馮 蕾 梁治安

隨著人口老齡化的加劇，越來(lái)越多的人開(kāi)始關(guān)注退休養(yǎng)老問(wèn)題。退休養(yǎng)老計(jì)劃作為家庭理財(cái)?shù)闹匾M成部分，是根據(jù)人們實(shí)際的經(jīng)濟(jì)狀況，綜合考慮個(gè)人勞動(dòng)收入、消費(fèi)支出等隨機(jī)因素，從現(xiàn)在開(kāi)始進(jìn)行的財(cái)富積累和資產(chǎn)規(guī)劃，從而保障退休后的生活水平。

大量實(shí)證研究表明，居民的消費(fèi)具有習(xí)慣形成的特征，消費(fèi)習(xí)慣成為影響居民消費(fèi)的重要因素。本文的模型主要有以下特點(diǎn)：（1）在模型中引入內(nèi)生性的消費(fèi)習(xí)慣，刻畫(huà)退休養(yǎng)老計(jì)劃參與者的消費(fèi)行為；（2）退休養(yǎng)老計(jì)劃參與者的死亡概率是隨機(jī)的；（3）采用CRRA函數(shù)刻畫(huà)退休養(yǎng)老計(jì)劃參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。

一、假設(shè)與建模

1.金融市場(chǎng)

假設(shè)金融市場(chǎng)存在兩種資產(chǎn)供投資者進(jìn)行投資組合選擇，第一種為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) （銀行存款或者債券），另一種為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票或者市場(chǎng)組合），其中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S（t），服從如下隨機(jī)微分方程：

其中μS、σS為常數(shù)分別表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率和波動(dòng)率，BS（t）為標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。 定義 η＝（μS－r）／σS＞0表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的夏普比。令αt表示第t期投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富比例，則1－αt表示投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富比例。

2.隨機(jī)勞動(dòng)收入

假定退休前投資者獲得隨機(jī)勞動(dòng)收入Y （t），退休后隨機(jī)勞動(dòng)收入為0。Y（t）服從如下隨機(jī)微分方程：

其中TR表示投資者的退休時(shí)刻，μY、σY為常數(shù)分別表示隨機(jī)勞動(dòng)收入的期望增長(zhǎng)率和波動(dòng)率，BY（t）為標(biāo)準(zhǔn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，為了獲得本文模型解析解，假定幾何布朗運(yùn)動(dòng) BS（t）、BY（t）之間的相關(guān)系數(shù)為 1。

3.消費(fèi)行為

根據(jù)熊和平等（2012）假定投資者具有內(nèi)在性的消費(fèi)習(xí)慣 H（t），定義如下：

其中 H（t）為確定性變量，Cs表示消費(fèi)率，a、b 均為常數(shù)，a度量了過(guò)去進(jìn)入消費(fèi)習(xí)慣的衰減程度，b度量了消費(fèi)習(xí)慣相對(duì)于消費(fèi)的強(qiáng)度，b越大，消費(fèi)習(xí)慣所占的權(quán)重越小，對(duì)上式進(jìn)行微分可以得到H（t）的動(dòng)態(tài)過(guò)程如下：

該種消費(fèi)習(xí)慣是歷史消費(fèi)水平的加權(quán)平均，度量了個(gè)人對(duì)反復(fù)刺激產(chǎn)生反應(yīng)的心理特征。

4.退休養(yǎng)老計(jì)劃及財(cái)富動(dòng)態(tài)

假定投資者參與確定支付型（Defined－Contribution，簡(jiǎn)稱DC）養(yǎng)老金計(jì)劃，考慮如下簡(jiǎn)單的情形：退休前，投資者將勞動(dòng)收入的固定比例繳費(fèi)于養(yǎng)老金中進(jìn)行投資，剩余部分勞動(dòng)收入全部用于消費(fèi)，假定每一期繳費(fèi)比例為θ，其中θ為常數(shù)，那么退休前養(yǎng)老金財(cái)富累積過(guò)程W（t）滿足如下動(dòng)態(tài)過(guò)程：

在退休時(shí)刻TR，累積的養(yǎng)老金被用于購(gòu)買(mǎi)具有確定支付額的年金以維持養(yǎng)老計(jì)劃參與者退休后的生活水平，每期的支付額為：支付比例滿足如下等式：

其中 λTR表示死亡強(qiáng)度，（λTR＋r）表示連續(xù)技術(shù)率。當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于參與者將累積的養(yǎng)老金存入銀行，靠利息維持退休后的生活水平。

5.投資者的目標(biāo)

直覺(jué)上，退休后養(yǎng)老金計(jì)劃參與者勞動(dòng)收入為零，因此其風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)會(huì)大于退休前的風(fēng)險(xiǎn)偏好。養(yǎng)老金計(jì)劃參與者的目標(biāo)是根據(jù)當(dāng)前財(cái)富水平以及隨機(jī)勞動(dòng)收入，通過(guò)選擇最優(yōu)的消費(fèi)策略Ct、金融投資策略αt來(lái)最大化生命周期內(nèi)的期望消費(fèi)總效用：

δ表示時(shí)間貼現(xiàn)因子，β＞0為常數(shù)反映了養(yǎng)老金計(jì)劃參與者的偏好，β越大，意味著退休后消費(fèi)帶來(lái)的效用要大于退休前消費(fèi)所獲得的效用，因此更偏好進(jìn)行未來(lái)消費(fèi)。由于本文考慮了消費(fèi)習(xí)慣，因此效用函數(shù)不再是消費(fèi)的一元函數(shù)，而是關(guān)于消費(fèi)和習(xí)慣的二元函數(shù)，U1（x）為養(yǎng)老金計(jì)劃參與者退休前效用函數(shù)，U2（x）為養(yǎng)老金計(jì)劃參與者退休后效用函數(shù)，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，本文不考慮養(yǎng)老金計(jì)劃參與者的遺產(chǎn)函數(shù)。由于養(yǎng)老金計(jì)劃參與者購(gòu)買(mǎi)確定支付的年金，因此式（7）中的第二項(xiàng)可以直接進(jìn)行積分，可以得到：

二、模型求解

1.HJB 方程

利用標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制原理，定義最優(yōu)化問(wèn)題的價(jià)值函數(shù)如下：

價(jià)值函數(shù)滿足如下 Hamilton－Jacobi－Bellman（HJB）方程：

退休前養(yǎng)老基金財(cái)富積累階段，養(yǎng)老金計(jì)劃參與者獲得勞動(dòng)收入，退休后勞動(dòng)收入為零，在退休時(shí)購(gòu)買(mǎi)固定支付年金，利用價(jià)值函數(shù)的價(jià)值匹配條件（Value－Matching－Condition），可以得到價(jià)值函數(shù)滿足如下邊界條件：

2.CRRA效用函數(shù)下模型的解

不失一般性，采用“差”的形式刻畫(huà)消費(fèi)習(xí)慣，假定養(yǎng)老金計(jì)劃參與者具有常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡 （CRRA）效用函數(shù)，具體形式如下：

其中γi＞0表示養(yǎng)老金計(jì)劃參與者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，因?yàn)橥诵莺鬀](méi)有勞動(dòng)收入，直覺(jué)上γ2≥γ1，但是為了使模型便于求解，假定 γ2＝γ1＝γ。

HJB方程滿足如下偏微分方程：

通過(guò)猜測(cè)—驗(yàn)證的方法，構(gòu)造偏微分方程（15）的解具有如下形式：

滿足如下邊界條件：

式（16）對(duì)各個(gè)狀態(tài)變量分別求一、二階偏導(dǎo)數(shù)代入偏微分方程（15），整理后分離出含（w＋B（t）y－D（t）h）的項(xiàng)，含y的項(xiàng)以及含h的項(xiàng)并分別令其等于零，可以得到如下三個(gè)常微分方程：

結(jié)合邊界條件，上述三個(gè)方程解分別為：

至此，作者給出了本文模型求解的全部過(guò)程，以下面的定理總結(jié)考慮消費(fèi)習(xí)慣的養(yǎng)老金計(jì)劃參與者消費(fèi)與投資決策問(wèn)題的主要結(jié)論。

如果考慮養(yǎng)老金計(jì)劃參與者的消費(fèi)習(xí)慣，并且具有CRRA類型效用函數(shù)，則退休前的價(jià)值函數(shù)由式（16）給出，退休前的最優(yōu)消費(fèi)為：

退休前的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置比例為：

退休后的最優(yōu)消費(fèi)為：

3.解的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義

下面對(duì)本文結(jié)論的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義進(jìn)行分析。通過(guò)表達(dá)式（20）、（21）、（22）可以發(fā)現(xiàn)，A（t）、B（t）、D（t）的值均大于零。下面分析內(nèi)生消費(fèi)習(xí)慣對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃參與者退休前消費(fèi)行為的影響，重組式（23）可以得到：

退休后的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置比例為：

上式中等式右邊第一項(xiàng)為養(yǎng)老金財(cái)富累積帶來(lái)的財(cái)富效應(yīng)，第二項(xiàng)為勞動(dòng)收入帶來(lái)的財(cái)富效應(yīng)，第三項(xiàng)為內(nèi)生消費(fèi)習(xí)慣對(duì)消費(fèi)行為的影響。如果不考慮消費(fèi)習(xí)慣的影響，即：a＝0，b＝0 時(shí)，上式演化為：

由于D（t）＞0，對(duì)比上述兩個(gè)表達(dá)式發(fā)現(xiàn)，內(nèi)在消費(fèi)習(xí)慣的存在會(huì)削弱養(yǎng)老金積累和勞動(dòng)收入帶來(lái)的財(cái)富效應(yīng)，進(jìn)一步，如果 A（t） （1＋bD（t）1／γ＜D（t），內(nèi)生消費(fèi)習(xí)慣對(duì)消費(fèi)行為的影響更大，此時(shí)，養(yǎng)老計(jì)劃參與者更愿意保持過(guò)去的消費(fèi)習(xí)慣，習(xí)慣一旦形成便很難改變。凌愛(ài)凡等（2011）認(rèn)為，考慮消費(fèi)習(xí)慣時(shí)會(huì)使消費(fèi)者的儲(chǔ)蓄得到自然積累，但這并不屬于預(yù)防性儲(chǔ)蓄（鄒紅等，2010）。進(jìn)行實(shí)證研究表明：盡管長(zhǎng)期內(nèi)居民資產(chǎn)對(duì)消費(fèi)的影響不斷增長(zhǎng)，但是受消費(fèi)自身慣性的影響，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)對(duì)消費(fèi)支出的效果非常微弱。退休后消費(fèi)習(xí)慣對(duì)消費(fèi)行為的影響可采取上述的方法進(jìn)行分析，本文不再贅述。

下面分析內(nèi)生消費(fèi)習(xí)慣對(duì)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置的影響，重組式（24）可以得到：

可以直接得出結(jié)論，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)最優(yōu)配置是風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ的減函數(shù)，是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)夏普比率η的增函數(shù)，是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率σS的減函數(shù)，是隨機(jī)勞動(dòng)收入波動(dòng)率σY的減函數(shù)。上式最后一項(xiàng)為消費(fèi)習(xí)慣對(duì)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置的影響，由于符號(hào)為負(fù)，意味著考慮內(nèi)生消費(fèi)習(xí)慣時(shí)，養(yǎng)老金計(jì)劃參與者將減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，投資行為變得更加保守。

三、數(shù)值模擬分析

下面用數(shù)值模擬的方法討論死亡力強(qiáng)度對(duì)退休前消費(fèi)與投資決策的影響，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)對(duì)退休前消費(fèi)與投資決策的影響，以及不同退休年齡情況下消費(fèi)與投資行為的變化。

1.參數(shù)選擇

在數(shù)值模擬中根據(jù)（Huang et al，2008）設(shè)置金融市場(chǎng)和隨機(jī)勞動(dòng)收入的關(guān)鍵參數(shù)，具體設(shè)置：時(shí)間貼現(xiàn)因子 δ＝0.02，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r＝0.02，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)期望收益率 μS＝0.07，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率 σS＝0.2，隨機(jī)勞動(dòng)收入預(yù)期增長(zhǎng)率μY＝0.01，隨機(jī)勞動(dòng)收入波動(dòng)率σY＝0.05，設(shè)定養(yǎng)老金的初值為 w＝200，隨機(jī)勞動(dòng)收入的初值為 y＝50。 根據(jù)（Constantinides，1990）設(shè)定消費(fèi)習(xí)慣的關(guān)鍵參數(shù)：a＝0.1，b＝0.093，熊和平等（2010）發(fā)現(xiàn)消費(fèi)習(xí)慣與財(cái)富成一定比例，H（t）≈θW（t），并給出了θ的取值范圍，本文中取θ＝0.11，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ＝2.2。根據(jù)2006年開(kāi)始實(shí)行的《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000－2003）》下的養(yǎng)老金業(yè)務(wù)表男性零歲余命為 79.7 歲，因此，本文設(shè)定 T＝80，退休年齡 TR＝60。

2.死亡率變化對(duì)消費(fèi)、投資的影響

現(xiàn)有關(guān)于退休養(yǎng)老計(jì)劃的研究大多忽略死亡風(fēng)險(xiǎn)，通常在模型中假定死亡率為常數(shù)，這明顯與事實(shí)不符，退休養(yǎng)老計(jì)劃關(guān)系到參與者一生消費(fèi)與投資決策，投資期限長(zhǎng)達(dá)數(shù)10年，因此，考慮死亡風(fēng)險(xiǎn)是十分有必要的。本文采用Gompertz死亡率函數(shù)：

研究表明最優(yōu)消費(fèi)和投資是死亡強(qiáng)度的增函數(shù)，當(dāng)死亡強(qiáng)度增加時(shí)，消費(fèi)支出增加，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置比例增加，這也符合人們的直覺(jué)。由于本文沒(méi)有考慮退休養(yǎng)老計(jì)劃參與者的遺產(chǎn)函數(shù)，如果預(yù)期余命減少，則必然增加消費(fèi)，并增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例；反過(guò)來(lái)，如果預(yù)期余命增加，考慮到退休后生活水平的維持，養(yǎng)老金計(jì)劃參與者會(huì)減少退休前的消費(fèi)支出，采取較為保守的投資策略，減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的配置比例。

3.勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)對(duì)消費(fèi)、投資的影響

下面分析面臨不同收入風(fēng)險(xiǎn)時(shí)退休養(yǎng)老計(jì)劃參與者在退休前的消費(fèi)與投資行為。

研究不同年齡養(yǎng)老金計(jì)劃參與者的消費(fèi)與投資決策可知，假定65歲退休，從20歲時(shí)參加養(yǎng)老計(jì)劃和從40歲時(shí)參加養(yǎng)老金計(jì)劃，其消費(fèi)與投資行為是不一樣的，如果從20歲開(kāi)始參加退休養(yǎng)老計(jì)劃，那么離退休還有45年，他們選擇晚一點(diǎn)為養(yǎng)老進(jìn)行儲(chǔ)蓄，因此會(huì)選擇年輕時(shí)進(jìn)行高消費(fèi)，并且增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例，該結(jié)論也符合投資期限效應(yīng)。另外最優(yōu)消費(fèi)與投資決策對(duì)勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)非常敏感，二者均是勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的減函數(shù)，勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)越大，意味著未來(lái)的不確定性越大，為了獲得退休后期望的年金率，養(yǎng)老金計(jì)劃參與者會(huì)減少消費(fèi)，減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置比例；當(dāng)養(yǎng)老金計(jì)劃參與者的年齡為45歲，并且勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)σY＝0.06時(shí)，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例為負(fù)，意味著此時(shí)的最優(yōu)投資決策為賣(mài)空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來(lái)對(duì)沖未來(lái)的收入風(fēng)險(xiǎn)。

4.消費(fèi)習(xí)慣對(duì)最優(yōu)消費(fèi)的影響

標(biāo)準(zhǔn)的生命周期理論認(rèn)為，把消費(fèi)均勻分布于各個(gè)時(shí)期就能實(shí)現(xiàn)整個(gè)生命周期消費(fèi)效用最大化，從而消費(fèi)效用是獨(dú)立的。然而，消費(fèi)行為會(huì)受習(xí)慣形成的影響，消費(fèi)效用在時(shí)間上具有關(guān)聯(lián)性，由于受習(xí)慣形成的影響，消費(fèi)者很難容忍生活水平的降低。大量學(xué)者將習(xí)慣形成理論應(yīng)用于解釋實(shí)際消費(fèi)中的“過(guò)度平滑性”（Campbell和 Deaton，1989） 和 “過(guò)度敏感性”（Flavin，1981）現(xiàn)象。研究考慮消費(fèi)習(xí)慣與不考慮消費(fèi)習(xí)慣兩種情況下退休養(yǎng)老計(jì)劃參與者的消費(fèi)行為，發(fā)現(xiàn)兩種情況下消費(fèi)行為有巨大差異，在25歲以前都大于設(shè)定的初始勞動(dòng)收入水平，這意味著在參與者25歲以前會(huì)選擇借錢(qián)進(jìn)行消費(fèi)。從前面部分的比較靜態(tài)分析中發(fā)現(xiàn)，內(nèi)生性消費(fèi)習(xí)慣會(huì)削弱累積財(cái)富和勞動(dòng)收入的財(cái)富效應(yīng)，因此，考慮內(nèi)生性消費(fèi)習(xí)慣時(shí)消費(fèi)支出更加平滑。雷欽禮（2009）認(rèn)為，消費(fèi)慣性通過(guò)影響勞動(dòng)收入的邊際消費(fèi)傾向和對(duì)未來(lái)勞動(dòng)收入不確定性的反應(yīng)強(qiáng)度來(lái)影響家庭的消費(fèi)行為。

5.延遲退休對(duì)消費(fèi)的影響

四、結(jié) 論

本文假定居民參與退休養(yǎng)老計(jì)劃，退休前每一期將工資的固定比例投資于養(yǎng)老基金中，剩余部分進(jìn)行消費(fèi)，退休后領(lǐng)取固定支付的年金，保障退休后的生活水平，并以內(nèi)生消費(fèi)習(xí)慣刻畫(huà)消費(fèi)行為，建立生命周期的連續(xù)時(shí)間消費(fèi)與投資模型，研究退休養(yǎng)老計(jì)劃對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃參與者消費(fèi)與投資行為的影響。借助動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法得到了退休前（后）最優(yōu)消費(fèi)與投資決策的顯示表達(dá)式。比較靜態(tài)分析和數(shù)值模擬分析表明：（1）退休前最優(yōu)消費(fèi)和投資決策是死亡強(qiáng)度的單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)死亡強(qiáng)度減小時(shí)，出于對(duì)養(yǎng)老金安全性的考慮，退休養(yǎng)老計(jì)劃參與者會(huì)減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置比例。（2）消費(fèi)習(xí)慣可以解釋消費(fèi)“過(guò)度平滑性”現(xiàn)象，最優(yōu)消費(fèi)和投資決策是勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的減函數(shù)，受內(nèi)生性消費(fèi)習(xí)慣的影響，會(huì)減弱隨機(jī)勞動(dòng)收入的財(cái)富效應(yīng)和對(duì)未來(lái)勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)的反應(yīng)程度，勞動(dòng)收入的沖擊不會(huì)明顯改變養(yǎng)老金計(jì)劃參與者退休前（后）的消費(fèi)行為。（3）受“繳費(fèi)年限效應(yīng)”和“退休年限效應(yīng)”的影響，延遲退休會(huì)提高退休養(yǎng)老計(jì)劃參與者退休后的消費(fèi)水平。

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12.杭斌：《城鎮(zhèn)居民的平均消費(fèi)傾向?yàn)楹纬掷m(xù)下降——基于消費(fèi)習(xí)慣形成的實(shí)證研究》，《數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究》2010年第6期。

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