陸天明

（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校，江蘇 南京 211102）

在重力場中，將一任意形狀的不可形變的物體（剛體）穿過水平軸懸掛起來，使其做小角度擺動，不計一切阻力和摩擦力，這就構(gòu)成了復(fù)擺，復(fù)擺又稱物理擺，如圖1所示，其中rC為懸掛點O到質(zhì)心C的距離.對某一確定的復(fù)擺，其微小振動的周期是一個定值.復(fù)擺周期公式的證明較為復(fù)雜，通常要用到高等數(shù)學(xué)的知識.其實可以通過對復(fù)擺轉(zhuǎn)動的角速度進(jìn)行分析并與單擺進(jìn)行比較，可以巧妙地得到復(fù)擺的周期公式.

這里需要特別說明的是，雖然全國中學(xué)生物理競賽對質(zhì)點和質(zhì)點組的角動量定理、角動量守恒定律提出了要求，并明顯地反映在多年來的競賽試題中，但同時也明確提出不引入轉(zhuǎn)動慣量的概念，這是令競賽教練們感到費(fèi)解的地方.實際上，在分析相關(guān)賽題時，都要運(yùn)用轉(zhuǎn)動慣量的概念.所以筆者認(rèn)為，在實際的教學(xué)中根本沒有必要回避轉(zhuǎn)動慣量這個重要的物理概念，而且筆者在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對轉(zhuǎn)動慣量的理解并沒有多少困難.

學(xué)生一旦有轉(zhuǎn)動慣量的概念，就可以討論上述復(fù)擺的周期問題了.對于這個問題，學(xué)生們最容易犯的錯誤就是想當(dāng)然地認(rèn)為復(fù)擺的周期為

圖1

怎樣用初等方法求出復(fù)擺的周期呢？

如圖1所示，設(shè)復(fù)擺的幅角為θ0，那么當(dāng)復(fù)擺擺到任一個角度θ時，由機(jī)械能守恒得

式中I為復(fù)擺繞懸掛點O的轉(zhuǎn)動慣量.在任一個位置的角速度為

如圖2所示，構(gòu)造一個單擺，設(shè)其擺長為l，幅角也為θ0，則當(dāng)單擺擺到任一角度θ時，由機(jī)械能守恒得

在任一位置的速度為

由線速度和角速度的關(guān)系v2＝ω2l，可以得到

圖2

由（2）、（3）兩式可知

對于一個復(fù)擺和單擺，因為m、I均不變，即在任一角度θ處，角速度之比都是一個定值，所以兩種擺的周期之比也應(yīng)為

當(dāng)然也可以通過簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo).對于任意一個無窮小的角位移Δθ，復(fù)擺和單擺所用時間分別為Δt1＝和Δt2＝，所以有

周期為無數(shù)個這些小時間段之和，即復(fù)擺的周期為T1＝ ∑Δt1，單擺的周期為T2＝ ∑Δt2，所以有

代入（4）式可得

最后還要說明的是，一般情況下復(fù)擺的轉(zhuǎn)動慣量不等于I＝mrC2，所以一般l0≠rC，所以我們不能想當(dāng)然地認(rèn)為復(fù)擺的周期相當(dāng)于一個擺長為rC的單擺的周期，即認(rèn)為復(fù)擺的周期為的想法是錯誤的.

1 李增林.力學(xué)［M］.南京：南京工學(xué)院出版社，1988：269-270.