賈 榮，馮大河，程源泉，余晶晶

（桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004）

求解非線性偏微分方程（組）的精確解一直是數(shù)學物理領域的重要研究課題之一，非線性方程的波解描述了眾多重要現(xiàn)象和動力學過程，因此被廣泛應用于物理、工程技術和數(shù)學等領域，如非線性光學、量子論、流體力學、彈性理論和凝聚態(tài)物理等。到目前為止，眾多有效的求解非線性偏微分方程（組）的方法已被提出，包括反散射方法［1］、Backlund變換法［2］、Darboux變換法［2］、Hirota雙曲線性法［2］、齊次平衡法［3－5］、動力系統(tǒng)分支理論方法［6－8］、Tanh函數(shù)法［1］、Jacobi橢圓函數(shù)展開法［9］。其中，Tanh函數(shù)法是求解非線性偏微分方程精確解的一種有效方法。2003年，F(xiàn)an Engui［10］提出了一種新的代數(shù)方法，即Fan子方程法，2007年，F(xiàn)eng Dahe等［11］改進了這種方法。與Tanh函數(shù)法相比，利用Fan子方程法求解方程易得更多一般的行波解。目前，不少學者利用該方法研究非線性偏微分方程的問題。Feng Dahe等［12］利用該方法求解ageneralized Hirota－Satsuma coupled KdV equation的精確行波解。元艷香等［13］獲得Zhiber－Shabat方程更多豐富的精確解，Lu Hailing等［14］利用對稱函數(shù)方法研究了（2＋1）維Kaup－Kupershmidt（KK）方程的精確解，Hrawy等［15］利用指數(shù)函數(shù)法得到了（2＋1）維KK方程新的精確解。為此，利用Fan子方程法研究（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程，并給出該方程的精確解和相應的波形圖。

1 利用Fan子方程法求解（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程

利用Fan子方程法研究（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程：

作行波變換u（x，y，t）＝U（ξ），ξ＝x＋ky＋et，其中，k、e為常數(shù)，方程組（3）轉化為：

根據Fan子方程法，設方程組（4）的解為：

其中ai、bi為待定系數(shù)。新變量φ＝φ（ξ）滿足子方程：

其中ε＝±1，cj（j＝0，1，…，4）為待定常數(shù)。因此，對于變量ξ的微分則轉化為新變量φ（ξ）的微分：

把式（5）～（8）代入方程組（4），然后平衡最高階導數(shù)項和最高階非線性項，可得n1＝n2＝2。方程組（4）的解可表示為：

令ε＝1，φi和φi的系數(shù)為0，由此得到一系列關于ai、bi（i＝0，1，2）的代數(shù)方程，應用符號計算軟件Maple求解此方程，得到該方程組15種情況的解，從而得到方程組（3）的30組精確解。

2 （2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程的30組精確解

2.1 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0的有理函數(shù)解

設a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－kσ／3，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0，可得方程（6）的1組有理函數(shù)解：

把方程（10）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.2 c2＝0，c4＝0，c3＞0的Weierstrass橢圓函數(shù)解

設a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝（80σk2＋3c1c3－144e）／240σ，其中σ2＝1，c1≠0，c0、k、e為任意常數(shù)，由c2＝0，c4＝0，c3＞0，可得方程（6）的1組Weierstrass橢圓函數(shù)解：

其中g2＝－4c1／c3、g3＝－4c0／c3為雙周期Weierstrass橢圓函數(shù)的變量。把方程（12）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.3 c0＝0，c1＝0，c4＝0的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－σk／3－c2／12，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝（80σk2－20σkc2－c22－144e）／240σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c4＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（14）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.4 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0的有理函數(shù)解

設a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0，可得方程（6）的1組有理函數(shù)解：

把方程（16）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.5 c2＝0，c4＝0，c3＞0的Weierstrass橢圓函數(shù)解

設a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝（5σk2＋33c1c3－9e）／15σ，其中σ2＝1，c1≠0，c0、k、e為任意常數(shù)，由c2＝0，c4＝0，c3＞0，可得方程（6）的1組Weierstrass橢圓函數(shù)解：

把方程（18）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.6 c0＝0，c1＝0，c4＝0的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3－2c2／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝（5σk2－10σkc2－11－9e）／15σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c4＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（20）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.7 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0的有理函數(shù)解

設a2＝－c4，a1＝0，a0＝－σk／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0，得到方程（6）的1組有理函數(shù)解：

把方程（22）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.8 c0＝0，c1＝0，c3＝0的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設a2＝－c4，a1＝0，a0＝－σk／3－c2／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－5σkc2－－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（24）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.9 c1＝0，c3＝0的三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解和3組雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解

設a2＝－c4，a1＝0，a0＝σk／3－c2／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－c0c4－5σkc2－－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解、3組雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中m（0＜m＜1）為Jacobi橢圓函數(shù)的模。把方程（26）～（30）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.10 c0＝0，c1＝0，c2＝0的指數(shù)函數(shù)解和有理函數(shù)解

設a2＝－c4，a1＝－c3／2，a0＝（3－16σkc4）／48c4，b2＝－kc4，b1＝－kc3／2，b0＝（240＋1280σk2，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，可得方程（6）的1組指數(shù)函數(shù)解、1組有理函數(shù)解：

把方程（32）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.11 c0＝0，c1＝0的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設a2＝－c4，a1＝－c3／2，a0＝，其中σ2＝1，c3≠0，c4≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

其中當c2＝／4c4時。將方程（34）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.12 c0＝0，c1＝0，c2＝c32／4c4的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設a2＝－，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝c32／4c4，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（36）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.13 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0的有理函數(shù)解

設a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0，可得方程（6）的1組有理函數(shù)解

把方程（38）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.14 c0＝0，c1＝0，c3＝0三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3－8c2／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－40σkc2－176－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（40）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.15 c1＝0，c3＝0的三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解和3組雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解

設a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3－8c2／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解、3組雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解：

把方程（42）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

3 （2＋1）維KK方程相應的波形圖

（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程30組解的圖形大致分為5類：

1）KK方程的第3、7、10、11、24、26組解有相似的圖形，其中第3組解的波形如圖1所示。

圖1 當σ＝1，c2＝－0.04，k＝e＝1，t＝0時U3、V3的波形Fig.1 The waveforms ofU3，V3 whenσ＝1，c2＝－0.04，k＝e＝1，t＝0

2）KK方程的第4、8、12、13、25、27組解有相似的圖形，其中第8組解的波形如圖2所示。

圖2 當σ＝1，c2＝0.04，k＝e＝1，t＝0時U8、V8的波形Fig.2 The waveforms ofU8，V8 whenσ＝1，c2＝0.04，k＝e＝1，t＝0

3）KK方程的第14、15、16、28、29、30組解有相似的圖形，其中第14組解的波形如圖3所示。

4）KK方程的第18組解的波形如圖4所示。

圖3 當σ＝1，c2＝0.28，k＝e＝1，m＝0.8，t＝0時U14、V14的波形Fig.3 The waveforms ofU14，V14 whenσ＝1，c2＝0.28，k＝e＝1，m＝0.8，t＝0

圖4 當σ＝1，c3＝0.2，c4＝0.02，k＝e＝1，t＝0時U18、V18的波形Fig.4 The waveforms ofU18，V18 whenσ＝1，c3＝0.2，c4＝0.02，k＝e＝1，t＝0

5）KK方程的第20、22組解的波形如圖5所示。

圖5 當σ＝1，c2＝－0.01，c3＝0.2，c4＝1，k＝e＝1，t＝0時U22、V22的波形Fig.5 The waveforms ofU22，V22 whenσ＝1，c2＝－0.01，c3＝0.2，c4＝1，k＝e＝1，t＝0

4 結束語

利用Fan子方程法，借助符號計算軟件Maple求解（2＋1）維KK方程，獲得了該方程的30組精確解。與其他求解（2＋1）維KK方程方法相比，利用Fan子方程法得到的解更豐富、更具一般性。由此可見，F(xiàn)an子方程法是求解非線性偏微分方程精確解的一種有效方法。后續(xù)研究可借助Fan子方程法或推廣的Fan子方程法，解決非線性問題。

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