余后強(qiáng)　李玲

摘要：數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)方法運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐活動(dòng)，是將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系的橋梁。該文結(jié)合近幾年講授數(shù)學(xué)建模課程的心得體會(huì)，闡述了在平時(shí)的高等數(shù)學(xué)授課中滲透進(jìn)數(shù)學(xué)建模思想的重要性和可行性，并通過(guò)具體案例，探討了數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)結(jié)合。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；滲透；案例；實(shí)踐

中圖分類(lèi)號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2015）04-0124-02

Abstract： Mathematical modeling is a mathematical methods applied to the practical problems， which is the bridge between mathematics theory and real world. This paper discusses how to permeate mathematical modeling thought to teaching and studying in higher mathematics based on taught feelings and experiences in mathematical modeling course in recent years， and through specific case， discussed the combination of mathematical modeling and higher mathematics teaching.

Key words： Mathematical modeling； higher mathematics； permeability； case； practice

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工、經(jīng)管等專(zhuān)業(yè)必不可少的一門(mén)基礎(chǔ)課程，對(duì)于學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)非常重要。從實(shí)際講授這門(mén)課程的情況來(lái)看，情況卻不容樂(lè)觀。剛開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，由于與高中內(nèi)容有重復(fù)的部分，課程較簡(jiǎn)單，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)動(dòng)力很足，但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，隨著課程概念的抽象、公式的復(fù)雜，學(xué)生慢慢失去了興趣，學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)絹?lái)越不理想。要想改變這種狀況，就必須培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從教學(xué)思想和教學(xué)方法上進(jìn)行改革，不能簡(jiǎn)單的就將公式定理教給他們，更要教會(huì)他們?nèi)绾芜\(yùn)用數(shù)學(xué)武器的知識(shí)去處理實(shí)際問(wèn)題。而數(shù)學(xué)建模就是將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界結(jié)合的有力工具。數(shù)學(xué)建模是在20世紀(jì)60、70年代進(jìn)入一些西方國(guó)家大學(xué)的，中國(guó)的幾所大學(xué)也在80年代初將數(shù)學(xué)建模引入課堂。經(jīng)過(guò)30多年的發(fā)展，絕大多數(shù)高等院校都開(kāi)設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力開(kāi)辟了一條有效的途徑。該文結(jié)合筆者多次講授數(shù)學(xué)建模和高等數(shù)學(xué)課程的一點(diǎn)心得，通過(guò)實(shí)例，探討如何將數(shù)學(xué)建模思想滲透到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中。

1 將數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合的意義

數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅停留在知識(shí)的簡(jiǎn)單傳授上，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。為此，中國(guó)科學(xué)院院士李大潛牽頭組織了教育部教改立項(xiàng)“將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)主干課程教學(xué)中的研究與實(shí)驗(yàn)”，取得了一定的成果和經(jīng)驗(yàn)。

什么是數(shù)學(xué)建模呢？當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言作表述，這就是建立數(shù)學(xué)模型，然后用通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程就稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模都是針對(duì)具體實(shí)際問(wèn)題的，因此有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模，實(shí)踐證明，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力、邏輯思維能力和分析解決問(wèn)題的能力起到了很大的促進(jìn)作用。

2 在高等數(shù)學(xué)概念的引入與講解中融入數(shù)學(xué)建模案例

剛開(kāi)始講授高等數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的理解相對(duì)比較困難，比如“極限”的定義。由于整個(gè)高等數(shù)學(xué)幾乎都是以極限作為方法研究函數(shù)的，如果不能很好的理解極限，對(duì)于整個(gè)微積分的學(xué)習(xí)都不能真正的理解。為此，引入了建模中的割圓術(shù)案例。首先介紹了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽提出割圓術(shù)的歷史過(guò)程，然后介紹了該方法的實(shí)現(xiàn)步驟，接著指出了它的本質(zhì)就是“用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓面積并以此求取圓周率”，最后總結(jié)了該方法就是采用極限的思想。通過(guò)這樣的案例，學(xué)生的興趣被提起來(lái)了，真正理解極限的本質(zhì)也容易多了。

在講導(dǎo)數(shù)時(shí)，學(xué)生普遍都很容易掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但對(duì)于導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)定義就太好理解。為了說(shuō)明這個(gè)概念，針對(duì)不同的專(zhuān)業(yè)舉不同的例子。比如，對(duì)于物理電氣專(zhuān)業(yè)的，就以變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、電流強(qiáng)度、線(xiàn)密度等說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的意義，對(duì)于經(jīng)濟(jì)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，就以邊際成本、邊際收入說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的意義。通過(guò)這樣的事例，學(xué)生理解了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)其實(shí)就是函數(shù)的變化率。

在講定積分時(shí)，學(xué)生對(duì)于定積分的計(jì)算都很有興趣，但對(duì)于定積分的本質(zhì)含義以及復(fù)雜的極限式子，能記住的就不多。為了幫助學(xué)生理解這個(gè)概念，我將定積分歸納為求不均勻量的總和問(wèn)題，并針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)學(xué)生舉了不同實(shí)例，然后將這些實(shí)例濃縮、歸納，得出求這類(lèi)問(wèn)題的方法都是“分割、近似、求和、取極限”四個(gè)步驟，之后再將每一步得到的式子加在一起，就自然得到了定積分的極限式。通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生以后再碰到求不均勻量的總量問(wèn)題時(shí)，就能夠根據(jù)這個(gè)思想，自己寫(xiě)出極限式子，再用積分表示出來(lái)。

在講定積分的應(yīng)用時(shí)，書(shū)上出現(xiàn)了很多漂亮的曲線(xiàn)圖，如三葉玫瑰線(xiàn)、心臟線(xiàn)、阿基米德螺線(xiàn)等，學(xué)生很好奇這些線(xiàn)是如何畫(huà)出來(lái)的，用傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系和描點(diǎn)法是否可以實(shí)現(xiàn)。對(duì)此介紹了數(shù)學(xué)軟件MATLAB，在課堂上演示了圖形的繪制并引導(dǎo)他們下去后親自動(dòng)手操作，及早掌握MATLAB的基本功能和繪圖方法。通過(guò)這樣的結(jié)合，不但能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論本身的理解，也為他們以后可能參加的建模實(shí)踐起到先導(dǎo)作用。

在學(xué)習(xí)常微分方程時(shí)，由于書(shū)本上的案例比較多，每個(gè)都講解的話(huà)耗時(shí)耗力，而且不是該專(zhuān)業(yè)的學(xué)生難以理解。為此，針對(duì)不同的專(zhuān)業(yè)分別列舉了不同的建模案例。如果是物理電氣專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，就舉了動(dòng)力學(xué)模型和物質(zhì)衰變模型。如果是經(jīng)濟(jì)專(zhuān)業(yè)學(xué)生，就舉了馬爾薩斯模型和新產(chǎn)品推廣模型。如果是資源管理專(zhuān)業(yè)學(xué)生，就舉了邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型。通過(guò)這樣有針對(duì)性的講解，上課時(shí)間大大節(jié)約，學(xué)生學(xué)習(xí)也饒有興趣。

通過(guò)上面將建模案例與抽象概念相結(jié)合，原本枯燥的概念講解變得生動(dòng)活潑，學(xué)生的好奇心和新鮮感得到激發(fā)，學(xué)習(xí)興趣大大提高。

3 將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)重要的定理和公式中

由于高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多，課時(shí)有限，很多重要定理和公式的證明都被省略。大多數(shù)學(xué)生難以理解，如果硬記結(jié)論的話(huà)，效果不好，印象不深刻。其實(shí)，數(shù)學(xué)定理和概念一樣，都是有實(shí)際背景和意義，經(jīng)過(guò)抽象后得到的一個(gè)比較概括的結(jié)論。結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想，把定理和公式的條件看作模型的假設(shè)，然后根據(jù)預(yù)先設(shè)置的問(wèn)題情形，引導(dǎo)學(xué)生一步一步發(fā)現(xiàn)結(jié)論，不但能使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，而且能夠體驗(yàn)到探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和意識(shí)。

在學(xué)習(xí)定積分時(shí)，微積分基本定理：若[f（x）]在[[a，b]]連續(xù)，則積分上限函數(shù)[I（x）=∫xaf（t）dt，t∈ [a，b]]可導(dǎo)，且[I/（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）]。這個(gè)定理很重要，它是聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的橋梁，也為后面證明牛頓-萊布尼茨公式做準(zhǔn)備。很多學(xué)生對(duì)這個(gè)定理的證明難以理解，碰到要使用時(shí)也容易出錯(cuò)。為此，在講授該定理之前，先舉了物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)為例分析微分和積分的內(nèi)在聯(lián)系：設(shè)有一物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻[a]開(kāi)始到時(shí)刻[t]，物體經(jīng)過(guò)路程為[s（t）]，在時(shí)刻[t]的速度為[v（t）]，下面討論兩個(gè)函數(shù)關(guān)系。一方面，由導(dǎo)數(shù)定義可知，[d（s（t））dt=v（t）]（1） 。另一方面，由定積分概念可知，∫[ta][v（x）dx=s（t）]（2） ，把（1） 代入（2） 得到[s（t）=∫tas/（x）dx]，因此對(duì)路程函數(shù)求導(dǎo)再積分仍然等于路程函數(shù)。把（2） 代入（1） 得到[ddt∫tav（x）dx=v（t）]，因此對(duì)速度函數(shù)積分再求導(dǎo)還是等于速度函數(shù)。從上面兩方面分析可知，微分與積分是一對(duì)互逆運(yùn)算。該結(jié)論對(duì)一般的函數(shù)仍成立，即為微積分基本定理。

4 合理安排課后練習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)

學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)時(shí)間是有限的，數(shù)學(xué)建模包含的知識(shí)又很豐富，如果能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，利用課后時(shí)間完成一些比較有趣的建模題目，這樣既能加強(qiáng)課堂上學(xué)習(xí)的書(shū)本知識(shí)，也幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)方法運(yùn)用到實(shí)踐中。為此可鼓勵(lì)學(xué)生積極參加建模比賽，除了每年都有的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，還有一些區(qū)域性的比賽，學(xué)生都可參加。通過(guò)比賽，一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，另一方面也可以培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)和溝通能力，在比賽中學(xué)生的動(dòng)手能力和編程能力也得到顯著提高。很多學(xué)生反映：一次比賽，終身受益。

總之，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，積極培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，這是一個(gè)長(zhǎng)期探索和積累的過(guò)程。教師在教學(xué)中務(wù)必要把握好方向，針對(duì)不同的數(shù)學(xué)概念、公式、定理和不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，制定不同的教學(xué)方法，既要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又不能加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，這樣才能相得益彰，互相促進(jìn)。

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