☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 司建鋒

探究命題本質(zhì) 賞析命題特色
——一道導(dǎo)數(shù)壓軸題評(píng)析

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 司建鋒

縱觀近年全國(guó)各省市高考導(dǎo)數(shù)試題的命制，大多以壓軸題或把關(guān)題的形式出現(xiàn)，對(duì)高考的選拔功能起到良好的輔助作用.北京高考命題自2010年實(shí)行新課標(biāo)以來(lái)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在2014年文科命題中首次以壓軸題的身份出現(xiàn)，由題目本身所在的位置決定了題目的難度，因此，此題的難度有所加強(qiáng)，本文以2015年北京一道模擬題為例，就其命題思想及相應(yīng)的解題策略進(jìn)行剖析.

題目 （2015年北京海淀一模文20）已知函數(shù)f（x）=

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在兩條直線y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若｛x|f（x）≤0｝?（0，1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題在高考中的考查主要是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值、零點(diǎn)及不等式證明等，核心是函數(shù)最值問(wèn)題的求解，其中所涉及的不等式的證明及不等式恒成立問(wèn)題，均可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題的求解.本題以導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題為背景，將問(wèn)題進(jìn)行創(chuàng)新考查，其命題特點(diǎn)主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面.

一、基礎(chǔ)與能力并重

第（1）問(wèn)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題，體現(xiàn)了高考命題即注重基礎(chǔ)又注重能力的考查要求.

當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）.當(dāng)a＞0時(shí)，令f（′x）=0，得

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x 0，1 a（ ） 1a 1 a，+∞（）f′（x） - 0 + f（x） ↘ 極小值 ↗

評(píng)析：對(duì)基礎(chǔ)問(wèn)題的解答，要注意解題的規(guī)范，勿忘函數(shù)的定義域.對(duì)參數(shù)的討論要不重不漏，當(dāng)函數(shù)含有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能寫成并集，要用“，”分隔寫出.注意f′（x）=0是函數(shù)f（x）取得極值的必要不充分條件.在某區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0，是f（x）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件等.

二、注重解題過(guò)程的前后關(guān)聯(lián)

第（2）問(wèn)以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為載體，題干敘述簡(jiǎn)潔，設(shè)問(wèn)方式精巧，對(duì)考生提出了更高的能力要求，且第（2）問(wèn)的解答需要充分利用題目條件，能有效考查考生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握及靈活應(yīng)用的程度.

（2）因?yàn)榇嬖趦蓷l直線y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲線y=f（x）的切線，所以f′（x）=a至少有兩個(gè)不相等的正實(shí)根.

2解得a＞4.

當(dāng)a＞4時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））處的切線分別為y=ax+f（x1）-ax1，y=ax+f（x2）-ax2.

令F（x）=f（x）-ax（x＞0）.

由F′（x）=f′（x）-a=0，得x=x1，x=x2（不妨設(shè)x1＜x2），且當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在［x1，x2］上是單調(diào)函數(shù)，所以F（x1）≠F（x2）.

所以y=ax+f（x1）-ax1，y=ax+f（x2）-ax2是曲線y=f（x）的兩條不同的切線.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（4，+∞）.

評(píng)析：本問(wèn)在求解中部分同學(xué)忽視了對(duì)兩直線平行充要條件的檢驗(yàn)，即兩直線平行斜率相等，但截距不等.在證明截距不等過(guò)程中采用構(gòu)造新函數(shù)法，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問(wèn)題，化生為熟解題.本題的求解中要注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解題過(guò)程的前后關(guān)聯(lián)，如：將判斷截距不等問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)后，將其轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題；另外在判斷兩直線截距不相等的過(guò)程中：“存在兩條直線y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲線y=f（x）的切線，所以f′（x）=a至少有兩個(gè)不相等的正實(shí)根”，令F（x）=f（x）-ax（x＞0），其導(dǎo)函數(shù)F′（x）=f′（x）-a=0的零點(diǎn)問(wèn)題與上述“f′（x）=a至少有兩個(gè)不相等的正實(shí)根”相互關(guān)聯(lián)，因此F′（x）=0必有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1≠x2，從而得F（x）為單調(diào)函數(shù)，問(wèn)題得解.

三、注重解題思維的拓展

考試題目千變?nèi)f化，?？汲Ｐ?，解題中只要把握問(wèn)題的本質(zhì)，善于挖掘問(wèn)題的關(guān)聯(lián)，全面審視問(wèn)題的條件，弄清條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，合理地將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，化生為熟，方可以不變應(yīng)萬(wàn)變.

（3）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是（0，+∞）內(nèi)的減函數(shù).

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為｛a|a＞0｝.

評(píng)析：充分挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)，本題屬于開(kāi)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.通常情況下，若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；若f（x）在其定義域上不單調(diào)：

①當(dāng)方程f′（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f（x）有極大值f極大值（x）或極小值f極小值（x）：若f極大值（x）＜0或f極小值（x）＞0，則沒(méi)有零點(diǎn).若f極大值（x）=0或f極小值（x）=0，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；若f極大值（x）＞0或f極小值（x）＜0，則有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)方程f′（x）=0有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且函數(shù)f（x）有極大值：若f極大值（x）·f極小值（x）＞0，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；若f極大值（x）=0或f極小值（x）=0，則有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；若則有三個(gè)零點(diǎn).

若所給的是閉區(qū)間，零點(diǎn)既可以在區(qū)間內(nèi)取得，也可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，解題中可結(jié)合零點(diǎn)的存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f（a）·f（b）＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0，x=x0即為方程f（x）=0的根.

若所給的區(qū)間為開(kāi)區(qū)間，零點(diǎn)的存在不僅依賴極值的正負(fù)，還應(yīng)考慮函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)值的正負(fù)，若區(qū)間端點(diǎn)不在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)，可考慮選取特殊值法判斷.本題在判斷左端點(diǎn)值正負(fù)時(shí)，可深挖隱含條件：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），故無(wú)論較小零點(diǎn)是否在定義域范圍內(nèi)，均有f（x）＜0，故使問(wèn)題的求解過(guò)程得以簡(jiǎn)化.另外本問(wèn)求解中考生易出現(xiàn)對(duì)而不全的地方有兩點(diǎn)：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域范圍內(nèi)單調(diào)遞減，｛x|f（x）≤0｝?（0，1）是否成立，則可選擇（0，1）以外的特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證；忽視對(duì)空集的討論，即空集是任何集合的子集.

總之，對(duì)高考導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的解答，尤其是導(dǎo)數(shù)壓軸題要堅(jiān)持：基礎(chǔ)與能力兩手準(zhǔn)備，注重與傳統(tǒng)考試熱點(diǎn)的有機(jī)整合，并適時(shí)引入新概念、創(chuàng)設(shè)新情境、滲透新創(chuàng)意，基礎(chǔ)為本、能力立意的基調(diào)鮮明，逐步形成含參性、逆向性、構(gòu)造性、探究性、發(fā)展性等五大命題規(guī)律與創(chuàng)新特色.F