☉湖北省孝感高級中學(xué) 姚繼元

巧用三面角求二面角

☉湖北省孝感高級中學(xué) 姚繼元

二面角是立體幾何的重要內(nèi)容，是歷年各省份高考的重點，然而我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中掌握的情況并不理想.幾何法雖然很直觀但是二面角的平面角很難作，而用向量法運算量較大且在判斷法向量的方向時容易出錯.現(xiàn)在有一種較為簡潔、易操作的方法.

定理：如圖1，空間中有從O點出發(fā)的三條射線OA、OB、OC（OA、OB、OC不共面），∠AOC=α，∠BOC= β，∠AOB=γ，二面角A-OC-B為θ（注：由三個面構(gòu)成的多面角稱為三面角，圖1中的三面角可記作∠O-ABC），則

圖1

證明：在面AOC內(nèi)作AD⊥OC交OC于D，在面BOC內(nèi)，作DE⊥OC交OB于E.

則∠ADE即為二面角A-OC-B的平面角，即∠ACB= θ.設(shè)OD=a.

上述定理在實際解題中有廣泛的應(yīng)用，下面我們通過幾個例子來看一看.

一、定理的正用

例1（2013年高考全國大綱版理科第19題）如圖2，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是等邊三角形.

（1）證明：PB⊥CD；

（2）求二面角A-PD-C的大小.

分析：本題中的二面角為鈍角二面角，使用三垂線定理作平面角主要適合二面角為銳角的情況，而本題建立坐標系也不太容易，此時使用定理來解決問題就得心應(yīng)手.

圖2

解：（1）略.

（2）設(shè)AB=1.由（1）知CD⊥PD.

二、定理的逆用

例2（2013年高考浙江卷理科第20題）如圖3，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.

（1）證明：PQ∥平面BCD；

（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小.

分析：本題為已知二面角求其他角，逆用定理即可.

解：（1）略.

圖3

三、綜合運用

例3（2014年高考遼寧卷理科第19題）如圖4，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點.

（1）求證：EF⊥BC；

（2）求二面角E-BF-C的正弦值.

解：（1）略.

（2）由△ABC和△BCD所在平面互相垂直，得二面角A-BC-D為90°的二面角.

∠ACB=∠DCB=30°.

利用公式，有cos∠ACD-cos∠ACB·cos∠DCB=0（定理的逆用），則cos∠ACD=

圖4

從上面的幾個例題我們不難發(fā)現(xiàn)：定理在處理二面角問題時思路比較簡單，既避免了作二面角的平面角，又可以很快地算出具體結(jié)果.當然，我們對上述定理加以挖掘，也可以處理線面角和點面距等問題.

1.人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修2.北京：人民教育出版社，2007.

2.葉國祥.三面角的余弦定理及其應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1993（6）.