☉湖北省武漢二中高三1班 葉 千

N維球體體積的麥克斯韋分布率推導(dǎo)

☉湖北省武漢二中高三1班 葉 千

麥克斯韋分布率是熱平衡狀態(tài)下的速度分布函數(shù)，本文從速度空間及概率的角度給出一種較為簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)推導(dǎo).

其由無(wú)數(shù)個(gè)體元構(gòu)成，其體元形式為vx～vx+dvx；vy～vy+dvy；vz～vz+dvz，于熱平衡狀態(tài)下其概率表達(dá)式Fm（v）dv= Fm（vx，vy，vz）dvxdvydvz.

Fm（v）=Fm（vx，vy，vz）為麥克斯韋分布函數(shù).

麥克斯韋假設(shè)Ⅰ 熱平衡狀態(tài)下速度分布函數(shù)彼此獨(dú)立.

Fm（vx，vy，vz）dvxdvydvz=Fm（vx）dvx·Fm（vy）dvy·Fm（vz）dvz，F(xiàn)m（vx，vy，vz）=Fm（vx）·Fm（vy）·Fm（vz）（1）.

麥克斯韋假設(shè)Ⅱ 熱平衡狀態(tài)下各向同性.

即Fm（vi），i=x、y、z是相同的分布函數(shù)，可稱(chēng)為麥克斯韋分布，引入v～v+dv間的球殼，概率關(guān)系式有：

Fm（vx，vy，vz）4πv2·dv=fm（v）dv，fm（v）=4πv2·Fm（vx，vy，vz） （2）.

對(duì)（1）式取對(duì)數(shù)，lnFm（vx，vy，vz）=lnFm（vx）+lnFm（vy）+ lnFm（vz）=lnFm（v）.

（3）式即為麥克斯韋分布率，我們通常利用其去研究推導(dǎo)某些物理量的統(tǒng)計(jì)平均.

本文通過(guò)對(duì)麥克斯韋分布率的推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)它還可過(guò)渡到數(shù)學(xué)的N維空間研究中，我們由此巧妙地推導(dǎo)出N維球體的面積及體積公式.

二維中S2（R）=2πR，V2（R）=πR2；

不妨設(shè)SN（R）=αN·RN-1.全空間概率積分為1.

此處將R改為了V，因?yàn)槭撬俣瓤臻g將N改為N+2，同樣成立，有

分兩種情況求αN.

回歸SN（R）、VN（R），知：

由上述推導(dǎo)，我們獲得了N維球體的面積及體積公式，本文對(duì)我們學(xué)習(xí)研究N維空間給出了一種新思路.

1.趙凱華，羅蔚茵.熱學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1998.

2.馬文蔚，周雨青.物理學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，1999.A