☉山東省寧陽(yáng)第一中學(xué) 陳新偉

一道數(shù)學(xué)預(yù)賽試題的簡(jiǎn)解及高考鏈接

☉山東省寧陽(yáng)第一中學(xué) 陳新偉

題目（2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽第13題）如圖1，設(shè)點(diǎn)O為橢圓的中心，過(guò)點(diǎn)A作長(zhǎng)軸的垂線，垂足為M，連接AO并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)B，連接BM并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C，問(wèn)：是否存在橢圓，使得BA⊥CA？

點(diǎn)評(píng)：賽題是對(duì)橢圓一般性質(zhì)的探索，主要考查直線與直線、直線與橢圓的位置關(guān)系，題目涉及四點(diǎn)（點(diǎn)A、B、M、C，其中點(diǎn)A為“制高點(diǎn)”，其余點(diǎn)伴隨產(chǎn)生，點(diǎn)O為“關(guān)鍵點(diǎn)”，是橢圓的中心，也是弦AB的中點(diǎn)）、四直線、一曲線（橢圓），因題目針對(duì)一般性的探索，解答均為字母運(yùn)算，一般方法運(yùn)算量較大，學(xué)生不易順利解答.

圖1

一、試題簡(jiǎn)解

簡(jiǎn)解：假設(shè)存在滿足條件的橢圓，使得BA⊥CA，不妨設(shè)橢圓的方程為y2），BC的中點(diǎn)為P（xP，yP），則

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)解緊緊抓住“制高點(diǎn)A”和“關(guān)鍵點(diǎn)O”，利用“點(diǎn)差法”，設(shè)而不求，探索直線BC、AC、AB斜率之間的關(guān)系，尋求結(jié)論成立的充要條件，大大減少了計(jì)算量，并且得到了一些相關(guān)結(jié)論.

二、結(jié)論呈現(xiàn)

結(jié)論1在橢圓的內(nèi)接三角形中，若三角形一邊過(guò)橢圓的中心且不與坐標(biāo)軸重合，則另外兩邊的斜率之積為定值e2-1.

注：由簡(jiǎn)解中的（*）式可得.

結(jié)論2設(shè)AB為過(guò)橢圓中心不與坐標(biāo)軸重合的任意一條弦，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為M，連接BM交橢圓于點(diǎn)C，則kAB·kAC=2（e2-1）.

結(jié)論3設(shè)AB為過(guò)橢圓中心不與坐標(biāo)軸重合的任意一條弦，過(guò)點(diǎn)A向橢圓的長(zhǎng)軸作垂線，垂足為M，連接BM與橢圓交于點(diǎn)C，則BA⊥CA的充要條件是橢圓的離心率

注：賽題簡(jiǎn)解過(guò)程可逆.

結(jié)論4設(shè)AB為過(guò)橢圓中心不與坐標(biāo)軸重合的任意一條弦，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線AC交橢圓于點(diǎn)C，連接BC交x軸于M，若直線AM不與y軸平行，則kBC=（1-2e2）kAM.

簡(jiǎn)證：如圖2，設(shè)直線AB的斜率為k，A（x1，y1），由題意知B（-x1， -y1）由結(jié)論1，kBC·kAC= e2-1，故kBC=k（1-e2），所以直線BC的方程為y+y1=k（1-e2）（x+x1），則故所以kBC=（1-2e2）kAM.

圖2

三、高考鏈接

例1（2011年全國(guó)高考江蘇卷理科第18題）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

圖3

（Ⅰ）當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；

（Ⅱ）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

（Ⅲ）對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB.

例2（2014年全國(guó)高考山東卷文科第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的離心率為直線y=x被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為

（Ⅰ）求橢圓C的方程.

（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是橢圓C的頂點(diǎn)），點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn).

①設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值；

②求△OMN面積的最大值.

（由結(jié)論4易得）.