田　佳，胡　健，王　珂，王海林，朱長虹，朱廣志，齊麗君，朱　曉*

(1.華中科技大學(xué) 光學(xué)與電子信息學(xué)院，武漢 430074; 2. 華中科技大學(xué) 激光加工國家工程研究中心，武漢 430074)

YAG激光晶體熱致雙折射的非線性分析

田佳1,2，胡健1,2，王珂1,2，王海林1,2，朱長虹1,2，朱廣志1,2，齊麗君1,2，朱曉1,2*

(1.華中科技大學(xué) 光學(xué)與電子信息學(xué)院，武漢 430074; 2. 華中科技大學(xué) 激光加工國家工程研究中心，武漢 430074)

摘要：為了克服線性模型在描述高功率運(yùn)轉(zhuǎn)的激光晶體時，熱焦距和熱致雙折射計算值與實測值不符的缺點，采用非線性熱傳導(dǎo)模型，計算了常用[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體的熱致雙折射橢圓分布以及徑向和切向熱焦距。進(jìn)行了平均熱焦距數(shù)據(jù)測量和旋轉(zhuǎn)線偏振光干涉實驗，實驗結(jié)果與理論分析吻合。結(jié)果表明，非線性模型對Nd∶YAG激光晶體在高功率運(yùn)轉(zhuǎn)時的描述更符合實際情況，普適性更強(qiáng)。這一結(jié)果對于設(shè)計高功率徑向或切向偏振固體激光器是有幫助的。

關(guān)鍵詞：非線性光學(xué); 熱致雙折射; 旋轉(zhuǎn)線偏振光干涉; Nd∶YAG激光晶體

文章編號：1001-3806(2015)04-0520-05

中圖分類號：TN244

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：志碼：A

doi:10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2015.04.020

Abstract：To overcome the shortage of mismatch of the calculated value and the measured value of thermal induced birefringence and thermal focal length when applying linear heat conduction model to describe a laser crystal operating in high power, based on nonlinear heat conduction model analysis, the distribution of the thermal induced birefringence ellipse and the radial or tangential thermal focal length in a Nd∶YAG laser crystal of common [111]-cut were analyzed. The average thermal focal length data and rotated interference pattern of linearly polarized light were measured. The experimental results fit the theoretical analysis. The results show that nonlinear model provides more realistic and more general description for an Nd∶YAG laser crystal in [111]-cut. The result is helpful for the design of radial or tangential polarized high power solid-state lasers.

作者簡介：田佳(1989-)，男，碩士研究生，現(xiàn)主要從事高功率固體激光器的研究。

收稿日期：2014-06-09；收到修改稿日期：2014-07-17

Nonlinear analysis of thermal induced birefringence of YAG laser crystal

TIANJia1,2,HUJian1,2,WANGKe1,2,WANGHailin1,2,ZHUChanghong1,2,

ZHUGuangzhi1,2,QILijun1,2,ZHUXiao1,2

(1.School of Optical and Electronic Information, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 2. National Engineering Research Center for Laser Processing, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

Key words:nonlinear optics; thermal induced birefringence; rotated interference of linearly polarized light; Nd∶YAG laser crystal

*通訊聯(lián)系人。E-mail:zx@mail.hust.edu.cn

引言

固體激光器在高功率運(yùn)行時，激光晶體內(nèi)部會形成大溫度梯度和熱應(yīng)力，熱效應(yīng)嚴(yán)重制約了激光晶體抽運(yùn)功率密度的提高，降低了光束質(zhì)量和輸出功率，并導(dǎo)致產(chǎn)生熱退偏效應(yīng)[1-2]。近年來，徑向和切向偏振激光器已獲得廣泛關(guān)注，并且在工業(yè)加工中有重要的應(yīng)用潛力[3-4]，因此，對高功率Nd∶YAG激光晶體的熱致雙折射特性分析具有重要研究意義。

棒狀Nd∶YAG激光晶體橫截面內(nèi)的傳統(tǒng)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)模型(下面簡稱為線性模型)，導(dǎo)熱率為定值κ0=13.6W/(m·K)。線性模型計算的熱屈光度與抽運(yùn)功率Pin呈線性關(guān)系，而熱屈光度實測值與Pin的非線性關(guān)系已被大量的實驗所證明[5-6]；另外，基于線性模型的晶體熱破裂應(yīng)力理論值也要高于實測值[7]。針對線性模型存在的不足，俄羅斯極地所ROZANOV[8]提出了非線性穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)模型(下面簡稱為非線性模型)，并進(jìn)行了熱致折射率變化的研究以及熱應(yīng)力的計算，但對于Nd∶YAG激光晶體的熱致雙折射和偏振特性的分析尚未涉及。固體激光器在強(qiáng)抽運(yùn)、高平均功率條件下運(yùn)轉(zhuǎn)時，熱致雙折射對徑向和切向熱焦距以及偏振特性有直接而重要的作用，而近年來針對熱致雙折射的分析仍基于線性模型[9-10]，因此作者針對常用[111]切割方向的Nd∶YAG激光晶體，在非線性模型基礎(chǔ)上進(jìn)行熱致雙折射和偏振特性的研究與分析。

1非線性模型分析

在非線性模型中，導(dǎo)熱率κ(T)隨溫度的增大而減小，設(shè)橫向均勻抽運(yùn)且無縱向溫差，柱坐標(biāo)系下Nd∶YAG激光晶體橫截面內(nèi)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為[8]：

式中，r為徑向坐標(biāo)，T為絕對溫度，κ(T)=γ/T。室溫為293K時，導(dǎo)熱率的測量值κ0=13.6W/(m·K)，由此得出系數(shù)γ=3980W/m，Q=ηPin/(πr02L)表示單位體積的均勻發(fā)熱量，Pin為抽運(yùn)功率，η為發(fā)熱效率，r0為激光晶體半徑，L為激光晶體長度。對(1)式整理得：

(2)式在滿足邊界條件r=r0，T(r0)為激光晶體表面溫度時，有精確的解析解：

精確解進(jìn)行指數(shù)項展開，前兩項即為基于線性模型計算得到的溫度分布[11]。整理(3)式得：

其非線性不僅體現(xiàn)在包含r2的exp[-Qr2/(4γ)]項，還體現(xiàn)在僅與Pin相關(guān)的指數(shù)項exp[-Qr02/(4γ)]，非線性效應(yīng)隨Pin的增加呈指數(shù)增加。

1.1　熱致雙折射計算

常用[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體，根據(jù)彈光理論，可以先由激光晶體橫截面的溫度分布得到應(yīng)力或應(yīng)變分布(柱坐標(biāo)系下)，然后在統(tǒng)一的坐標(biāo)系下，根據(jù)光彈矩陣張量計算得到徑向和切向折射率變化量。目前較好的方法有兩種，方法一[12]是將直角坐標(biāo)系下激光晶體的光彈矩陣變換到柱坐標(biāo)系下，再與應(yīng)力或應(yīng)變計算；方法二[9]是將應(yīng)力或應(yīng)變分布變換到直角坐標(biāo)系下，與直角坐標(biāo)系下激光晶體的光彈矩陣計算。非線性模型下的應(yīng)力或應(yīng)變表達(dá)式更為復(fù)雜，進(jìn)行坐標(biāo)變換繁瑣，故選擇方法一來計算垂直于激光晶體通光橫截面的徑向和切向的折射率差：

式中，nr和nφ分別為Nd∶YAG激光晶體徑向、切向折射率，n0=1.82為Nd∶YAG激光晶體“冷”折射率，A=αEn03T(r0)/[2(1-ν)]，線膨脹系數(shù)α=7.8×10-6K-1，楊氏模量E=3.17×1011N/m2，泊松比ν=0.3，應(yīng)力光彈π張量矩陣系數(shù)π11=0.30285×10-12m2·N-1,π12=+0.11158×10-12m2·N-1,π13=+0.17187×10-12m2·N-1。

分析(5)式、(6)式可以得到[111]切割方向激光晶體橫截面內(nèi)熱致雙折射率橢圓的分布示意圖，如圖1所示。將晶格方向[101]與極軸X重疊，晶格方向[121]Y軸，具體分布規(guī)律見下。

Fig.1DistributiondiagramofthermalinducedbirefringenceellipseinNd∶YAGlasercrystalcross-sectionof[111]-cut

(1)激光晶體橫截面中，熱致雙折射率橢圓呈徑向?qū)ΨQ分布，與極坐標(biāo)角度φ無關(guān)，任意一點P(r, φ)熱致雙折射率橢圓的主軸nr與X軸的夾角θ始終存在關(guān)系tan(2θ)=tan(2φ)[9,13]。

(2)激光晶體橫截面內(nèi)任意一點P(r,φ)熱致雙折射率橢圓的兩主軸分別與該點徑向和切向方向共線(長軸與切向方向共線、短軸與徑向方向共線)，根據(jù)非線性模型計算長軸長度始終大于短軸長度(切向折射率始終大于徑向折射率)。

光波電場徑向和切向的相位差與徑向和切向折射率差呈正比例關(guān)系δ∝(nr-nφ)，因此徑向相對于切向產(chǎn)生相位延遲，中心相位差趨近于0。圖1為光波電場徑向和切向的相位差為旋轉(zhuǎn)偏振光干涉實驗提供了理論基礎(chǔ)。

1.2　徑向和切向熱焦距計算

熱焦距由熱透鏡效應(yīng)引起，熱透鏡效應(yīng)源自于折射率變化以及端面效應(yīng)產(chǎn)生的形變，端面效應(yīng)對熱焦距貢獻(xiàn)不超過6%，因此本文中忽略端面效應(yīng)的影響。折射率變化包括激光晶體內(nèi)部溫度梯度導(dǎo)致的折射率差和熱致雙折射導(dǎo)致的折射率差，激光晶體內(nèi)部非線性模型溫度梯度導(dǎo)致的折射率差為：

式中，折射率溫度系數(shù)dn/dT=7.3×10-6K-1。[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體基于非線性模型的熱焦距計算，首先將(5)式、(6)式和(7)式中僅與Pin相關(guān)的非線性項exp(Qr02/4γ)保留，再將指數(shù)項exp[-Qr2/(4γ)]進(jìn)行類透鏡近似[3]，展開至r2項：

式中，C2r=-π11+π22，C2φ=π11-π22，C3r=π12+π13，C3φ=π11+π13。因此[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體的徑向、切向熱焦距為：

采用(5)式、(6)式中的相同參量計算切向與徑向熱焦距的比值為1.32，與實測值1.23~1.5[5]的均值1.365相近，精度高于線性模型的計算值1.2[11]，同時也證明熱致雙折射理論分析得到徑向和切向折射率差關(guān)系Δnφ>Δnr>0，nφ>nr>n0的準(zhǔn)確性，從而可確定熱致雙折射橢圓的徑向主軸長度短于切向主軸長度。準(zhǔn)確計算徑向和切向熱焦距的差異，是設(shè)計徑向或切向線偏振激光器的基礎(chǔ)[14]。

2實驗結(jié)果分析

為驗證非線性模型分析方法的正確性，進(jìn)行了[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體熱焦距測量以及旋轉(zhuǎn)偏振光干涉實驗，實驗中采用雙氙燈抽運(yùn)的Nd∶YAG激光晶體，尺寸為?7mm×150mm。

2.1　熱焦距測量實驗

Fig.2Comparisonbetweenthecalculatedandmeasuredvalueofaveragethermaldiopter

2.2　旋轉(zhuǎn)線偏振光干涉實驗

從圖1分析得出，在激光晶體橫截面中熱致雙折射率橢圓呈徑向?qū)ΨQ分布，與極坐標(biāo)角度φ無關(guān)，X-Y軸并不代表特殊方向，做旋轉(zhuǎn)偏振光實驗時，中心黑十字區(qū)域應(yīng)該同步旋轉(zhuǎn)，針對此設(shè)計思路設(shè)計Nd∶YAG晶體偏光干涉實驗裝置,如圖3所示，在[111]切割方向激光晶體兩端放置偏振方向相互正交的偏振片P1和P2，設(shè)實驗室坐標(biāo)系中水平方向為x軸，豎直方向為y軸，同時取x軸方向為激光晶體橫截面所在極坐標(biāo)系φ=0的極軸方向。使用He-Ne激光作為探測光源，經(jīng)準(zhǔn)直擴(kuò)束后可以充滿激光晶體截面。

激光晶體橫截面內(nèi)的角度示意圖如圖4所示，P(r, φ)為激光晶體橫截面中任意一點，θ為熱致雙折射橢圓的主軸nr與x軸夾角，τ為入射偏振光E與x軸夾角，β為入射偏振光E與y軸夾角，τ+β=π/2。

Fig.3Experimentalsetuptomeasuretherotatedinterferenceoflinearlypolarizedlight

Fig.4DistributiondiagramoftheangleinNd∶YAGlasercrystalcross-sectionof[111]-cut

He-Ne激光器發(fā)出的探測光束，通過P1成為線偏振光，再依次通過激光晶體和P2，若Nd∶YAG激光晶體沒有抽運(yùn)的情況下，立方晶系光率體為圓形，正交偏振片可以完全消光，接收屏上沒有干涉圖樣產(chǎn)生；若激光晶體在抽運(yùn)光作用下產(chǎn)生熱致雙折射，不在熱致雙折射橢圓主軸方向上的線偏振光其偏振態(tài)將發(fā)生變化，在接收屏上產(chǎn)生干涉條紋。同步轉(zhuǎn)動P1和P2，使β在[0, 2π]內(nèi)連續(xù)變化，干涉條紋以π/2為周期連續(xù)變化。設(shè)Nd∶YAG激光晶體的輸入探測光光強(qiáng)為I0，輸出干涉光強(qiáng)分布為[9]：

低抽運(yùn)功率為6kW時，由于篇幅有限，取干涉條紋一個變化周期內(nèi)的部分干涉圖(如圖5所示)進(jìn)行分析：干涉圖由黑色十字和明暗等差線圈組成，黑色十字是由兩相互垂直的黑色區(qū)域組成，并伴隨偏振片同步轉(zhuǎn)動；此干涉圖與負(fù)單軸晶偏振光干涉圖樣類似。

Fig.5Rotated interference patterns of linearly polarized light of a [111]-cut Nd∶YAG laser crystal in 6kW pump power

高抽運(yùn)功率為12kW時，同樣取干涉條紋一個變化周期內(nèi)的部分干涉圖(如圖6所示)進(jìn)行分析，干涉圖與低抽運(yùn)功率時的干涉圖結(jié)構(gòu)相近，唯一區(qū)別在于干涉條紋的旁瓣數(shù)增加，這是由于高抽運(yùn)功率增強(qiáng)了熱致雙折射效應(yīng)，激光晶體邊緣處的熱致雙折射強(qiáng)于中心處，因此,較強(qiáng)的熱退偏效應(yīng)使邊緣處的干涉條紋更加密集。

Fig.6Rotated interference patterns of linearly polarized light of [111]-cut Nd∶YAG laser crystal in 12kW pump power

對于[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體，綜合圖1所示熱致雙折射橢圓分布圖和圖5、圖6所示旋轉(zhuǎn)偏振光干涉實驗現(xiàn)象分析可得：(1)激光晶體橫截面中心為各向同性區(qū)，光率體為圓，偏振方向正交的兩偏振片可完全消光；(2)當(dāng)任意方向(如圖7中E方向)的線偏振光入射到激光晶體橫截面，總可以找到折射率橢圓主軸與偏振光方向共線的兩個方向(如圖7中p1方向和p2方向，p1方向上E∥nr，p2方向上E∥nφ)，在這兩個方向上熱致雙折射只會導(dǎo)致線偏振光的相位變化，不改變偏振狀態(tài)，經(jīng)過P2之后，在接收屏上形成黑色十字區(qū)域；(3)折射率橢圓主軸與偏振光方向非共線的任意方向(如圖7中除p1和p2方向之外的所有方向)，每一點處的熱致雙折射橢圓主軸與偏振光方向存在夾角，線偏振光在兩主軸上的分量有相位差δ，因此會改變偏振狀態(tài)，經(jīng)過P2后，在接收板上黑色十字區(qū)域之外形成干涉條紋；(4)當(dāng)P1和P2同步旋轉(zhuǎn)，即β在[0,2π]內(nèi)連續(xù)變化時，會與對應(yīng)的不同角度φ上熱致雙折射橢圓的主軸重合，黑色十字區(qū)域會伴隨偏振片的旋轉(zhuǎn)角度β而旋轉(zhuǎn)，但干涉圖結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)生改變，僅以黑色十字的交叉點為對稱中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，也證明了[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體橫截面內(nèi)的熱致雙折射橢圓呈徑向?qū)ΨQ分布，沒有特殊方向。

Fig.7Formation diagram of black cross region in the rotated interference patterns of linearly polarized light (1/2 laser crystal cross-section)

參考文獻(xiàn)若按照[11]中的描述，即如圖8所示，在旋轉(zhuǎn)偏振光實驗中，P1和P2同步旋轉(zhuǎn)角度時，無論β取值如何，干涉圖中會有一個黑色十字固定出現(xiàn)在x軸、y軸所在的特殊方位，因為該區(qū)域光率體為圓，所以兩偏振方向正交的偏振片可以完全消光。這一推論與實驗結(jié)果中黑色十字同步旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象相悖，因此圖8不是[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體橫截面內(nèi)熱致雙折射率橢圓的分布示意圖，特別指出這一點，避免學(xué)術(shù)界和工程界的錯誤引用。

Fig.8　Schematic diagram of reference [11]

3結(jié)論

針對強(qiáng)抽運(yùn)、高功率固體激光器，基于非線性模型，進(jìn)行了[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體熱致雙折射與偏振特性的研究。得出了[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體縱向截面內(nèi)熱效應(yīng)作用下的熱致雙折射橢圓分布圖，通過偏振光干涉實驗證明了[111]切割方向激光晶體內(nèi)熱致雙折射橢球的分布僅與半徑相關(guān)與角度無關(guān)的結(jié)論，并詳細(xì)解釋了實驗中黑色十字區(qū)域旋轉(zhuǎn)的原理?；诜蔷€性模型重新分析了[111]切割方向Nd∶YAG激光晶體熱焦距，理論值與實測值的吻合度較線性模型更高。研究結(jié)果對高功率徑向或切向偏振棒狀固體激光器的設(shè)計具有參考意義。

[1]TüNERMANN H, PUNCKEN O, WEBLS P,etal. Linearly polarized single-mode Nd∶YAG oscillators using [100]- and [110]-cut crystals[J]. Optics Express, 2011, 19(14): 12992-12999.

[2]GAO J C, ZHU C H, LI Z J. Study on the thermal effect and the optical pump limit about solid state laser medium[J]. Laser Technology, 2004, 28(3): 271-274 (in Chinese).

[3]YU Z S, LIU J, LIU J,etal. Study of the distributed thermal lens of LD end pumped rectangular gain[J]. Optics Express, 2013, 21(20): 23197-23205.

[4]LUMER Y, MOSHE I. Radial and azimuthal beam parameters[J]. Optics Letters, 2009, 34(3):265-267.

[5]MAcHAVARIANI G, LUMER Y, MOSHE I,etal. Birefringence-induced bifocusing for selection of radially or azimuthally polarized laser modes[J]. Applied Optics, 2007, 46(16): 3304-3310.

[6]MOSHE I, JACKEL S. Influence of birefringence-induced bifocusing on optical beams[J]. Journal of the Optical Society of America,2005, B22(6): 1228-1235.

[7]ZVEREV G M. Materials for use in quantum electronics-yttrium-aluminum garnet, lithium niobate[J]. Akademiia Nauk SSSR Izvestiia Seriia Fizicheskaia, 1980, 44(1): 1614-1621.

[8]ROZANOV A G. Nonlinear model of thermal effects in YAG∶Nd laser crystals[J]. Soviet Journal of Quantum Electronics, 1991, 21(10): 1074-1076.

[9]PUNCKEN O, TüNERMANN H, MOREHEAD J J,etal. Intrinsic reduction of the depolarization in Nd∶YAG crystals[J]. Optics Express, 2010, 18(19): 20461-20474.

[10]LUMER Y, MOSHE I, JACKEL S,etal. Depolarization induced by pump edge effects in high average power laser rods[J]. Journal of the Optical Society of America, 2010, B27(1): 38-44.

[11]KOECHNER W. Solid-state laser engineering[M].5th ed. Beijing: Science Press, 2002: 356-370 (in Chinese).

[12]Lü Q, WITTROCK U, DONG S. Photoelastic effects in Nd∶YAG rod and slab lasers[J]. Optics & Laser Technology, 1995, 27(2): 95-101.

[13]SHOJI I, TAIRA T. Intrinsic reduction of the depolarization loss in solid-state lasers by use of a (110)-cut Y3Al5O12crystal[J]. Applied Physics Letters, 2002, 80(17): 3048-3050.

[14]LUMER Y, MOSHE I, HOROVITZ Z,etal. Thermally induced birefringence in nonsymmetrically pumped laser rods and its implications for attainment of good beam quality in high-power, radially polarized lasers[J]. Applied Optics, 2008, 47(21): 3886-3891.

[15]OU Q F, FENG G Y, LIU D P,etal. Simulation and experimental study on thermal effects of Nd∶YAG lasers[J]. Laser Technology, 2002, 26(1): 15-16 (in Chinese).