（河北省獻(xiàn)縣第一中學(xué)062250）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透
——以函數(shù)奇偶性教學(xué)為例

許桂蘭

（河北省獻(xiàn)縣第一中學(xué)062250）

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)中，又相對超脫于我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，能夠遷移并廣泛應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科和社會(huì)生活中。在教授數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革和實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的必由之路。本文主要針對函數(shù)奇偶性的應(yīng)用及此過程中涉及到的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行闡述。

函數(shù)奇偶性數(shù)學(xué)思想方法

所謂數(shù)學(xué)方法，是指人們從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序、途徑，是實(shí)施數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段，也是數(shù)學(xué)思想的具體化反映。著名數(shù)學(xué)家G.波利亞指出：數(shù)學(xué)思想、方法比形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)更具有普遍性，在學(xué)生未來的工作和生活中有更加廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)思想、方法是高度抽象、概括的，所以學(xué)生一旦掌握了數(shù)學(xué)思想、方法，就能長久予以保持。這正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說：“即使學(xué)生把所教給的法則和公式全忘了，銘刻在他心中的數(shù)學(xué)思想和方法卻能使他終身受益?！睌?shù)學(xué)思想、方法的掌握不僅有利于他深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，而且有利于他的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。因此，我們要在講清知識(shí)、提高學(xué)生分析問題和解決問題的同時(shí)，有意識(shí)地培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)思想方法的理解和興趣，只有這樣，學(xué)生才會(huì)產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力和積極參與的愿望，提高課堂學(xué)習(xí)效率，并能體會(huì)到數(shù)學(xué)的作用和美感。函數(shù)奇偶性是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考察內(nèi)容，而且考察的時(shí)候綜合性強(qiáng)，難度大，往往會(huì)同時(shí)考到函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱軸及對稱中心等內(nèi)容。學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性，能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想，初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待事物，感受數(shù)學(xué)的對稱美。

一、利用函數(shù)的奇偶性求值，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想

構(gòu)造，就是按照人們某種期望的目標(biāo)或需要去設(shè)計(jì)某個(gè)函數(shù)、方程或結(jié)構(gòu)的工作，也是數(shù)學(xué)中常用的一種創(chuàng)造性思維方法。

例1.f（x）=asinx＋bx＋8，若f（－2）=10，求f（2）。

解：令g（x）=asinx+bx則g（x）為奇函數(shù)且f（x）=g（x）+8

由f（－2）=g（－2）+8=10

得g（－2）=2即g（2）=－2∴f（2）=g（2）+ 8=－2+8=6

評析：解題過程中構(gòu)造了奇函數(shù)g（x），再利用奇函數(shù)的定義解題就非常方便了。此題同時(shí)體現(xiàn)了構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想很重要，在實(shí)際生活中我們也會(huì)經(jīng)常去構(gòu)造一個(gè)我們所熟悉的模式，同時(shí)達(dá)到把我們所不熟悉的轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的問題來思考的目的。在導(dǎo)數(shù)的問題中，我們經(jīng)常會(huì)去構(gòu)造一個(gè)函數(shù)；在數(shù)列中我們經(jīng)常會(huì)去構(gòu)造我們所熟悉的等差數(shù)列和等比數(shù)列；在三角函數(shù)中我們會(huì)有意識(shí)地利用輔助角公式去構(gòu)造一角一函數(shù)的既有模式，總之構(gòu)造法可以幫助我們多方位地思考問題，特別是對于提高我們的廣度和深度有很大的好處。

二、利用函數(shù)的奇偶性求解析式，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種重要的思維方法，轉(zhuǎn)化思想是分析問題和解決問題的一個(gè)重要的基本思想，不少數(shù)學(xué)思想都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。

例2.函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2－sinx，求x＜0時(shí)，f（x）的解析式。

解：∵x＜0，∴－x＞0∴f（－x）＝（－x）2－sin（－x）＝x2＋sinx＝－f（x）

∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=－x2－sinx

評析：此題解決過程中把x＜0轉(zhuǎn)化為－x＞0體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。轉(zhuǎn)化與化歸是一種最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想方法，它無處不在，它可以幫助我們把不熟悉的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的問題，把我們沒有掌握的問題轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)掌握的問題。比如處理立體幾何問題時(shí)，將空間問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上解決；在解析幾何中，通過建立坐標(biāo)系將幾何問題化歸為代數(shù)問題；復(fù)數(shù)問題化歸為實(shí)數(shù)問題等。

三、利用函數(shù)的奇偶性解不等式，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想

分類討論是在題目部分條件缺失或不明確的情況下，按照數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。掌握分類的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的。

例3.f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（－∞，0）上單調(diào)遞增，解不等式f（2a2+1）＜f（a2+3）。

解：由題意f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以2a2+1＞a2+3

即a2＞2，得或

評析：本題解法可以結(jié)合函數(shù)圖像，利用偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱來解決，也可以去討論兩個(gè)變量所在的區(qū)間，體現(xiàn)了一種分類討論的思想。分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略。對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題轉(zhuǎn)化為小問題，優(yōu)化解題思路，降低問題難度。它要求我們對事件發(fā)生的各種情況要討論周全，分別研究各種情況下的可能結(jié)果。分類討論在導(dǎo)數(shù)和解不等式中都會(huì)重點(diǎn)考察，對學(xué)生來說既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，為了分散難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，在平常的教學(xué)中就要注意對學(xué)生滲透。

四、利用函數(shù)的奇偶性求對稱中心和對稱軸，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，利用數(shù)形結(jié)合來解決數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題，有著明顯的優(yōu)越性?！靶巍钡闹庇^與“數(shù)”的精確相輔相成，能優(yōu)化解題，化解難點(diǎn)知識(shí)。

例5.已知y=f（2x－1）為偶函數(shù)，求y=f（x）的對稱軸。

評析：這兩個(gè)例題求函數(shù)的對稱中心和對稱軸，利用的是函數(shù)奇偶性體現(xiàn)出來的圖像特征，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，是一個(gè)中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，是一個(gè)軸對稱圖形。本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。解析幾何更是研究和體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)在求方程的解的個(gè)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)也會(huì)用到。數(shù)訴諸于形，可以使問題變得形象生動(dòng)、更直觀，形訴諸于數(shù)，可以使問題變得嚴(yán)謹(jǐn)精確和規(guī)范嚴(yán)密。它可以讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑫r(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)本身體現(xiàn)出來的對稱美。

綜上所述，我們可以看到，函數(shù)奇偶性作為函數(shù)的重要性質(zhì)，無論是求值，求解析式，還是解不等式和求對稱性等，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)都有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)過程中，我們既要掌握它的代數(shù)定義，也要熟練應(yīng)用它的圖像的對稱性。特別要注意有意識(shí)地在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，不僅僅是在函數(shù)奇偶性的教學(xué)中，在其他的章節(jié)中也是這樣。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是無處不在的，只有讓學(xué)生掌握了這一點(diǎn)，才讓學(xué)生掌握了一種數(shù)學(xué)思維的智慧，不僅僅對于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、全面性、多角度地研究問題很有幫助，而且會(huì)讓他們在生活中體會(huì)這種智慧，擁有這種智慧，而受益終生。

（責(zé)編 金東）