蘇建超

摘 要：在實(shí)際問題研究中，人們感興趣的是研究預(yù)測(cè)變量的改變對(duì)響應(yīng)變量的影響，線性回歸模型是解決這類問題的方法之一，常用最小二乘法或最小一乘法來估計(jì)未知參數(shù)。本文重點(diǎn)討論了線性分位數(shù)回歸分析的數(shù)學(xué)原理，以及通過數(shù)學(xué)建模挖掘其在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)嶋H問題分析中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：分位數(shù)；回歸分析；經(jīng)濟(jì)；應(yīng)用

分位數(shù)回歸方法從1978年提出后，無論從理論還是應(yīng)用方面都得到了很大的發(fā)展。它不僅能夠拓展模型使用的范圍，而且還能夠度量出回歸變量對(duì)分布的影響，以及分布的尾部特征，較之經(jīng)典的最小二乘法更具有優(yōu)勢(shì)。隨著分位數(shù)回歸理論和算法的不斷發(fā)展，分位數(shù)應(yīng)用的領(lǐng)域更加廣泛。

一、分位數(shù)回歸分析解決實(shí)際問題的研究背景

傳統(tǒng)的線性回歸模型具有悠久的歷史，其中經(jīng)典的最小二乘回歸應(yīng)用最為廣泛。它描述了因變量的條件均值分布受自變量X的影響過程。最小二乘法是估計(jì)回歸系數(shù)的最基本的方法。如果模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)來自均值為零，且方差相同的分布，那么回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)為最佳線性無偏估計(jì)如果隨機(jī)誤差項(xiàng)是正態(tài)的，那么回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)，與極大似然估計(jì)一致，均為最小方差無偏估計(jì)。此時(shí)它具有無偏性、有效性等優(yōu)良性質(zhì)。

但是，在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)生活中，這種假設(shè)常常得不到滿足。例如當(dāng)數(shù)據(jù)中存在嚴(yán)重的異方差，或者存在厚尾、尖峰等情況時(shí)，最小二乘法的估計(jì)將不再具有上述的優(yōu)良性質(zhì)，而且穩(wěn)健性極其糟糕。特別的，對(duì)于大量數(shù)據(jù)而言，應(yīng)用最小二乘回歸只能得到一條回歸線，而一條回歸線所能反映的信息量是有限的。因此，人們?cè)谑褂媒?jīng)典的線性回歸的同時(shí)，也一直在不斷的探索更新更好的回歸方法。

為了彌補(bǔ)最小二乘法在回歸分析中的缺陷，有科學(xué)家提出了分位數(shù)回歸，分位數(shù)回歸相對(duì)于最小二乘回歸，應(yīng)用條件更加寬松，挖掘的信息量更加豐富。它依據(jù)因變量的條件分位數(shù)對(duì)自變量X進(jìn)行回歸，這樣得到了所有分位數(shù)下的回歸模型。因此分位數(shù)回歸相比普通的最小二乘回歸，能夠更精確的描述自變量X對(duì)于因變量Y的變化范圍，以及條件分布形狀的影響。分位數(shù)回歸能夠捕捉到分布的尾部特征，當(dāng)自變量對(duì)因變量分布的不同位置產(chǎn)生不同的影響時(shí)，它就能更加全面的刻畫分布的特征，從而得到全面的分析，而且分位數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)比最小二乘回歸系數(shù)估計(jì)更加穩(wěn)健。

二、分位數(shù)回歸理論和分析方法的優(yōu)勢(shì)

普通線性回歸模型實(shí)際上是研究被解釋變量的條件期望，人們當(dāng)然也關(guān)心解釋變量與被解釋變量分布的中位數(shù)，分位數(shù)呈何種關(guān)系。這就是分位數(shù)回歸，它最早由Koenker和Bassett提出，是估計(jì)一組回歸變量X與被解釋變量Y的分位數(shù)之間線性關(guān)系的建模方法。

正如普通最小二乘OLS回歸估計(jì)量的計(jì)算是基于最小化殘差平方和一樣，分位數(shù)回歸估計(jì)量的計(jì)算也是基于一種非對(duì)稱形式的絕對(duì)值殘差最小化，其中，中位數(shù)回歸運(yùn)用的是最小絕對(duì)值離差估計(jì)。它和OLS主要區(qū)別在于回歸系數(shù)的估計(jì)方法和其漸近分布的估計(jì)。在殘差檢驗(yàn)、回歸系數(shù)檢驗(yàn)、模型設(shè)定、預(yù)測(cè)等方面則基本相同。所以，分位數(shù)回歸的優(yōu)點(diǎn)是能夠更加全面的描述被解釋變量條件分布的全貌，而不是僅僅分析被解釋變量的條件期望（均值），也可以分析解釋變量如何影響被解釋變量的中位數(shù)、分位數(shù)等。不同分位數(shù)下的回歸系數(shù)估計(jì)量常常不同，即解釋變量對(duì)不同水平被解釋變量的影響不同。

另外，中位數(shù)回歸的估計(jì)方法與最小二乘法相比，估計(jì)結(jié)果對(duì)離群值則表現(xiàn)的更加穩(wěn)健，而且，分位數(shù)回歸對(duì)誤差項(xiàng)并不要求很強(qiáng)的假設(shè)條件，因此對(duì)于非正態(tài)分布而言，分位數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)量則更加穩(wěn)健。

三、分位數(shù)回歸分析在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用分析

線性分位數(shù)回歸是近年發(fā)展起來的一種統(tǒng)計(jì)方法。線性回歸模型要求滿足同方差性，隨機(jī)誤差項(xiàng)兩兩不相關(guān)等條件，在進(jìn)行回歸系數(shù)的顯著性推斷時(shí)，通常還要假設(shè)殘差服從正態(tài)分布。尤其是當(dāng)分布是重尾或存在強(qiáng)影響點(diǎn)，以及異常點(diǎn)時(shí)，推斷結(jié)果的穩(wěn)健性往往很差。分位數(shù)回歸避免了這種缺陷，其結(jié)果具有強(qiáng)烈的穩(wěn)健性。

下面就結(jié)合分位數(shù)回歸分析在房地產(chǎn)行業(yè)中的應(yīng)用為代表，來剖析其中的科學(xué)原理和社會(huì)價(jià)值。房地產(chǎn)行業(yè)作為第三產(chǎn)業(yè)，與國民的生活密切相關(guān)，是國民經(jīng)濟(jì)的支柱產(chǎn)業(yè)之一，同時(shí)也是一個(gè)自身就很龐大和復(fù)雜的系統(tǒng)，對(duì)國民經(jīng)濟(jì)的整體態(tài)勢(shì)和國民的生活水平影響都很大。近年來，我國房地產(chǎn)業(yè)十分迅速的發(fā)展，一方面為國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)，另一方面在改善居民居住條件方面發(fā)揮了極其重要的作用。與此同時(shí)各方對(duì)房地產(chǎn)業(yè)有諸多爭(zhēng)議，各方都從自己的角度出發(fā)，從政策、心理和資金等因素來予以考慮，定性的分析多于定量的分析。顯而易見，從定量的角度來把握各個(gè)指標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系，系統(tǒng)的梳理當(dāng)前房地產(chǎn)業(yè)的發(fā)展態(tài)勢(shì)，深刻的認(rèn)識(shí)房地產(chǎn)業(yè)的經(jīng)濟(jì)規(guī)律，從而準(zhǔn)確的對(duì)房地產(chǎn)業(yè)進(jìn)行預(yù)見和調(diào)控，最終實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。由于我國房地產(chǎn)發(fā)展的地區(qū)差異性大，不能用一個(gè)平均水平的模型概況性的估計(jì)，因此需要通過建立一個(gè)正確并且全面的模型來把握房地產(chǎn)業(yè)內(nèi)在發(fā)展規(guī)律，弄清房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)與其他環(huán)境、人口、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等因素之間的具體關(guān)系。分位數(shù)回歸估計(jì)模型就能解決這一問題一種方法。

同時(shí)要強(qiáng)調(diào)的是，位數(shù)回歸方法不僅能夠度量回歸變量對(duì)分布中心的影響，而且能度量回歸變量對(duì)分布上尾和下尾的影響，它是在不同的分位數(shù)下進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的信息更為全面和精確。我國房地產(chǎn)業(yè)發(fā)展空間差異巨大，經(jīng)典的條件均值回歸只能反映平均趨勢(shì)，對(duì)于房地產(chǎn)業(yè)發(fā)展水平區(qū)域性的特點(diǎn)，這種回歸結(jié)果與實(shí)際情況有時(shí)差別會(huì)很大。通過分位數(shù)回歸的方法研究，可以建立一種較為全面衡量房?jī)r(jià)影響因素的指標(biāo)體系，確立對(duì)不同水平下房?jī)r(jià)起伏狀況與相關(guān)影響因素之間的作用性質(zhì)和強(qiáng)弱。

四、結(jié)語

從分位數(shù)回歸理論的發(fā)展來看，它并沒有一經(jīng)問世便迅速普及開來，因?yàn)榉治粩?shù)回歸本身計(jì)算過程較為復(fù)雜，隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，以及與線性規(guī)劃理論的相結(jié)合，各種分位數(shù)回歸軟件包才應(yīng)運(yùn)而生，進(jìn)而分位數(shù)回歸理論逐漸進(jìn)入了大眾的視線內(nèi)。

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