湍流大氣中動(dòng)態(tài)激光散斑的數(shù)值模擬

2015-03-29 02:10韓星星

激光與紅外 2015年4期

韓星星

(西安交通大學(xué)城市學(xué)院，陜西西安710018)

1 引言

利用目標(biāo)激光散斑特征對目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行檢測在軍事和民用領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。自20世紀(jì)80年代以來，國內(nèi)外大批學(xué)者對漫射平面、圓柱、圓錐、球等多種目標(biāo)平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)以及振動(dòng)狀態(tài)下的散斑特性進(jìn)行了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究［1－2］。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值模擬逐漸成為一種重要的研究手段，2004年李小兵等人提出了利用激光散斑實(shí)時(shí)測量目標(biāo)散射面角振動(dòng)的原理，并從干涉條紋的角度對仿真參數(shù)進(jìn)行了分析，模擬了兩個(gè)散射元的情況［3］。但是這種模擬方法由于效率太低而無法用于大量散射元情況。1999年程傳福等人對高斯隨機(jī)表面光散射產(chǎn)生的散斑場進(jìn)行了模擬并分析了散斑光強(qiáng)的概率密度函數(shù)［4］，但是該算法只適用于夫瑯和費(fèi)區(qū)。

在實(shí)際應(yīng)用中，激光的發(fā)射和接收通常都是在大氣環(huán)境下進(jìn)行的，受到大氣湍流的影響，激光會(huì)發(fā)生閃爍、漂移、展寬等現(xiàn)象。這些現(xiàn)象對目標(biāo)回波散斑特征產(chǎn)生不可忽視的影響。經(jīng)過幾十年的研究，人們已經(jīng)發(fā)展出了幾何光學(xué)、Rytov近似、Markov近似等解析方法來計(jì)算激光的傳輸特性，但它們都是在一定條件下的近似，其適用范圍有限。而數(shù)值方法由于其廣泛的適應(yīng)性得到眾多研究者的重視，其中研究最多的是分步傅里葉方法。

分步傅里葉方法是求解拋物方程的一種通用的方法，在多個(gè)領(lǐng)域都有應(yīng)用。從20世紀(jì)80年代開始，國內(nèi)外學(xué)者就不斷地把分步傅里葉方法應(yīng)用到光波在大氣中的傳輸計(jì)算中［5－8］，但多數(shù)文獻(xiàn)模擬的都是靜止光斑，無法體現(xiàn)光斑隨時(shí)間的變化特性。本文首先在無湍流的情況下利用分步傅里葉算法，模擬了真空中的動(dòng)態(tài)散斑場，然后結(jié)合凍結(jié)場理論，模擬了湍流大氣中的動(dòng)態(tài)散斑場，并分析了兩種情況下激光回波散斑場的時(shí)空相關(guān)特性。

2 分步傅利葉算法的推導(dǎo)

在圖1所示的系統(tǒng)中，激光器發(fā)射孔徑位于平面z=0上，光軸與z軸平行，接收器位于平面z=L，s和ρ分別是發(fā)射平面和接收平面上垂直于傳播軸的位置矢量。在發(fā)射平面上，單位振幅高斯波束的光場為:

其中，k是波數(shù);W0是波束有效半徑;F0是波前曲率半徑。

圖1 激光散斑測量示意圖

分步傅里葉算法是一種在電磁波及光波傳輸模擬領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的方法，算法原理公式［9］為:

為了利用數(shù)值方法計(jì)算式，其中的U和S都要經(jīng)過離散化［10－11］:

把相位屏劃分為N×N的正方形網(wǎng)格，場和相位屏只在網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上有值。當(dāng)激光在真空中傳播并被漫射面反射時(shí)，其模擬過程只需要一個(gè)相位屏，這個(gè)相位屏代表了漫反射面，其生成方法為:

其中，D是相位屏的均方差;A是獨(dú)立均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣。

為了考察散斑的動(dòng)態(tài)特征，需要模擬當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同時(shí)刻的散斑圖樣。式(3)可變形為:

假設(shè)目標(biāo)以速度v沿x軸正向平動(dòng)，則相位屏也要做相同的運(yùn)動(dòng)，即:

如果l=vnΔτ/Δx是整數(shù)，則在模擬第j個(gè)散斑時(shí)，直接把矩陣S沿x軸正向移動(dòng)l個(gè)網(wǎng)格，空出來的網(wǎng)格點(diǎn)用新生成的隨機(jī)數(shù)補(bǔ)上即可。但是在一般情況下，l不是整數(shù)，而漫射面的性質(zhì)決定了不能用插值方法得到任意位置的S。本文采用沿相反方向移動(dòng)光源的方法，對于第n個(gè)散斑，發(fā)射波束為:

3 真空中散斑的模擬

選擇發(fā)射波為準(zhǔn)直的高斯波束，波長λ=1．06μm，初始半徑W0=3 cm，半徑為WR=3 cm的漫射圓盤距離波源L=2000 m，目標(biāo)以v=2 m/s的速度沿x方向移動(dòng)，單站接收。不考慮大氣湍流對激光的擾動(dòng)，圖2給出了不同時(shí)刻接收面上的散斑圖樣。

可以看到相鄰時(shí)刻的兩幅圖都有較強(qiáng)的相似性，時(shí)間間隔越大，散斑圖樣相差也越大。隨著時(shí)間的推移，亮斑的位置發(fā)生的移動(dòng)，且形狀發(fā)生了變化，有的亮斑消失了，并有新的亮斑生成，即通過模擬圖像觀察到了動(dòng)態(tài)散斑現(xiàn)象中的平移和沸騰現(xiàn)象。

利用模擬得到的散斑可以統(tǒng)計(jì)計(jì)算散斑場的空間相關(guān)函數(shù)，它反映了散斑場隨著橫向位置移動(dòng)的變化快慢，決定了散斑顆粒的尺寸。圖3給出了當(dāng)初始半徑不同時(shí)，散斑場空間相關(guān)函數(shù)隨著兩點(diǎn)距離的變化，它們對獨(dú)立生成的100個(gè)散斑圖樣進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的。三條曲線中，當(dāng)W0=3 cm時(shí)激光的散斑場空間相關(guān)函數(shù)下降最慢，其次是W0=5 cm和W0=1 cm。在真空中當(dāng)初始半徑分別為W0=1，3，5 cm時(shí)，照射在目標(biāo)平面上的光斑半徑分別為W=3．8，4．2，5．4 cm，這說明散斑尺寸是由目標(biāo)平面上的光斑半徑?jīng)Q定的，這和理論公式是一致的，即光斑半徑越小，散斑尺寸越大。

圖2 真空中漫射面回波動(dòng)態(tài)散斑圖樣

圖3 真空中漫射面回波散斑場空間相關(guān)函數(shù)

利用一系列不同時(shí)刻的散斑圖樣可以統(tǒng)計(jì)計(jì)算散斑圖樣相關(guān)程度隨著時(shí)間間隔的變化。圖4顯示了不同初始半徑的激光散斑圖樣時(shí)間相關(guān)函數(shù)?？梢钥闯鰰r(shí)間相關(guān)函數(shù)的下降速度與目標(biāo)移動(dòng)速度成正比。對于不同的初始半徑的激光，散斑時(shí)間相關(guān)函數(shù)的下降速度由快到慢依次是W0=1，5，3 cm，這和空間相關(guān)函數(shù)的變化是不同的。這說明，時(shí)間相關(guān)函數(shù)不但和目標(biāo)平面上的光斑半徑有關(guān)，還和目標(biāo)平面上的光斑相位分布有關(guān)。當(dāng)W0=3 cm時(shí)的光斑最小，其散斑最大，相應(yīng)的相關(guān)時(shí)間最大。W0=1 cm時(shí)的光斑雖然小于W0=5 cm，但是當(dāng)W0=1 cm時(shí)，光斑上的相位變化要更劇烈，從而造成目標(biāo)移動(dòng)時(shí)，散斑相關(guān)時(shí)間的減小，所以W0=1 cm時(shí)的相關(guān)時(shí)間最小。

圖4 真空中漫射面回波散斑場時(shí)間相關(guān)函數(shù)

4 湍流中的散斑模擬

當(dāng)傳輸路徑處于湍流之中時(shí)，激光在前向傳輸和反射過程中受湍流的擾動(dòng)，振幅和相位都會(huì)發(fā)生變化，形成的散斑場的統(tǒng)計(jì)特性也會(huì)發(fā)生變化。湍流對光場的擾動(dòng)也可以利用相位屏模擬，但是只有當(dāng)路徑較短，湍流擾動(dòng)較小時(shí)，才可以把整個(gè)路徑的湍流等效為一個(gè)相位屏，對于較長的路徑及較強(qiáng)的湍流(σ2I=1．23C2nk7/6L11/6＞0．1)時(shí)，把整個(gè)路徑劃分為多段，每個(gè)段路徑上的湍流都可以等效為一個(gè)隨機(jī)相位屏，第(i+1)個(gè)相位屏上的場可以利用式(4)由第i個(gè)相位屏上的場得到，以此類推即可由發(fā)射場得到散射場。

湍流是由空氣運(yùn)動(dòng)形成的，所以湍流通常還伴隨著一定速度的風(fēng)，根據(jù)凍結(jié)場理論，對散斑場時(shí)間統(tǒng)計(jì)特性有影響的是風(fēng)的橫向速度。假設(shè)風(fēng)的速度矢量為vw=vxex+vyey，其中ex、ey分別是沿x、y方向的單位矢量。在Δτ的時(shí)間間隔內(nèi)，湍流等效相位屏沿x、y方向移動(dòng)的網(wǎng)格數(shù)分別為lx=vxnΔτ/Δx和ly=vynΔτ/Δx。由于湍流折射率譜的能量主要集中在低頻，所以其等效相位屏起伏在空間上較為緩慢，當(dāng)lx和ly不是整數(shù)時(shí)，平移后的相位屏可以采用插值的方法得到。

其中，S( m'Δx－vxjΔτ，n'Δy－vyjΔτ，0)可以利用三次樣條插值方法由S( m'Δx，n'Δy，0)得到。

當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)，本文采用反向移動(dòng)整個(gè)系統(tǒng)的方法，此時(shí)湍流等效相位屏的移動(dòng)速度應(yīng)采用v'w= ( vx－v) ex+vyey。在相位屏移動(dòng)時(shí)，必須保證進(jìn)入有效計(jì)算范圍內(nèi)的部分相位屏不能成為空白，所以模擬過程中生成長和寬都為2N的相位屏，當(dāng)vx－v和vy都為正時(shí)，漫射目標(biāo)的等效相位屏與湍流等效相位屏第一象限重疊，這樣可以最大限度的利用生成的相位屏。當(dāng)v'w為其他值時(shí)，依此類推。

在上一節(jié)激光散射系統(tǒng)的基礎(chǔ)上考慮大氣湍流效應(yīng)，湍流結(jié)構(gòu)常數(shù)為C2n=1．8×10－14m－2/3，單程路徑上的Rytov方差為σ2I=2，單程路徑被平均分為20段，整個(gè)路徑共設(shè)置了40個(gè)湍流等效相位屏和一個(gè)目標(biāo)等效相位屏。不考慮前、后向路徑上湍流的相關(guān)性，即前、后向路徑上的相位屏均不相同。

圖5給出了湍流大氣中不同時(shí)刻接收面上的散斑圖樣，其中目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度為vt=1．0exm/s，風(fēng)速度矢量vw=－1．0exm/s。相比真空中的散斑，湍流中的散斑樣本的不同之處有三點(diǎn)，一是散斑平均尺寸變小了;二是真空中的散斑邊緣比較光滑，而湍流中的散斑邊緣更加不規(guī)則;三是湍流中的散斑隨著時(shí)間的變化更快，第四幅散斑圖和第一幅已經(jīng)觀察不到相似性。

圖5 湍流中漫射面回波動(dòng)態(tài)散斑圖樣

圖6 顯示了不同初始半徑的高斯波束在湍流中照射到無窮大漫射平面形成的散斑場的空間相關(guān)函數(shù)，它們對獨(dú)立生成的100個(gè)散斑圖樣進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的。與圖3相比可以發(fā)現(xiàn)，在湍流中空間相關(guān)函數(shù)下降速度更快，這代表著散斑尺寸更小，這與圖5顯示的信息是一致的。三條曲線下降速度的排序與圖3中相同，這表明了湍流對不同初始半徑的激光散斑影響大致是相同的。

圖6 湍流中漫射面回波散斑場空間相關(guān)函數(shù)

圖7 顯示了湍流大氣中不同初始半徑的激光散斑圖樣時(shí)間相關(guān)函數(shù)。在湍流大氣中，即使目標(biāo)不運(yùn)動(dòng)，受湍流效應(yīng)的影響散斑場仍然隨時(shí)間變化。當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)和風(fēng)的運(yùn)動(dòng)同時(shí)存在時(shí)，散斑受雙重作用調(diào)制，時(shí)間相關(guān)函數(shù)下降速度更快，即相關(guān)時(shí)間變得更小。而風(fēng)速沿不同方向時(shí)，時(shí)間相關(guān)函數(shù)變化不大，說明湍流和目標(biāo)對散斑場的影響是相互獨(dú)立的。

圖7 湍流中漫射面回波散斑場空間相關(guān)函數(shù)

5 討論與結(jié)論

本文采用分步傅里葉算法模擬了真空和湍流大氣中激光照射漫射面后，反射波形成的散斑場。并在該方法中引入了時(shí)變相位屏，從而模擬了當(dāng)漫射面運(yùn)動(dòng)時(shí)以及湍流隨著風(fēng)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，散斑場隨著時(shí)間的變化。對模擬得到的散斑進(jìn)統(tǒng)計(jì)計(jì)算，得到了散斑場的空間和時(shí)間相關(guān)函數(shù)。結(jié)果表明，相關(guān)長度由目標(biāo)上的光斑尺寸決定，光斑越大，接收面上的散斑越小。而相關(guān)時(shí)間不僅受目標(biāo)平面上的光斑尺寸影響，還受目標(biāo)平面上的光場相位影響，光場相位隨著位置的變化越快，相關(guān)時(shí)間就越短。本文研究結(jié)果為在湍流大氣中利用散斑遠(yuǎn)程測量目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度提供了理論基礎(chǔ)。

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