☉福建省廈門第一中學(xué) 王淼生

擁抱新年感恩良師*
——編擬、賞析與年份相關(guān)試題

☉福建省廈門第一中學(xué) 王淼生

寒暑交迭，萬(wàn)象更新.碩果累累的2014年悄然離去，滿懷希望的2015年即將降臨.為了感恩心中的良師益友——《中學(xué)數(shù)學(xué)》，作為貴刊忠實(shí)的讀者、作者，想用自己獨(dú)特的方式編擬四道與年份相關(guān)且集娛樂性、趣味性、知識(shí)性及數(shù)學(xué)文化于一體的不等式試題.讓我們?cè)谄肺稊?shù)學(xué)的博大精深、感受數(shù)學(xué)的奧妙無(wú)窮、欣賞數(shù)學(xué)的和諧之美中擁抱新年！同時(shí)恭祝貴刊新年紅紅火火！萬(wàn)事如意！

一、編擬試題及解答

例1求滿足以下條件時(shí)（x-2012）2+（y-2014）2的最小值：

（1）2016（x-1）2015+2014（x-1）2013+2012（x-1）2011+ 2010=0；

（2）2016（1-y）2015+2014（1-y）2013+2012（1-y）2011+ 2010=0.

解析：構(gòu)造函數(shù)f（t）=2016t2015+2014t2013+2012t2011+ 2010.

由（1）、（2）便知f（x-1）=f（1-y），注意到函數(shù)f（t）為增函數(shù)，據(jù)此可得x-1=1-y?x+y=2.

由基本不等式a2+b2≥2ab的變式a2+b2≥可得

解析：無(wú)論是老教材還是新課標(biāo)教材，無(wú)論是人教版還是其他版本教材，都有這樣一道著名的例題，也就是我們常說(shuō)的糖水不等式，即

二、賞析試題及感悟

1.上述試題的淵源

客觀地講，上述四道試題難度較大，不亞于全國(guó)聯(lián)賽試題，甚至與國(guó)際奧賽試題難度相當(dāng).咋一看無(wú)從入手！但從上述構(gòu)思及解答過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)：破解這些高難度不等式試題所采用的策略和工具都是些“草根”，如基本不等式、均值不等式、教科書例題等.這些試題不僅與年份相關(guān)，而且結(jié)構(gòu)優(yōu)雅、對(duì)稱、和諧，讓人在聆聽新年鐘聲敲響之際，同時(shí)享受數(shù)學(xué)精神大餐，讓人賞心悅目、心曠神怡.

其實(shí)這些試題并非空穴來(lái)風(fēng)、從天而降，而是有源之水、有本之木.

盡管我國(guó)對(duì)構(gòu)造法研究的時(shí)間不長(zhǎng)，相應(yīng)的構(gòu)造法方面的論著也較少，但可喜的是近年來(lái)發(fā)展迅猛.新課標(biāo)教材中明確涉及構(gòu)造法，近年來(lái)的高考、競(jìng)賽中處處滲透構(gòu)造法，尤其構(gòu)造函數(shù)、圖形（如文1、文2）已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中一道靚麗的風(fēng)景線！構(gòu)造法是一種神奇的解決問(wèn)題的策略與方法.構(gòu)造法沒有固定的程序與套路，需要強(qiáng)烈的構(gòu)造意識(shí)及厚實(shí)的基本功力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、獨(dú)特性及創(chuàng)造性有著不可替代的作用，常常讓人豁然開朗、拍案叫絕.

例2的靈感來(lái)自著名的糖水不等式.糖水不等式是一個(gè)神奇的不等式，不論在不等式，還是在幾何（如文3）、三角、函數(shù)等方面都有廣泛應(yīng)用.更為有趣的是糖水不等式在建筑設(shè)計(jì)、芭蕾舞造型、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、軍事斗爭(zhēng)等方面發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用.

基本不等式：a2+b2≥2ab的本源是在x2≥0中令x=a-b而得，因此我們還可以令，……得到一系列結(jié)論：……（如文4）.這些結(jié)論看似簡(jiǎn)單，甚至不屑一顧，其實(shí)功能強(qiáng)大！例3正是借助這些結(jié)論編擬而來(lái).

2.一點(diǎn)感悟

上述四道試題的淵源說(shuō)明不少試題是這樣編擬命制出來(lái)的：依據(jù)教科書的定理、性質(zhì)及結(jié)論的變形、引申，或源自教科書上的例題、習(xí)題的變式，類比歸納，或利用著名試題（如經(jīng)典高考試題、全國(guó)聯(lián)賽試題、國(guó)際奧林匹克試題等）進(jìn)行改編、拓展.比如以下四道例題.

例6已知a＞1，b＞1，c＞1，求證：

1.王淼生.構(gòu)造長(zhǎng)方體巧證不等式［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師刊），2012（5）.

2.王淼生.妙用三角形基本性質(zhì)巧解競(jìng)賽試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（3）.

3.王淼生.糖水不等式的精彩演繹［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（6）.

4.王淼生.數(shù)學(xué)美本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（3）.

5.王淼生.追求簡(jiǎn)捷是數(shù)學(xué)教師永恒的主題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（6）.

6.王淼生.運(yùn)用均值不等式的靈魂在于湊配［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（6）.

7.王淼生.例談運(yùn)用均值不等式的方法與策略［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師刊），2013（2）.

8.王淼生.追尋數(shù)學(xué)問(wèn)題2080的本來(lái)面目［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（11）.

注：本文系全國(guó)教育科學(xué)規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：GOA107017）“小學(xué)生數(shù)感的發(fā)展與特征研究及課程設(shè)計(jì)”；福建省“十二五”規(guī)劃2013年度課題（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJKXB13—083）“優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的魅力數(shù)學(xué)課堂模式研究”及廈門市2013年第三批課改課題（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：Z3042）“數(shù)學(xué)構(gòu)造思想方法優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的實(shí)踐研究”的階段性成果.