☉南京航空航天大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué) 葉智超

挖掘知識(shí)本質(zhì)，探索通性通法
——對(duì)因式分解法解一元二次方程的思考

☉南京航空航天大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué) 葉智超

方程可謂是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的核心內(nèi)容，解方程又是其重要內(nèi)容之一.它是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一種重要模型，蘊(yùn)含著化歸和模型的思想.它們對(duì)學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)具有普遍價(jià)值.一元二次方程是方程中的一種重要模型，對(duì)一元二次方程的解法的研究，也是筆者一直思考的問題.

一、問題提出

筆者拜讀了《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第5期中的《對(duì)談?wù)n堂教學(xué)中“邏輯鏈”與“思維鏈”的契合》及《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2012年第10期中的《因式分解的教育價(jià)值》兩篇文章之后，受益匪淺.但是文1在問題2預(yù)設(shè)4中提出：“學(xué)生掌握分解因式法解方程的基礎(chǔ)上，逼出‘配方法’.這是一個(gè)真切的問題情境，在分解因式法無效后，相信學(xué)生必欲解決而后快.為了克服含x的項(xiàng)無法合并的困難，通過配方，化歸為‘開平方法’勢(shì)所必然.教學(xué)中，要讓學(xué)生體會(huì)到‘配方法’是在分解因式法無效后，‘技術(shù)革新’的產(chǎn)物.”文2中指出：“……而解一元二次方程時(shí)，配方法、公式法是通法，直接開平方法、因式分解法都是基本方法……”

筆者在市區(qū)教研活動(dòng)中開設(shè)一節(jié)關(guān)于一元二次方程的解法的復(fù)習(xí)課后，有不少老師也提出類似的問題，認(rèn)為因式分解法解一元二次方程只適用于一些特殊的方程，如可運(yùn)用十字相乘法、提公因式、乘法公式的一元二次方程.基于此，筆者認(rèn)為上面兩文及一些老師的觀點(diǎn)有值得商榷之處，談點(diǎn)兒個(gè)人看法，不到之處還請(qǐng)各位同行批評(píng)指正.

根據(jù)筆者對(duì)各個(gè)版本教材中關(guān)于對(duì)一元二次方程解法課程內(nèi)容設(shè)置的研究，各版本的教材基本都是按照直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法的順序編排.全篇分為兩條主線.一是先以直接開平方法為主線貫穿配方法、公式法.首先讓學(xué)生感知用直接開平方法解形如x2＝n（n≥0）的一元二次方程；再研究如何解x2-10x+ 16＝0，從而引出配方法，轉(zhuǎn)化為用直接開平方法求解形如（x+m）2＝n（n≥0）的一元二次方程；最后將方程一般化，思考ax2+bx+c＝0（a≠0）的解法而得到公式法.配方法和公式法都是為了轉(zhuǎn)化為可用直接開平方法解的一元二次方程，配方法和公式法是手段，目標(biāo)是通過開平方達(dá)到降次的目的.二是再用因式分解法解一些一元二次方程.看似兩條主線自成體系毫無聯(lián)系，所以文1中重新編排授課順序，試圖找出這兩條主線之間的聯(lián)系，先講授因式分解法，在因式分解法無效后，通過配方，化歸為“開平方法”勢(shì)所必然.很多老師過分關(guān)注了直接開平方法、配方法和公式法三者之間的關(guān)系，卻忽視了因式分解法所蘊(yùn)含的巨大價(jià)值.

以上兩文中的觀點(diǎn)未從知識(shí)本身出發(fā)，深入地研究、高位地理解數(shù)學(xué)和教材，解方程（組）的智慧價(jià)值未得到應(yīng)有的彰顯.欲要體現(xiàn)出本節(jié)課的思想價(jià)值，必須深刻理解解方程的本質(zhì)，即轉(zhuǎn)化思想.目標(biāo)是將不熟悉的方程轉(zhuǎn)化為熟悉的方程，最終轉(zhuǎn)化為一元一次方程去解.解方程（組）的一般步驟主要為：復(fù)雜的、不熟悉的方程轉(zhuǎn)化為整式方程（組）（包含多元方程（組）和高次方程兩大類），再通過消元和降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程.而一元二次方程解法的核心思想必然是如何通過降次達(dá)到轉(zhuǎn)化為一元一次方程的目的.降次的方法在教材中只有兩種，分別是利用平方根的性質(zhì)和因式分解.筆者認(rèn)為直接開平方是降次的有效方法，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，配方法和公式法由此衍生，那么因式分解法不也可以達(dá)到降次的目的嗎？難道它只能解“一些特殊方程”嗎？配方法和公式法能否由因式分解法去推導(dǎo)呢？若能，顯然兩文中的觀點(diǎn)就值得商榷.為此，筆者做了如下設(shè)計(jì).

二、教材整合

建構(gòu)活動(dòng)1：認(rèn)識(shí)因式分解法解一元二次方程

（1）復(fù)習(xí)回顧二元一次方程組解法的核心思想和主要方法——轉(zhuǎn)化、消元.

（2）若ab＝0，則a＝0或b＝0，這是因式分解法降次的知識(shí)基礎(chǔ).

問題1：x（x-2）＝0和（x+3）（x-2）＝0各是什么樣的方程？你能嘗試求出這兩個(gè)方程的解嗎？

問題2：借助上述兩題的解決經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為要解一元二次方程的核心思想是什么？

問題3：你認(rèn)為要解一元二次方程的一般步驟是什么？

（3）嘗試解下列3個(gè)方程：①x2-4x=0；②x2-4=0；③x2-4x+4=0.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生類比二元一次方程組的解法，進(jìn)而得出一元二次方程的解法的一般步驟：（1）將一元二次方程右邊化為0；（2）將一元二次方程左邊因式分解化為兩個(gè)一次式的積；（3）根據(jù)“若ab=0，則a=0或b=0”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程去解.再通過3個(gè)實(shí)例進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)因式分解法所蘊(yùn)含的想想方法.

建構(gòu)活動(dòng)2：探索通過因式分解法推導(dǎo)一元二次方程的其他解法——配方法和公式法

配方法的推導(dǎo)如下所示.

（1）用因式分解法解方程：

①x2-4=0；②（x-2）2-16=0；③（x-5）2-3=0.

（2）①在上題的基礎(chǔ)上，思考如何解方程：x2-4x+4-16=0和x2-10x+25-3=0.

②方程（x-3）2-16=0與x2-4x-12=0有什么關(guān)系？

③嘗試將方程x2-4x-12=0轉(zhuǎn)化為（x+m）2-n=0（n≥0）的形式.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生初步感受通過配方后，再利用平方差公式化為兩個(gè)一次式的積，從而解一元二次方程.

（3）想一想，如何用因式分解法解x2-4x-5=0呢？

解：方程左邊配方，得x2-2·x·2+22-5-22=0.

即（x-2）2-9=0.

所以（x-2+3）（x-2-3）=0.

即（x+1）（x-5）=0.

所以x+1=0或x-5=0.

原方程的解是x1=-1，x2=5.

故配方法解一元二次方程自然不是在分解因式法無效后“技術(shù)革新”的產(chǎn)物.

（4）x2-4x+2=0和x2-6x-16=0你還會(huì)解嗎？

（5）解方程：x2-2x+2=0.

解：方程左邊配方，得x2-2·x·1+12+2-12=0.

即（x-1）2+1=0.

由（x-1）2≥0，得（x-1）2+1＞0.

則x2-2x+2=0無解.

顯然不是所有的一元二次方程都是有解的，那么一元二次方程滿足什么條件才會(huì)有解呢？我們繼續(xù)往下探索.

公式法的推導(dǎo)如下所示.

你能解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）嗎？

當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，并且方程的解與每項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，可以直接通過x1=根.

三、結(jié)束語

筆者始終在因式分解法這個(gè)大前提下，產(chǎn)生解一元二次方程的配方法、求根公式法.即將因式分解法作為解一元二次方程的通性通法，從另一個(gè)視角一線穿成了整個(gè)一元二次方程的三種重要解法.繼續(xù)拓展，可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：解高次方程，就是要通過因式分解法，將高次方程降為低次方程（降次）來解（與解多元方程組需消元遙相呼應(yīng)），此時(shí)再讓學(xué)生解方程（x-2）（x+3）（x-5）=0或讓學(xué)生探索不等式（組）的解法就不是什么難事了.因式分解法也是解一元二次方程的通性通法，只不過教材中只是用開平方法這條主線去編寫而已.運(yùn)用上述思想方法，去整體把握方向，去整體構(gòu)造解法，讓學(xué)生尋求解方程（組）、解不等式（組）的路徑和方法，使學(xué)生終生受益！

只有我們?cè)诮虒W(xué)中，高位理解數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)教學(xué)，高度把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才可能在理性中得到張揚(yáng).

1.連春興、魏韌.對(duì)談?wù)n堂教學(xué)中“邏輯鏈”與“思維鏈”的契合［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（5）.

2.三石.因式分解的教育價(jià)值——揚(yáng)州卷第19題（2）［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（10）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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