金永容，張新全

(合肥師范學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 合肥 230601)

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一道公開征解不等式的證明與推廣

金永容，張新全

(合肥師范學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 合肥 230601)

[摘要]對一道公開征解的不等式進行了證明，并將該不等式推廣到更一般的情形，對一般情形也予以證明。最后，探討了特殊情形下不等式的幾何意義。

[關鍵詞]不等式；征解；證明；推廣

1問題的提出

在2014年第5期《中學數學教學》的封底刊登了一道公開征解的不等式：

設x1,x2,…,xn都為正數，且x1+x2+…+xn=1，求證：

(1)

下面證明上述不等式并進行推廣，還得到了一組新的不等式。

設m,n為自然數， x1+x2+…+xn=1，xi>0，i=1,2,…,n ，則有不等式

(2)

顯然(2)是一組不等式，當m=n時即為不等式(1)，不等式(2)的證明將在2中給出.

對任意n∈N+，當m=1時得到一個有幾何意義的定理，這是3的內容。

2不等式(2)的證明

下面證明不等式(2)，即證明

定理1設m,n為自然數， x1+x2+…+xn=1，xi>0，i=1,2,…,n，則

(3)

證明：不等式(2)等價于不等式

(4)

當m=1時，由于

即m=1時，不等式(3)成立，從而不等式(2)成立。

當m=2時，不等式(3)可寫為：

由于已證m=1時，不等式(3)成立，即

x1+…+xi-1+xi+xi+xi+1+…+xn，于是得到

這樣得到不等式(4)，從而證明了m=2時不等式(3)成立。

對一般的自然數k，要利用即將證明的引理1的結果：

(5)

這樣不等式(3)等價于不等式

(6)

這樣完成了定理1的證明，下面的任務關鍵是證明引理1。

(7)

證明記N=1+n+n2+…+nk, (7)式中的分子可寫為：

(8)

這樣(8)式和中共有1+n+n2+…+nK=N項，應用算術平均不小于幾何平均不等式得到

(注：上式中(x1+x2+…+xn)j的展開式對乘積的貢獻為Xj·nj-1，是因為

因而，上式等于

故引理1得證，這樣也就完成了定理1的證明.至此已完全證明了公開征解的不等式且作了推廣.

下面討論不等式(2)當m=1時的幾何意義.

3當m=1時，不等式(2)的幾何意義

當m=1時，不等式(2)為

(9)

這時也稱(x1,x2,x3)為點P的面積坐標.

因而在不等式(9)中，右邊為點P的重心坐標的乘積。

(10)

得到點列

(11)

(12)

其中P*為Sn-1的重心。

證明 (11)式是不等式(3)當m=1時的特殊情況。

為證明(12)式，注意到由(10)

( i=1,2,…,n-1； j=1,2,3,… )

(13)

(14)

這就證明了

(15)

(16)證畢。

[參考文獻]

[1]彭光焰. 有獎征解[J]. 中學數學教學，2014，(5)：66.

[2]張新全. 一類數列單調性的探究. 合肥師范學院學報，2009，(3)：34-36.

[中圖分類號]G61

[文獻標識碼]B

[文章編號]1674-2273(2015)06-0109-02

作者簡介][第一 金永容(1963-)，女，安徽桐城人，合肥師范學院數學與統(tǒng)計學院副教授，研究方向是數學分析，教育教學。

[基金項目]2014年合肥師范學院研究生教育與創(chuàng)新工程項目(2014021)

[收稿日期]2015-07-12