趙秀蘭，運(yùn)高謙

（1.黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院數(shù)理部，鄭州 450063；2.鄭州輕工業(yè)學(xué)院，鄭州 450002）

線性代數(shù)是普通高等院校理工類、經(jīng)管類專業(yè)重要的一門基礎(chǔ)理論課，線性代數(shù)的理論是計(jì)算技術(shù)的基礎(chǔ)，同系統(tǒng)工程，優(yōu)化理論及穩(wěn)定性理論等有著密切聯(lián)系，也是很多后續(xù)課程如電路分析、化學(xué)、力學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)、運(yùn)籌學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等課程的重要工具。它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗统橄笏季S能力起著不可或缺的作用。隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展和計(jì)算機(jī)的普及，線性代數(shù)的應(yīng)用不斷擴(kuò)展到越來越多的新領(lǐng)域，用代數(shù)方法解決實(shí)際問題已滲透到各個(gè)領(lǐng)域，顯示出其重要性和實(shí)用性。目前，人們所遇到的問題牽涉到的變量愈來愈多，處理這種涉及到成百上千變量的復(fù)雜問題，當(dāng)前解決這類問題的有效方案是把變量之間的關(guān)系線性化，所以線性代數(shù)已成為眾多領(lǐng)域解決涉及較多變量問題的熱門數(shù)學(xué)工具。線性代數(shù)這門課程的特點(diǎn)是概念比較抽象，概念之間聯(lián)系很密切。如何講好這門課，培養(yǎng)學(xué)生利用線性代數(shù)的內(nèi)容、方法去解決問題，成為數(shù)學(xué)工作者需要思考的問題。

一、線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

線性代數(shù)在大學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，在碩士研究生的入學(xué)考試中也占有很大的比例。在教學(xué)安排上，線性代數(shù)課程一般在大二的上學(xué)期開設(shè)，課時(shí)為32或48學(xué)時(shí)。內(nèi)容上，主要有行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、矩陣的特征值與特征向量、二次型。行列式部分以計(jì)算為主線，由二元、三元線性方程組引入二階、三階行列式，主要介紹行列式的概念、性質(zhì)，重點(diǎn)講解行列式的各種計(jì)算方法及技巧，最后給出行列式在解線性方程組中的應(yīng)用——克萊姆法則。矩陣是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，貫穿始終，是研究向量組的線性相關(guān)性及線性方程組的解法的有力工具。矩陣部分首先介紹矩陣的概念及一些特殊矩陣，之后給出矩陣的運(yùn)算，重點(diǎn)講解矩陣的乘法運(yùn)算，探討矩陣的初等變換及其在矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用，進(jìn)一步研究矩陣的內(nèi)在特性，包括可逆矩陣及矩陣的秩，最后給出分塊矩陣及其運(yùn)算。線性方程組以矩陣變換法為主，由中學(xué)的二元、三元線性方程組引入解n元線性方程組的消元法，介紹如何利用矩陣的初等變換求解方程組，重點(diǎn)討論線性方程組解的存在性，齊次和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。n維向量以討論線性關(guān)系為主，介紹n維向量的概念及向量的線性運(yùn)算，主要講解向量組及其線性組合，結(jié)合線性方程組和矩陣知識(shí)重點(diǎn)討論向量組的線性相關(guān)性及向量組的秩。矩陣的特征值與特征向量以方陣對(duì)角化為主，首先介紹矩陣的特征值與特征向量的概念及求解方法，之后引入相似矩陣，重點(diǎn)研究矩陣的對(duì)角化問題，特別是實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化。二次型以化標(biāo)準(zhǔn)形為主，介紹二次型及其矩陣表示，重點(diǎn)講解化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的三種方法——配方法、初等變換法和正交線性替換法，最后給出正定二次型的概念及判定方法。目前，線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容偏重自身理論體系，重點(diǎn)突出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性，教學(xué)方法大多以“教師為中心”。另外，線性代數(shù)具有自身的特殊性，它既不像微積分可以聯(lián)系學(xué)生中學(xué)已接觸到的函數(shù)知識(shí)，能做到知識(shí)的以舊更新，降低學(xué)習(xí)的難度，又不像概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有很多實(shí)際生活的事例可以選取，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。線性代數(shù)這門課程，學(xué)生在形式上處理的是表格數(shù)據(jù)這一特殊的數(shù)據(jù)形式。實(shí)質(zhì)上，線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容具有嚴(yán)密的邏輯性，很強(qiáng)的抽象性，概念多，定理多且證明方法構(gòu)造性強(qiáng)，不易理解，計(jì)算方法多、計(jì)算量大，技巧性又強(qiáng)?；诰€性代數(shù)概念抽象，知識(shí)點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣的特征，這樣，教學(xué)內(nèi)容的要求與教學(xué)課時(shí)量構(gòu)成了一對(duì)矛盾。在具體教學(xué)中，上述問題的存在給任課老師帶來一定的難度，同時(shí)使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生畏難情緒。為了進(jìn)一步提高教育教學(xué)質(zhì)量，就線性代數(shù)教學(xué)改革進(jìn)行探索。

二、將線性代數(shù)的概念與其幾何背景相融合，精選教學(xué)內(nèi)容

學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)過程中通常感覺抽象，主要是因?yàn)楦拍畹某橄蠡Ｈ缇€性代數(shù)教學(xué)中遇到的第一個(gè)概念行列式，很多學(xué)生不明白行列式為什么那樣定義，其實(shí)質(zhì)又是什么；線性相關(guān)、線性無關(guān)為什么那樣定義，體現(xiàn)的是向量之間的什么關(guān)系。如此以來，學(xué)生失去了對(duì)線性代數(shù)學(xué)習(xí)的興趣，也不利于該課程與學(xué)生專業(yè)課程的銜接。其實(shí)，線性代數(shù)中的許多問題都有形象的幾何解釋。如二階行列式計(jì)算的是平行四邊形的面積，三階行列式計(jì)算的是平行六面體的體積。兩個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩個(gè)向量共線，三個(gè)向量線性相關(guān)的體現(xiàn)的幾何意義是它們共面。三維歐氏空間中任意四個(gè)或四個(gè)以上向量是線性相關(guān)的。這樣，在學(xué)生熟悉的內(nèi)容上引出新知識(shí)，借助解析幾何為線性代數(shù)中的抽象問題提供幾何直觀。不僅幫助學(xué)生理解行列式的由來，還激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，堅(jiān)持“以應(yīng)用為目的，以夠用為度”的原則，在教學(xué)中結(jié)合概念的幾何背景闡述概念，重點(diǎn)介紹行列式的性質(zhì)和展開定理以及向量組線性相關(guān)性的判斷方法，弱化概念本身。

對(duì)于工科及經(jīng)管類的非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)，堅(jiān)持應(yīng)用為目的。對(duì)定理及推論的證明不做要求，只需記住結(jié)論，會(huì)用即可。對(duì)于行列式的計(jì)算，不必追求計(jì)算技巧去處理復(fù)雜抽象的行列式計(jì)算。抓住矩陣這一核心概念，將矩陣的初等變換引入到向量的線性相關(guān)性、向量組的秩、線性方程組的解、特征值與特征向量、矩陣的相似對(duì)角化中。在求逆矩陣方法的掌握上，要求學(xué)生掌握利用初等行變換求逆矩陣的方法，利用伴隨矩陣求逆矩陣不做要求。對(duì)于“向量空間”這部分抽象性較強(qiáng)的內(nèi)容，以學(xué)生熟知的二維、三維空間的坐標(biāo)系、坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化出發(fā)，將概念推廣到N維空間上，引入維數(shù)、基底、基變換等抽象的概念。

三、將線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際問題相互滲透，引入應(yīng)用題型

線性代數(shù)是一門抽象性較強(qiáng)的理論課，學(xué)生理解起來有一定的難度，因此教師在教學(xué)內(nèi)容的安排上盡量做到由淺入深、由具體到抽象，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用背景引出相關(guān)內(nèi)容。如在矩陣部分，教材上一般在給出矩陣定義后再定義矩陣的乘法運(yùn)算，這樣增加了學(xué)生的困惑，學(xué)生不明白矩陣的乘法運(yùn)算為什么那樣給出定義，若從實(shí)際問題作為切入點(diǎn)引出矩陣的乘法運(yùn)算，效果會(huì)不一樣。例如：

假設(shè)某家電超市2014年銷售甲、乙、丙三種家電產(chǎn)品，甲、乙、丙三種產(chǎn)品在每一季度的銷售數(shù)量（見表1）。

表1 甲、乙、丙三種產(chǎn)品在四個(gè)季度的銷售數(shù)量

甲、乙、丙三種商品的銷售價(jià)格和利潤（見表2）。

表2 甲、乙、丙三種商品的銷售價(jià)格和利潤

該超市2014年的總價(jià)格和總利潤（見表3）。

表3 總價(jià)格和總利潤

已知，該超市第一季度銷售商品的總價(jià)格為：c11=a11b11+a12b21+a13b31，

該超市第一季度銷售這些商品所獲得的總利潤為：c12=a11b12+a12b22+a13b32，

于是，對(duì)任意的 i=1，2，3；j=1，2，有：cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j

設(shè)矩陣：

這是上述實(shí)例所體現(xiàn)的總價(jià)格和總利潤的計(jì)算過程，可以抽象為矩陣的乘法 C=AB，其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j，i=1，2，3，4；j=1，2。由此學(xué)生對(duì)矩陣這一表格數(shù)據(jù)的乘法運(yùn)算有一直觀印象。過對(duì)實(shí)際問題的討論，幫助學(xué)生理解抽象的代數(shù)概念，從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。例如，在介紹逆矩陣時(shí)，結(jié)合逆矩陣在保密通信上的應(yīng)用，舉例：某男生向自己心儀的女生發(fā)來一封密信，密信是一線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容中特征值和特征向量是一對(duì)很重要的概念。特征值和特征向量往往用來解決實(shí)際問題，它們?cè)诩兇鈹?shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域發(fā)揮著重大作用，例如：代數(shù)學(xué)、函數(shù)論、泛函分析等，同時(shí)在一些非線性情況下也有著顯著的重要性。所以，對(duì)于學(xué)習(xí)線性代數(shù)的學(xué)生來說，這兩個(gè)概念的掌握很有必要。在介紹特征值、特征向量時(shí)，根據(jù)特征值和特征向量應(yīng)用于設(shè)計(jì)決策分析中的采用AHP（層次分析法）決策，也可以建立研究一個(gè)種群的基因變異，基因遺傳等醫(yī)學(xué)問題的模型，也可結(jié)合其在“人口遷移的動(dòng)態(tài)分析模型”中的應(yīng)用引出；在介紹線性方程組求解時(shí)，可以插入“投入產(chǎn)出分析模型”實(shí)例，投入產(chǎn)出分析模型就是利用數(shù)學(xué)的形式反映經(jīng)濟(jì)上投入、產(chǎn)出等問題。這樣，以實(shí)例帶出概念，減少數(shù)學(xué)的抽象性，突出數(shù)學(xué)的實(shí)用性，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的分析能力和應(yīng)用能力，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活密切關(guān)聯(lián)。

四、將線性代數(shù)中的運(yùn)算與教學(xué)軟件相結(jié)合，提高學(xué)生實(shí)踐能力

在線性代數(shù)教學(xué)中，繁雜的高階行列式、高階矩陣的結(jié)算、涉及變量個(gè)數(shù)比較多的線性方程組的求解以及矩陣的特征值和特征向量的求解是最耗時(shí)間和精力的。數(shù)學(xué)工作者應(yīng)及時(shí)將數(shù)學(xué)仿真軟件（Mathematica、Matlab軟件）應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂，改善傳統(tǒng)教學(xué)模式，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐意識(shí)。借助現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)將教學(xué)軟件Matlab引入教學(xué)中，通過編寫簡單易掌握的應(yīng)用程序解決上述問題，這樣既節(jié)約了學(xué)生大量的計(jì)算時(shí)間，又提高了學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力和數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的想象力、創(chuàng)造力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

五、結(jié)束語

以上幾個(gè)方面，是我們進(jìn)行線性代數(shù)教學(xué)改革的思考，將“以老師為中心”轉(zhuǎn)換為“以學(xué)生為中心”，結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，突出教師的主動(dòng)引導(dǎo)作用，在保持原有課程體系和內(nèi)容的基礎(chǔ)上，在教學(xué)過程中，融入上述方法，抓住知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，溫故而知新，使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的概念及方法有一個(gè)深層次的理解，降低學(xué)習(xí)難度，對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)會(huì)起一定的作用，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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