余先倫，張仔兵，屈 勇，舒純軍

(1.重慶三峽學院信息與信號處理重點實驗室，萬州404000;2.重慶信息技術職業(yè)學院，萬州404000)

引 言

光纖光柵傳感器具有高分辨率、高精確性、電磁干擾影響低的特征，以及在傳感點不產生電火花和不需要電功率支持等優(yōu)點。光子晶體光纖(photonic crystal fiber，PCF)是由纖芯和周期排列的微平行孔包層構成的介質，強烈地依賴于設計細節(jié)，具有獨特的傳光特性，能夠改進光纖通信系統(tǒng)和新型光電設備的性能［1-5］。PCF光柵主要利用沿PCF長度方向周期折射率或幾何結構的擾動特性，能夠兼具光纖光柵和PCF的特性，在航天工程、自動控制、油井監(jiān)測及道路橋梁健康檢測等諸多領域有廣泛潛在價值。當前國際國內制作的PCF光柵主要有兩類，PCF布喇格光柵和長周期PCF光柵。PCF布喇格光柵的光柵周期大約為1μm，能夠用于溫度和壓力傳感器中。長周期PCF光柵的光柵周期大約在100μm，具有很低的溫度敏感性，可以不進行溫度補償［6-7］。

彎曲傳感器是PCF光柵發(fā)展的一個重要方向。彎曲長周期光子晶體光纖光柵傳感器主要利用光柵受到外界壓力作用時會產生彎曲，在光柵中傳播的光脈沖能量產生損耗和諧振波長發(fā)生漂移，通過檢測能量損耗和波長漂移量就能夠方便檢測出外界參量的改變［8-9］。彎曲長周期光子晶體光纖光柵傳感器機械光學轉換部件少，光路封閉，在水下運動物體監(jiān)測、各種危險火災預警系統(tǒng)及建筑道路結構健康檢測中有著廣泛應用。

作者根據彎曲長周期光子晶體光纖光柵傳感器的工作原理，設計出一般彎曲長周期光子晶體光纖光柵傳感器系統(tǒng)，計算了長周期光子晶體光纖光柵彎曲傳感器有效折射率與彎曲的關系，計算了彎曲量與長周期光子晶體光纖光柵橫向和徑向應變的關系，計算了長周期光子晶體光纖光柵彎曲傳感器諧振波長漂移量與彎曲的關系。

1 長周期光子晶體光纖光柵理論模型

假設PCF纖芯由純硅構成，包層由周期性排列的空氣圓孔組成，長周期光子晶體光纖光柵折射率的擾動僅沿光纖長度方向，在長周期光子晶體(long period photonic，LPG)光纖光柵中，模式耦合主要發(fā)生在基波導模和同向傳導包層模之間，其耦合模方程是［1］:

式中，E0，Ei表示基模和第 i階包層模的振幅;β0，βi表示它們的傳播常數(shù);m表示包層模角階數(shù);Λ表示長周期光子晶體光纖光柵周期;z表示光脈沖傳播距離;kt，0-i是長周期光子晶體光纖光柵基模和第i階包層模之間橫向耦合系數(shù)(t泛指一種耦合度)，可表示為:

式中，ω為脈沖角頻率，Δε(z)指光柵折射率的微小改變引起的介電系數(shù)的變化量，E0(r，φ)和 Ei*(r，φ)表示基模振幅和第i階包層模的復振幅，*表示復共軛。

根據耦合模理論，長周期光纖光柵中模式耦合主要發(fā)生在正向傳播的模式之間，它們之間的失諧參量可定義為:

失諧參量表征基模和包層模間相位匹配的偏離，越靠近共振發(fā)生的條件，耦合越強。只考慮失諧參量很小的模式，結合邊界條件和數(shù)值方法即可求解耦合模方程(1)式，求得相關光譜范圍內各個波長處的透射率，得到長周期光子晶體光纖光柵的透射譜。這種方案在一般情形下足夠精確并能獲得直觀的解析解和傳輸系數(shù)。

根據耦合模理論對(1)式求解，在Descartes坐標系中，長周期光子晶體光纖光柵沿長度方向模場分布可表示為:

式中，Ei和Ei′表示第i階模沿+z和-z方向傳播的慢變包絡振幅，βi表示第i階模的傳播常數(shù)。

在長周期光子晶體光纖光柵中假設:(1)在纖芯區(qū)域只存在基波導模;(2)忽略纖芯各縱向模耦合系數(shù);(3)忽略各包層模之間的耦合;(4)忽略各軸向模間的耦合。在上述假設條件下，參考模式耦合共振條件，根據耦合模理論，推導得到長周期光子晶體光纖光柵諧振波長表示為［4］:

式中，Δn為折射率波動量。

對于彎曲長周期光子晶體光纖光柵，在(4)式中只考慮彎曲應變造成光柵波長漂移，其它因素不考慮，對(5)式中以應變?yōu)樽宰兞窟M行Taylor級數(shù)零點展開，如光柵形變屬于彈性形變，形變量與光柵長度相比較足夠小，保留Taylor展開式中的一次項，并根據彈光理論可得:

(6)式表征了彎曲長周期光子晶體光纖光柵諧振波長的漂移量與PCF光柵的應變ε，PCF光柵材料結構和PCF橫向折射率的分布間關系。其中，p=neff2×［p12-γ(p11-p12)］/2，式中，neff為光纖有效折射率，p11和p12為光纖的彈光系數(shù)，γ為光纖材料泊松比，Δn指一個光柵周期里折射率的改變。在彎曲長周期光子晶體光纖光柵中折射率分布可通過下式計算［4］:

式中，n0指纖芯純硅折射率，一般而言，Δn?n0。

2 彎曲長周期光子晶體光纖光柵傳感器設計

本文中給出的光子晶體光纖結構如圖1a所示。光子晶體光纖纖芯是實芯，周圍由空氣孔六角周期排列而成。長周期光子晶體光纖光柵結構如圖1b所示，折射率的擾動沿光柵的長度方向。

Fig.1 a—sectional view of photonic crystal fiber b—structure diagram of photonic crystal fiber grating

在外界參量作用下，長周期光子晶體光纖光柵產生形變，發(fā)生彎曲，彎曲示意圖如圖2所示。長周期光子晶體光纖光柵置于一個固定裝置上，如圖3所示。在圖2中，L為長周期光子晶體光纖光柵的長度，h表示長周期光子晶體光纖光柵橫向彎曲量，R表示長周期光子晶體光纖光柵彎曲而形成的曲率半徑。根據圖2，當長周期光子晶體光纖光柵發(fā)生彎曲時，彎曲曲率可表示為［8］:

Fig.2 Diagram of long period bending photonic crystal fiber grating

Fig.3 Structure of long period bending photonic crystal fiber grating sensor

對(8)式進行微分，可得長周期光子晶體光纖光柵彎曲曲率半徑增量與光柵縱向和橫向應變的關系如下式所示:

式中，εx=Δh/h表示光柵橫向彎曲應變，εz=ΔL/L表示光柵長度方向應變，把(9)式縱向應變和橫向應變代入(6)式，得到長周期光子晶體光纖光柵傳感器的諧振峰波長的漂移量與彎曲曲率半徑的函數(shù)關系。

根據圖1中的PCF結構和長周期光子晶體光纖光柵的參量，本文中設計了一種長周期光子晶體光纖光柵彎曲傳感器系統(tǒng)，系統(tǒng)結構如圖3所示。

在圖3中，敏感元件長周期光子晶體光纖光柵位于導入和導出單模光纖之間。光脈沖經過導入光纖進入長周期光子晶體光纖光柵，因為外力作用通過硅油傳遞到長周期光子晶體光纖光柵上，外界作用改變了光柵的形變和彎曲，傳播的光脈沖諧振波長和傳播相位發(fā)生改變，作用后的光脈沖通過導出光纖傳輸至長周期光子晶體光纖光柵傳感器測量系統(tǒng)設備。

3 彎曲長周期光子晶體光纖光柵傳感器數(shù)值分析

圖3的彎曲長周期光子晶體光纖光柵傳感器系統(tǒng)中，敏感元件長周期光子晶體光纖光柵PCF如圖1a所示，長周期光子晶體光纖中光柵如圖1b所示。對于所設計長周期光子晶體光纖光柵傳感器系統(tǒng)進行如下假設:(1)PCF長周期光柵折射率改變沿PCF縱向對稱周期性分布;(2)在PCF橫向結構中，折射率沿各個方向是均勻分布;(3)纖芯基模諧振耦合進LP11包層模;(4)PCF長周期光柵圓形彎曲，其結構如圖2所示。根據上面的假設則彎曲PCF等價折射率分布可采用下式定義:

式中，nx表示光子晶體光纖光柵折射率橫向分布，x表示光柵橫向偏離中心處位置，R為長周期光子晶體光纖光柵彎曲半徑。把(8)式代入(10)式可得:

把(11)式代入(6)式可得長周期光子晶體光纖光柵在彎曲應變情況下諧振中心波長的漂移量表達式:

設光柵長度L=50mm，調節(jié)圖3中作用軸使長周期光子晶體光纖光柵發(fā)生彎曲，其彎曲量h取值0mm～5mm，長周期光子晶體光纖光柵的曲率變化如圖4所示。

Fig.4 Relationship between curvature change and bending variation of long period photonic crystal fiber gratings

圖4 表明，長周期光子晶體光纖光柵的曲率變化與彎曲h的變化關系近似線性關系，這個結果與(7)式的理論預期結果是一致的，在(7)式中，當h?L時，曲率1/R與h可認為是線性的。

PCF纖芯折射率取值1.465，長周期光子晶體光纖光柵彎曲值從3mm至6mm，取PCF纖芯中心處為零點，可計算得到長周期光子晶體光纖光柵有效折射率橫向分布與x的關系，結果如圖5和圖6所示。

Fig.5 Relationship between the transverse distribution of effective refractive index and the transverse position x in the core of long period bending photonic crystal fiber grating

Fig.6 Relationship between the transverse distribution of effective refractive index and the transverse position x in the clad of long period bending photonic crystal fiber grating

圖5 表示光柵纖芯處有效折射率與橫向位置x的關系。纖芯是實芯，由純硅構成。圖5表明，光柵纖芯有效折射率隨x的增加也會增加，在同一x處，有效折射率會隨彎曲量的增加而增加，離中心處越遠，這個增加量會變大。

圖6表示包層的有效折射率隨橫向點x的變化關系。包層由空氣孔和硅周期組成，其有效折射率會低于纖芯處。圖6表明，當彎曲發(fā)生時，其對于同一彎曲程度，離中心越遠，光柵有效折射率會越大，在同一位置處，有效折射率也會隨彎曲程度的增加而增加。

在圖3中，因為作用軸的作用，長周期光子晶體光纖光柵會發(fā)生彎曲，這個彎曲會使光柵的橫向和縱向產生應變，因為應變，光柵的曲率會產生改變。其曲率改變量與應變的關系如圖7和圖8所示。

從圖7可知，在彎曲程度相同情形下，隨著長周期光子晶體光纖光柵橫向應變的增加，光柵的彎曲半徑也會增加，而在相同應變的情況下，隨著光柵彎曲程度的增加，而光柵彎曲半徑的增加量反而會減少。在圖7中彎曲半徑的增加量值是一個負值，這表明隨著橫向應變的增加，彎曲發(fā)生與作者所取的正方向相反。

Fig.7 Relationship between the transverse strain change and the grating bending radius change in long period bending photonic crystal fiber gratings

Fig.8 Relationship between the longitudinal strain change and the grating bending radius change in long period bending photonic crystal fiber gratings

圖8 表示當長周期光子晶體光纖光柵產生縱向應變時，光柵彎曲半徑變化量與縱向應變的關系。根據圖8可知，當光柵的彎曲一定時，隨著縱向應變的增加，彎曲半徑也會增加，而在縱向應變相同時，彎曲程度越大，光柵彎曲半徑的增加量會減少，也即光柵彎曲曲率會增加量會變得更大。

在(11)式中取值如下，PCF的彈光系數(shù) p11=0．12，p12=0.27，PCF的 Poisson 系數(shù) ν=0.17，纖芯處PCF折射率取值1.465，而包層有效折射率取值1.437，作出長周期光子晶體光纖光柵諧振波長的漂移量與光柵周期和光柵應變的關系如圖9和圖10所示。

在圖9中，如果長周期光子晶體光纖光柵的周期

Fig.9 Relationship between the resonance wavelength drift and the grating period in long period bending photonic crystal fiber gratings

Fig.10 Relationship between the resonance wavelength drift and the grating strain in long period bending photonic crystal fiber gratings

不變，則隨著光柵應變的增加諧振波長的漂移量會增加，應變每增加2με，中心波長漂移量增加大約0.01nm，而光柵如果應變保持相同值，則光柵諧振波長的漂移量會隨著長周期光子晶體光纖光柵周期的增加而增加，光柵周期每增加50μm，中心波長漂移量增加大約0.005nm。

圖10表征了當光柵發(fā)生彎曲時，長周期光子晶體光纖光柵諧振波長的漂移量與光柵應變的關系，在圖10中，在相同應變情況下，光柵的彎曲程度對光柵諧振波長的漂移量影響非常小，而對于同一彎曲情形，光柵應變的增加對光柵諧振波長的漂移量影響較大，光柵每發(fā)生1με變化，光柵諧振波長的漂移量變化0.014nm。

4 結論

光子晶體光纖光柵是一種新型無源材料，具有許多獨特的傳光特性，在光纖通信和光纖傳感中具有特殊應用，而彎曲長周期光子晶體光纖光柵在道路、橋梁及建筑健康檢測中有非常重要的應用。根據本文中的分析，光柵的諧振波長漂移量與光柵的形變、長周期光子晶體光纖光柵材料的具體構建都相關聯(lián)，長周期光子晶體光纖光柵彎曲會造成光柵折射率分布、橫向和縱向應變發(fā)生變化，并最終導致長周期光子晶體光纖光柵的諧振波長漂移，通過檢測諧振波長的漂移量就可以檢測出長周期光子晶體光纖光柵的彎曲程度。

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