劉淵博，李明，何琳

（1西安科技大學理學院力學系，西安710054；2海軍工程大學振動與噪聲研究所，武漢430033）

船用氣囊隔振系統(tǒng)的非線性動力學特性

劉淵博1，李明1，何琳2

（1西安科技大學理學院力學系，西安710054；2海軍工程大學振動與噪聲研究所，武漢430033）

氣囊隔振系統(tǒng)通常被廣泛應用于對艦船或潛艇上的大型旋轉機械實施隔振控制。然而，船舶在航行時，隔振系統(tǒng)有時會產生過大的位移，會呈現出一些非線性動力學現象。文中以帶間隙的線性彈簧限位器的隔振系統(tǒng)為研究對象，考慮了垂直和偏轉兩個方向的運動，基于分析力學的相關理論建立了具有旋轉偏心質量的氣囊隔振系統(tǒng)非線性動力學模型，并且采用數值方法重點分析了該系統(tǒng)的非線性動力學行為以及參數變化對系統(tǒng)動力學特性的影響。結果顯示在低轉速時，系統(tǒng)呈現出準周期運動特性；隨著轉速的增大，系統(tǒng)運動中出現混沌、周期3、5、7及準周期運動等一系列的非線性動力學現象。

氣囊隔振器；限位器；分段線性；非線性動力學

0 引言

艦船在航行時，船上設備工作而產生的機械振動是噪聲的主要來源之一。對于軍用艦艇，動力系統(tǒng)的機械振動噪聲嚴重影響其隱蔽性，因此研究船舶機械系統(tǒng)的減振降噪對艦艇的安全性具有重要意義[1-2]。

船舶的機械系統(tǒng)的隔振技術經過了多次技術跨越，其隔振效果不斷提升[3-4]。目前常用隔振系統(tǒng)主要有單層、雙層及浮筏隔振系統(tǒng)等。單層隔振裝置其主要用于隔振要求不高的艦船設備，以及有嚴格對中要求的推進動力系統(tǒng)[5]。雙層隔振是在設備和基座之間安裝兩層隔振器，并在兩層隔振器之間插入中間質量塊，利用中間質量衰減隔振器傳遞來的振動，從而提高隔振效果[6-7]。浮筏隔振系統(tǒng)是在單層和雙層隔振系統(tǒng)的基礎上發(fā)展起來的一種新型隔振裝置，能夠更好地抑制振動能量在系統(tǒng)中的傳遞[8]。

一般而言，氣囊隔振系統(tǒng)是一種具有非線性振動特性的隔振裝置[9]，可以將其力學特性按照實際需要進行理想設計，以滿足現實減振需求[10]。而含限位器的氣囊隔振裝置由于具有分段彈性特征，因此涉及到非線性動力學系統(tǒng)建模，多剛體動力學計算仿真和優(yōu)化等多學科大型分析計算問題[11]。文獻[12]對具有主動隔裝置的浮筏系統(tǒng)進行動力學建模，采用了一種新型手段分析了系統(tǒng)的隔振特性；文獻[11-13]則采用偽力法討論了帶有限位器的浮筏隔振系統(tǒng)的沖擊響應，分析了限位器參數對沖擊響應的影響；文獻[14]建立了多自由度彈性限位浮筏隔振系統(tǒng)的線性動力學模型，并通過人工神經網絡算法用于判別限位器之間存在最優(yōu)間隙；而文獻[15]則基于有限元方法研究了囊式空氣彈簧隔振器的隔振特性，并對艦用氣囊隔振器隔振特性進行了評估；文獻[16]通過考慮到筏體的剛體運動和彈性變形的耦合，討論了彈性浮筏隔振系統(tǒng)進行動力學建模并分析了其動力學特性。

以上研究主要針對浮筏隔振系統(tǒng)的線性問題開展研究工作，主要討論了系統(tǒng)的減振特性、沖擊響應、結構優(yōu)化等。本文重點研究含有限位器的船用隔振系統(tǒng)的非線性動力學模型，分析了該系統(tǒng)的非線性動力學特性和參數變化對系統(tǒng)動力學特性的影響。

1 氣囊隔振系統(tǒng)動力學模型

圖1所示為支承在氣囊上的旋轉機械系統(tǒng)示意圖，其中的浮筏和機械設備看作是一個質量單元，氣囊隔振系統(tǒng)的限位器安裝在基礎部位。旋轉部件的質量偏心所產生的離心力為該系統(tǒng)的主要激振力，設氣囊的總質量為m，轉子的偏心質量為me，偏心距為e，轉子的角速度為ω。

圖1 氣囊隔振系統(tǒng)模型Fig.1 The model of air-bag vibration isolation system

圖2 分段線性彈性力Fig.2 Piecewise linear elastic force

對上述系統(tǒng)本文主要考慮系統(tǒng)隨質心平動位移xO和繞質心的θ方向的運動，因此可以簡化為兩自由度系統(tǒng)。如果隔振器和限位器的彈性力為線性時，則系統(tǒng)的彈性恢復力具有分段線性特性，如圖2所示。

2 氣囊隔振系統(tǒng)運動方程

以氣囊未變形位置為坐標原點，則可知偏心質量的垂直方向上的位移為xO+esin（ωt+θ），水平方向上的位移為e-ecos（ωt+θ）。

設坐標xA，xB，分別為氣囊的變形，如圖3所示，則坐標轉換關系為

圖3 變形后的氣囊隔振系統(tǒng)Fig.3 Isolation system of deformed air-bag

設氣囊隔振系統(tǒng)所受的是線性阻尼，并只考慮到系統(tǒng)垂直振動方向的阻尼，則線性阻尼力，因此，系統(tǒng)的Rayleigh耗散函數可表示為

此時，具有Rayleigh耗散函數的Lagrange方程為

則采用Rayleigh耗散函數獲得Lagrange振動微分方程為

式中明顯具有非線性特性，其中包含了系統(tǒng)的結構參數和運動參數。其中δA和δB函數分別表示氣囊受到較大沖擊力時，限位器所產生的變形，

3 無量綱化方程

為使所研究的內容具有更廣泛的適用性，引入限位器間隙δ作為振動微分方程的特征長度，以δ、m和JO作為基本量綱，并為了簡化模型、方便計算暫不考慮限位器的影響，而對方程中各物理量進行無量綱化，為此引出如表1中所示的無量綱量。

表1 系統(tǒng)各物理量的量綱化處理Tab.1 Dimensionless processing of the system physical parameters

通過無量綱化后，得到振動微分方程為

振動微分方程式變形后為

由此可以寫成一階的狀態(tài)方程式，在此從略。

4 系統(tǒng)的非線性動力學特性

表2 系統(tǒng)各參數的取值Tab.2 Values of the system parameters

4.1 轉速對氣囊隔振系統(tǒng)的影響

式中具有sin（θ+τ）與cos（θ+τ）項，是典型的非線性函數，為此獲得方程的解析解及近似解顯得十分困難，本文采用數值方法進行求解。四階-五階Runge-Kutta算法通過4階方法提供候選解，5階方法控制誤差，是一種自適應步長（變步長）的常微分方程數值解法，其整體截斷誤差為（Δx）5。

圖4為采用45階變步長Runge-Kutta法進行數值求解所得的位移隨無量綱轉速的分岔圖，其中的無量綱位移O為經過充分衰減后得到的氣囊隔振系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應。從圖中可以看出，在低轉速下系統(tǒng)做準周期運動。隨著轉速的增大，系統(tǒng)進入短暫的周期狀態(tài)，并做周期3的運動。繼續(xù)增大轉速，系統(tǒng)則由周期3的狀態(tài)進入混沌運動狀態(tài)。進一步增大轉速，周期—準周期—周期—準周期—…，其中出現的周期態(tài)有周期7，周期8，周期5等。

圖4 穩(wěn)態(tài)響應轉速變化分岔圖Fig.4 The bifurcation diagram of steady-state response with the parameter Ω=2.11→4.23

圖5 Ω=2.224 9的準周期狀態(tài)：（a）位移響應；（b)）相位圖；（c）Poincaré截面Fig.5 The quasi periodic state when Ω=2.224 9:(a)Displacement response;(b)The phase orbits of vertical direction; (c)Poincaré section

圖5為Ω=2.224 9時的位移響應、相位圖和Poincaré截面圖，從圖中可以明顯看出Poincaré截面圖為一封閉曲線，可判斷運動時準周期運動。圖6是Ω=2.603 3時的運動狀態(tài)，可以觀察到截面圖上出現成片密集點，且具有層次結構，可判定運動處于混沌狀態(tài)。圖7為Ω=2.784 5時的運動情況，從中可見Poincaré截面中僅出現離散的三個孤立點，即周期3的運動，系統(tǒng)將處于周期運動狀態(tài)。

圖6 Ω=2.603 3的準周期狀態(tài)：（a）位移響應；（b)）相位圖；（c）Poincaré截面Fig.6 The quasi periodic state when Ω=2.603 3:(a)Displacement response;(b)The phase orbits of vertical direction; (c)Poincaré section

圖7 Ω=2.784 5的準周期狀態(tài)：（a）位移響應；（b)）相位圖；（c）Poincaré截面Fig.7 The quasi periodic state when Ω=2.784 5:(a)Displacement response;(b)The phase orbits of vertical direction; (c)Poincaré section

4.2 質量比對系統(tǒng)動力學特性的影響

上面考慮了無量綱轉速變化時對系統(tǒng)的影響，下面主要討論偏心質量比對氣囊隔振系統(tǒng)的影響。選取系統(tǒng)的轉速ω=1 500 r/min，考慮系統(tǒng)偏心質量變化范圍為2 000-8 000 kg的變化。圖8為Ω=3.173 4時，氣囊隔振系統(tǒng)隨質量比變化的分岔圖。從圖中可以看出當偏心量較小時系統(tǒng)處于準周期運動狀態(tài)，隨著偏心轉速的增大，系統(tǒng)相繼呈現出各種倍周期和準周期的非線性運動狀態(tài)；當偏心質量比較大時，系統(tǒng)將出現周期2的穩(wěn)態(tài)運動。與此同時，系統(tǒng)在該轉速下的振幅也隨著偏心質量比的增加而增加。

圖8 穩(wěn)態(tài)響應隨質量比變化的分岔圖：（a）M=0.007 142→0.010 0；（b）M=0.010 0→0.028 571Fig.8 The bifurcation diagram of steady-state response with the mass ratio change: (a)M=0.007 142→0.010 0;(b)M=0.010 0→0.028 571

5 結論

船舶在航行中由于受到多種復雜動載荷的作用，因此研究含限位器的氣囊隔振系統(tǒng)的動力學行為具有重要的理論意義和工程實用價值。本文通過采用帶間隙的線性彈簧來模擬氣囊的變形，考慮了質量系統(tǒng)垂直和偏轉兩個方向上的運動，基于分析力學中Lagrange方程，建立了具有限位器的大變形氣囊隔振系統(tǒng)的非線性動力學模型。采用45階變步長Runge-Kutta法對非線性運動方程進行數值求解，分析了氣囊隔振系統(tǒng)隨轉速和質量比變化時的非線性動力學特性。結果表明：在低轉速變化情況下，系統(tǒng)運動狀態(tài)以準周期運動為主；在中等速情況下，系統(tǒng)運動出現混沌態(tài)，且混沌情形保持在較寬的轉速變化范圍之內；在較高轉速時，系統(tǒng)重復顯現周期—準周期—周期—準周期—…的運動態(tài)，出現周期5，周期7，周期8等動力學特征。

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Nonlinear dynamics of the marine air-bag vibration isolation system

LIU Yuan-bo1,LI Ming2,HE Lin2
(1.Department of Mechanics,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China;2.Institute of Noise& Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

The air-bag vibration isolation system is widely used for suppressing the vibration of rotating machinery of a surface ship or submarine.However,when the ship is moving,this system may produce a large displacement and a nonlinear motion.In this paper,the motions of the air-bag vibration isolation system with a clearance are considered in the vertical and angular directions,and its mathematic model is developed based on the theory of analytical mechanics.Then its nonlinear dynamical behaviors are analyzed mainly by the numerical method,as well as the attention is paid to parametric effects of dynamic characteristics.The results show that there exists a quasi periodic motion at low speeds,and with increasing the rotating speed,the responses present a series of nonlinear phenomena such as periods 3,5,7,quasi periodic motion and the chaotic oscillations,etc.

air-bag vibration isolation;elastic constrain;piecewise linear;nonlinear dynamics

O322

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.11.012

1007-7294（2015）11-1385-08

2015-02-28

國家自然科學基金項目（11372245）；陜西省自然科學基金項目（2014JM1015）

劉淵博（1989-）男，博士研究生，E-mail：liuyuanb0@163.com；

李明（1963-）男，教授，博士生導師，E-mail：Limingnuaa@hotmail.com。