《義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》指出，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。設(shè)計、組織好每一次數(shù)學(xué)活動是幫助學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的關(guān)鍵。在這一過程中，教師要做的就是真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者，學(xué)生活動經(jīng)驗的開發(fā)者、促進(jìn)者。

《圓錐的體積》是教科書六年級下冊的內(nèi)容，在本課教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓錐的特征以及圓柱體積的計算方法。因此，依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)狀，執(zhí)教者試圖通過猜想、驗證等數(shù)學(xué)活動過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等底等高的圓柱與圓錐之間的關(guān)系，最終推導(dǎo)出圓錐的體積公式。

【案例】兩次教學(xué)過程的對比與分析

在教學(xué)展開前，我校同年級的兩位教師均設(shè)計了前置性學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生先學(xué)，具體內(nèi)容如下：

在此基礎(chǔ)上，兩位教師都沿著“猜想—驗證”的主線展開數(shù)學(xué)活動，但因驗證過程的不同，收到了迥異的教學(xué)效果。

【A教師課堂教學(xué)片段回放】

（一）交流課前猜想情況

師拿著學(xué)生的學(xué)具（等底等高的圓柱和圓錐）問：在做實驗之前，你猜想圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？

生1：我認(rèn)為是1/2。

生2：我認(rèn)為是1/3。

（二）交流課前驗證情況

師：在前置作業(yè)中，老師要求“在圓錐形的容器中裝滿水，再倒入圓柱形的容器中”，通過倒水實驗?zāi)阌惺裁窗l(fā)現(xiàn)呢？

生1：我發(fā)現(xiàn)在圓錐形的容器中裝滿水，往圓柱形的容器中倒了3次正好倒?jié)M。

師：（滿意地點點頭）是的。

生2：我在圓錐形容器中裝滿水，往圓柱形的容器中倒了3次沒有倒?jié)M，再加了一些才倒?jié)M的。

師：（略皺眉頭）你在操作的時候肯定沒有很注意，所以有了些小誤差，應(yīng)該是倒3次正好倒?jié)M。

師：還有誰要說說自己的發(fā)現(xiàn)？

全班沉默不語。

（三）歸納結(jié)論：

師：通過課前實驗，你現(xiàn)在認(rèn)為圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？（大部分同學(xué)認(rèn)為是1/3，也有同學(xué)認(rèn)為是1/4，師相機(jī)板書：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3）。

教學(xué)效果分析：以上教學(xué)片段中，在歸納結(jié)論時，大部分學(xué)生“認(rèn)為圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3”。得出這樣的結(jié)論，也許有些學(xué)生對于兩者的關(guān)系已經(jīng)有了清晰的認(rèn)知，但也不排除一部分學(xué)生是被概念化地告知以及對于強(qiáng)勢的認(rèn)同。除此以外，一部分同學(xué)由于受操作實際結(jié)果的影響，認(rèn)為“圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體的1/4”。綜觀A教師的教學(xué)，因為課前布置了前置任務(wù)，所以課堂上僅僅是對前置作業(yè)的交流，走了一個形式化的過程，并沒有具體關(guān)注到學(xué)生已有的操作實際，更沒有體現(xiàn)驗證過程的科學(xué)性，學(xué)生這樣的行為操作是低層次的，他們很難從這樣的行為操作過程中真正領(lǐng)悟知識的本質(zhì)。

【B教師的課堂教學(xué)片段回放】

（一）感知“等底等高”

談話：請同學(xué)們比一比課前準(zhǔn)備的圓柱和圓錐，它們之間等底等高嗎？你是怎么比的？請一位學(xué)生拿著學(xué)具上臺展示比的過程。

明確：像這樣底和高分別相等的圓柱和圓錐，我們叫做等底等高。

（二）實驗明理

1﹒第一次驗證

（1）師：課前，在做實驗之前，你猜想圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？

生1：我認(rèn)為是1/3。

生2：我認(rèn)為是1/2。

（2）師：課前，同學(xué)們在“圓錐形的容器中裝滿水，再倒入圓柱形的容器中”，在做倒水實驗時你覺得要注意什么？

生1：裝水要裝滿，要裝到和圓錐的邊口齊。

生2：倒水的時候要小心，不能潑灑。

師進(jìn)一步明確了操作要點。

師：通過倒水實驗?zāi)阌惺裁窗l(fā)現(xiàn)呢？

生1：我發(fā)現(xiàn)圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

生2：我發(fā)現(xiàn)圓錐的體積是圓柱體積的1/3。

生3：我發(fā)現(xiàn)在圓錐形的容器中裝滿水，往圓柱形的容器中倒了3次沒有倒?jié)M，再加了一些才倒?jié)M的，圓柱的體積好像是圓錐體積的4倍。

（3）師：請每位同學(xué)拿出等底等高的圓柱和圓錐，根據(jù)剛才倒水實驗的注意要點，再進(jìn)行倒水小實驗。

（4）師：通過現(xiàn)在的倒水實驗，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？（問剛才的生3）

生3：昨天我做倒水實驗的時候不夠細(xì)致，現(xiàn)在我按照老師說的注意點再做倒水實驗，也覺得圓柱的體積應(yīng)該是圓錐體積的3倍。

2﹒第二次驗證

（1）師拿出準(zhǔn)備的相對較大的等底等高的圓柱與圓錐的教具，讓學(xué)生上臺比一比，感受圓柱圓錐是否等底等高。

（2）師：你猜想老師準(zhǔn)備的這個圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之幾？（學(xué)生在下面紛紛回答說是1/3）

（3）請一位學(xué)生上臺做倒水實驗，讓全班學(xué)生看到操作結(jié)果“圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3”。

3﹒第三次驗證

（1）師（拿出學(xué)生第一次驗證用的圓柱和第二次驗證用的圓錐）：它們等底等高嗎？（學(xué)生齊說“不”）

（2）師：圓錐的體積是圓柱體積的1/3嗎？（學(xué)生齊說“不是”）

（3）歸納結(jié)論：圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3。

教學(xué)效果分析：以上教學(xué)片段中，學(xué)生在課前進(jìn)行倒水實驗的過程中，也出現(xiàn)了“在圓錐形容器中裝滿水，往圓柱形容器中倒了3次沒有倒?jié)M，再加了一些才倒?jié)M的”現(xiàn)象。但B老師教學(xué)時不僅不回避學(xué)生實際操作時暴露出的問題，還特別放大了有些學(xué)生的錯誤，目的就是讓全班同學(xué)都體會到行為操作的精準(zhǔn)會影響到最后的結(jié)論。另外，老師舍得花時間讓學(xué)生經(jīng)歷三次層層遞進(jìn)的驗證活動過程，通過行為操作、數(shù)學(xué)思維，學(xué)生真正在探索與交流中理解“圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3”。在這樣的數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生行為操作的技能是提升的，認(rèn)知是清晰的，理解是深刻的。

【延伸思考】數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗獲得的基本路徑

王林先生在《我國目前數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗研究綜述》一文中指出：“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是學(xué)生個體在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)上獲得的經(jīng)驗，是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程與結(jié)果的有機(jī)統(tǒng)一體，既包括經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動所獲得的經(jīng)驗本身，也包括經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動獲得經(jīng)驗的過程?！币虼?，數(shù)學(xué)活動的開展是否有效、充分，直接影響活動經(jīng)驗積累的質(zhì)量。

第一，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得，應(yīng)讓學(xué)生的行為操作由粗略走向精細(xì)。

本數(shù)學(xué)活動環(huán)節(jié)的設(shè)計，依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，讓學(xué)生經(jīng)歷從“圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的1/2或者1/3”這一猜想到驗證的過程。但學(xué)生常常受到認(rèn)知水平和操作能力的限制，如果他們在沒有教師指導(dǎo)的前提下開展操作活動，很可能會因操作過程的粗糙，導(dǎo)致操作結(jié)果不夠精確，影響數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性。在A教師課堂的師生交流中可以看到，學(xué)生在課前做倒水實驗時，之所以對于歸納出的“圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的1/3”的結(jié)論不信服，是因為在裝水、倒水的過程中沒有注意操作要點。而B教師就關(guān)注到了這個細(xì)節(jié)。由此可見，操作過程中教師應(yīng)該幫助學(xué)生糾正“大概、也許、差不多”這樣的粗略操作行為，讓學(xué)生獲得不同活動階段的經(jīng)驗內(nèi)容，促使他們從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”。

第二，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，應(yīng)讓學(xué)生的理解由淺表走向深刻。

同樣是由猜想到驗證的數(shù)學(xué)活動過程，A教師通過課前學(xué)生的一次自主驗證就歸納出結(jié)論，這個驗證過程是不充分、不科學(xué)的，因為歸納思想的認(rèn)識依據(jù)在于同類事物的各種特殊情況中蘊藏著同一性和相似性，因此教學(xué)中僅憑一個特殊事例一般是不能推出結(jié)論的。而B教師卻讓學(xué)生分別使用“等底等高的小的圓柱、圓錐——等底等高的大的圓柱、圓錐——非等底等高的圓柱與圓錐”進(jìn)行驗證，學(xué)生經(jīng)歷了3次驗證過程。在這個過程中，教師組織學(xué)生對參與的數(shù)學(xué)活動進(jìn)行了反思，通過學(xué)生的不斷自我領(lǐng)悟，將原先較低層次的活動經(jīng)驗上升到后來的更高水平，逐步生成新的經(jīng)驗。正是經(jīng)歷了這樣的一個數(shù)學(xué)活動過程，學(xué)生對于結(jié)論的理解才更加深刻。

（楊穎芳，無錫市前洲中心小學(xué)，214000）

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