒁鸬捏w應變εv。由e-lnp 曲線可得平均主應力增量引起的體應變增量表達式。

式中：p0為前期固結壓力；e0為初始孔隙比。以u=0時εv=0為邊界條件，對式（4）積分可得

式中：u為累積孔壓；U為固結度。在平面應變狀態(tài)下對應的x、y 方向應變?yōu)?/p>

圖1 單元應變Fig.1 Strain of element

2.3 等效有限元方法

所謂等效有限元法[5]，指借鑒初應變方法的計算思路來實現顯式模型的有限元計算。顯式模型與一般的本構模型同樣都是描述材料在外力作用下的變形特性，不同的是顯式模型中出于簡化計算的需要沒有直接建立應力-應變的關系，而是建立了加載次數與應變的關系，所以不能直接用于有限元計算。

由顯示模型可以得到單元在循環(huán)荷載下的總應變表達式，以此作為初應變，假設一個彈性矩陣，可以得到初應變{ε0} 對應的初應力{σ0} 與初應變引起的等效節(jié)點荷載向量{ Fε0}：

由疊加原理知在原平衡條件上增加的初應力引起的節(jié)點位移向量可由式（8）解出。

由于彈性矩陣的選取對總剛度矩陣與等效節(jié)點荷載向量的影響完全同步，可以選取任意彈性矩陣而不會影響節(jié)點位移向量。

以上過程相當于用初應變和彈性矩陣算出一個等效節(jié)點荷載向量，讓這個等效節(jié)點荷載在有限元模型中“擠”和“拉”出交通荷載作用引起的變形，通過最小位能原理保證了這種變形是受力平衡且?guī)缀芜B續(xù)的，從而實現了以顯式模型為本構模型的等效有限元計算。

3 孔壓消散模型

3.1 瞬時積累逐步消散孔壓模型

土體單元體應變計算公式（5）中孔壓消散值的計算需要選取孔壓消散模型。以往都是采用瞬時積累逐步消散的模式，如圖2 所示。OA為基于不排水循環(huán)加載試驗建立的孔壓顯式模型，即式（2）計算值。比如求 t0時刻孔壓消散值，瞬時積累逐步消散的孔壓模型假定全部孔壓在 t0/2時刻（圖中的C點）全部積累，這意味著用孔壓荷載DEF 來代替孔壓荷載DOC。顯然DOC 大于DEF，且DOC 到 t0的時間長。因此，瞬時積累逐步消散的孔壓模型將會低估了孔壓消散值。

圖2 瞬時積累逐步消散的孔壓模式示意圖Fig.2 Sketch of accumulating instantly and dissipating gradually pore water pressure model

3.2 孔壓積累與消散相互耦合的孔壓模型

張建民等[6]將大沙基固結理論與不排水條件下震動孔壓增長模式相耦合，提出了描述自然排水條件下震動孔壓長消的微分方程式：

式中：u*為震動孔壓增長模式；Cvx、Cvy分別為水和豎直方向的固結系數。

張建民等[6]通過 Sturm-Liouvill 系統以及Duhamel 積分與多重Fourier 展開給出了式（9）水平自由界面的飽和土層的解析解。求解的邊界條件為底部與兩端不排水，頂部自由排水：

式中：h、l 分別為求解土層的厚度與長度，求得的解析解表達式為

式中：

式中：x0、y0、t、u*分別為求解的水平、豎直坐標、時間與震動孔壓增長模式（即文中孔壓顯示模型）。

文中顯式模型 u*建立了孔壓與加載次數的關系，而式（12）要求 u*為與時間的關系。只需規(guī)定加載次數隨時間的增長模式N=f(t)，即可將文中顯示模型（見式（2））變?yōu)榕c時間的關系 u*(t)。因此式（5）中uU 這一項即可按下式計算：

3.3 兩種孔壓模式計算結果對比

這里計算圖3 中A 點的孔壓長消及固結度。土層只有上方為排水邊界，土體各參數取表1、2 中的淤泥質黏土，孔壓顯示模型中的η 取0.15，pc取150 kPa。將參數代入式（2）、（11）中可得A 點孔壓變化，如圖4 所示。圖中，曲線OB 所反映的孔壓變化規(guī)律與試驗[7]得到的規(guī)律一致。兩種孔壓模型所計算的固結度的差異，如圖5 所示。

圖3 計算區(qū)域Fig.3 Computational region

圖4 孔壓變化規(guī)律Fig.4 Rules of pore pressure change

圖5 固結度隨時間變化規(guī)律Fig.5 Rules of degree of consolidation change over time

4 算例分析

上海浦東國際機場第一跑道于1999年10月建成投入運營，長4 000 m，寬60 m。巖土工程勘察資料表明，機場地基主要由黏性土、粉性土和砂土組成，土層分布如圖6 所示，各層參數見表1。由表可知，粉土層的固結系數遠大于黏土，可將其看做排水面。第①層土在地下水位線以上，不考慮其孔壓累積。第④層土上層是砂質粉土，近似認為是自由排水面，下層是黏土，近似認為不排水。第⑤層土排水條件很差，而且動應力比很小，累積的孔壓也很小，計算中忽略其孔壓值。

表1 土層物理力學參數Table 1 Physico-mechanical parameters of every stratum

圖6 浦東國際機場地質斷面圖(單位:m)Fig.6 Engineering geological profile of Pudong International Airport(unit:m)

4.1 有限元模型

浦東機場第一跑道長4 000 m，寬60 m，可以用平面應變有限元模型來分析。建模選取了一個典型的跑道截面，考慮對稱性，對跑道中軸線一側建模。模型中跑道1/2 的寬度為30 m，結構層總厚度為100 cm，其中混凝土道面厚46 cm，其下為3 層18 cm 厚的二灰碎石層。模型中路基土體厚40 m，寬100 m。實際土層分布第2 層中上面2 個亞層經常缺失，模型中簡化為1 層。

4.2 動應力場計算

本文荷載大小及作用位置參照空客A300 大飛機。空客A300 最大起飛重量171.4 t，降落時進場速度為249 km/h。A300 采用三點式起落架，起落架有1 組鼻輪和2 組主輪組成，如圖7 所示?？紤]到主輪承擔了大部分荷載，而且鼻輪距離主輪較遠，計算時忽略鼻輪承受的荷載。飛機在起降過程中，運行速率較大，引起的土體動荷載大于靜載。為了簡單起見，這里通過經驗關系式（14）[8]將動載等效為靜載：

圖7 飛機輪載分布Fig.7 Wheel load distribution of aircraft

將以上等效荷載加到3D 有限元模型中提取輪載下方跑道截面的應力場，再通過式（15）計算整個截面內各單元的最大偏應力：

4.3 顯示模型參數選取

循環(huán)累積軸向應變及累積孔壓顯式模型的參數見表2。表中，黏土和粉土的顯式模型參數根據錢建固等[9]不排水心形應力路徑循環(huán)扭剪試驗結果擬合得到。

表2 循環(huán)累積軸向應變及累積孔壓公式參數Table 2 Parameters of cylic accumulated axial strain and cumulative pore pressure formulas

4.4 計算結果

圖8為飛機動載作用下跑道路基豎向沉降云圖。

圖8 累積沉降云圖(單位:m)Fig.8 Nephogram of cumulated strains(unit:m)

從圖8 中計算結果顯示，路基淺層豎向沉降較大，最大沉降出現在兩側輪載作用之間；在路基淺層，沉降主要分布在輪載作用范圍附近；而在路基深層，由于應力擴散，沉降的分布范圍有所擴大。隨著時間的增加，沉降的量值與分布范圍也有所增加。

4.5 計算結果對比分析

王廣德等[10]監(jiān)測了該機場第一跑道自建成以來至2009年的沉降數據，其中一項為P265 斷面上的差異沉降，可用于與本文結果作對比分析，對比結果如圖9 所示。

圖9 差異沉降對比Fig.9 Comparison of differential settlement

實測數據與等效有限元計算得到的差異沉降發(fā)展規(guī)律基本相同，但數值大小存在一定的差異，造成這種差異的原因可能是：（1）交通荷載之外其它的因素也對差異沉降的發(fā)展有貢獻，如飛機降落時產生的沖擊荷載，以及機場跑道自重荷載的不均勻或排水條件的不均勻造成的差異沉降。（2）建模與實際的差異。本文計算模型對土層做了簡化，實際的土層分層在表層附近差異較大，常有亞層缺失，將第2 層土簡化為一層并按粉土參數取值可能使計算得到的差異沉降偏低。本文用擬靜力方法計算了等效動應力，也可能帶來一定的誤差。

5 結 論

（1）等效有限元計算得到的差異沉降發(fā)展規(guī)律與實測數據基本相同，在跑道投入運營初期差異沉降發(fā)展較快，運營一段時間以后增速放緩，趨于穩(wěn)定。

（2）考慮孔壓積累-消散相互耦合的孔壓模型所計算的沉降值比瞬時積累逐步消散的孔壓模型所計算的沉降值大。這種差異在運營初期更加明顯，隨著時間的推移二者逐步接近。

（3）本案例中，孔壓消散引起的沉降占總沉降約10%的比例。隨著時間的推移，固結沉降所占的比例還會有所增長。

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