劉學(xué)鋒, 刁慶雷, 孫寶佃, 李國(guó)利, 曾文沖

(1.中國(guó)石油大學(xué)理學(xué)院, 山東 青島 266580; 2.中國(guó)石油集團(tuán)測(cè)井有限公司油氣評(píng)價(jià)中心, 陜西 西安 710077; 3.中國(guó)石化勝利油田, 山東 東營(yíng) 257001)

0 引 言

巖石物理數(shù)值模擬已經(jīng)成為巖石物理研究的重要手段之一[1-2]。與巖石物理實(shí)驗(yàn)相比,數(shù)值模擬有助于在微觀尺度上定量研究各種因素對(duì)巖石物理屬性的影響[3],為改進(jìn)現(xiàn)有巖石物理模型或建立新的模型提供理論依據(jù)。

三維數(shù)字巖心在孔隙尺度上刻畫(huà)了巖石的微觀結(jié)構(gòu),是巖心的三維數(shù)字化圖像,已經(jīng)成為巖石物理數(shù)值模擬的基礎(chǔ)。構(gòu)建三維數(shù)字巖心的常用方法可分為2大類:三維物理成像[4-5]和基于二維圖像的重建算法[6]。重建算法又分為過(guò)程法[7]和隨機(jī)法[8-9]。過(guò)程法結(jié)合巖石的顆粒粒徑分布,通過(guò)對(duì)沉積類巖石形成過(guò)程的模擬建立數(shù)字巖心。在成巖作用的模擬中,考慮了石英膠結(jié)質(zhì)的生長(zhǎng)和黏土物質(zhì)的填充作用,因此過(guò)程法只適用于成巖過(guò)程簡(jiǎn)單的巖石。隨機(jī)法以巖石二維圖像統(tǒng)計(jì)特性為約束函數(shù),采用隨機(jī)算法構(gòu)建三維數(shù)字巖心,其統(tǒng)計(jì)特性與二維圖像相同。根據(jù)選用的隨機(jī)算法和統(tǒng)計(jì)特性,隨機(jī)法又分為模擬退火法、高斯場(chǎng)法和順序指示模擬法等,選用的約束函數(shù)大都反映二維圖像的兩點(diǎn)統(tǒng)計(jì)特性,不能精確反映孔隙的長(zhǎng)程相關(guān)性,導(dǎo)致重建三維數(shù)字巖心與真實(shí)巖心在孔隙連通性方面具有明顯差異。Okabe等[10]采用多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)法基于單方向二維切面圖像構(gòu)建重建三維數(shù)字巖心,該算法通過(guò)旋轉(zhuǎn)單方向二維切面獲得三維情況下的條件概率分布函數(shù),未采用硬數(shù)據(jù)約束重建過(guò)程,該方法僅適用于重建各向同性的三維數(shù)字巖心。張偉等[11-12]也采用多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)在巖石二維圖像基礎(chǔ)上重建三維數(shù)字巖心。大量重建實(shí)例說(shuō)明僅采用單方向二維切面圖像,考慮1個(gè)方向的條件概率分布函數(shù),重建三維數(shù)字巖心的孔隙僅在該方向上具有良好的孔隙連通性,而其余2個(gè)正交方向與實(shí)際巖心差別較大。

為解決隨機(jī)法重建三維數(shù)字巖心孔隙連通性差異大的問(wèn)題,本文在巖心3個(gè)方向二維切面圖像基礎(chǔ)上,修正數(shù)據(jù)模板和條件概率函數(shù)選取方法,引入硬數(shù)據(jù)的約束,采用多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)重建三維數(shù)字巖心,并定量比較了重建巖心和X射線CT掃描得到真實(shí)巖心的自相關(guān)函數(shù)、局部孔隙度函數(shù)、滲流概率分布函數(shù),評(píng)價(jià)重建結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)法

1.1 基本原理

多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)最初被用在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中,用來(lái)處理油藏尺度下的連續(xù)地質(zhì)實(shí)體。多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)是用訓(xùn)練圖像代替了兩點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)法中的變差函數(shù)。該方法的基本思路是從訓(xùn)練圖像中提取特征的圖像模式,然后將這些模式還原到最終的模型上。

訓(xùn)練圖像原本是一個(gè)地質(zhì)概念,是能夠表述實(shí)際儲(chǔ)層結(jié)構(gòu)、幾何形態(tài)及其分布的數(shù)字化圖像。訓(xùn)練圖像的代表性決定了模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性[13]。訓(xùn)練圖像包含了待模擬區(qū)域的各種特征模式。以三維數(shù)字巖心建模為例,若將巖石劃分為2種組分:孔隙空間和骨架,則訓(xùn)練圖像可視為二值化的數(shù)字圖像(見(jiàn)圖1),圖1中黑色和白色分別代表巖石骨架和孔隙。訓(xùn)練圖像的特征可被在其上方滑動(dòng)的窗口所捕獲,該窗口被稱為數(shù)據(jù)模板[14]。圖1(a)為尺寸為3像素×3像素的正方形數(shù)據(jù)模板,u表示未取樣點(diǎn)。數(shù)據(jù)模板的幾何形態(tài)和尺寸是任意的,模板尺寸越大,越能反映長(zhǎng)程相關(guān)性,但計(jì)算效率變低。利用數(shù)據(jù)模板掃描訓(xùn)練圖像得到1個(gè)數(shù)據(jù)事件[見(jiàn)圖1(c)]。當(dāng)訓(xùn)練圖像中的1個(gè)數(shù)據(jù)事件與數(shù)據(jù)模板的數(shù)據(jù)事件相同時(shí),稱為1個(gè)重復(fù)。掃描整個(gè)訓(xùn)練圖像后即可獲得待模擬點(diǎn)的條件概率分布函數(shù),組成搜索樹(shù)。然后,建立需重構(gòu)的三維網(wǎng)格,將已知硬數(shù)據(jù)點(diǎn)部署到網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上。硬數(shù)據(jù)是對(duì)客觀存在的事物或現(xiàn)象進(jìn)行測(cè)量和觀察的結(jié)果。最后,定義一條隨機(jī)路徑模擬所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),對(duì)路徑上的每一個(gè)待模擬節(jié)點(diǎn),根據(jù)已建立的條件概率分布函數(shù),利用Monte Carlo方法確定該節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)模擬值,直至完成所有節(jié)點(diǎn)的模擬。

圖1 掃描訓(xùn)練圖像過(guò)程

1.2 基于三方向二維巖心切面重建三維數(shù)字巖心的基本過(guò)程

采用多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)構(gòu)建三維數(shù)字巖心的基本思路與油藏地質(zhì)建模類似,不同之處在于三維數(shù)字巖心的尺寸小,空間分辨率在微米尺度,主要步驟分為準(zhǔn)備訓(xùn)練圖像、選擇數(shù)據(jù)模板建立搜索樹(shù)、添加硬數(shù)據(jù)和隨機(jī)模擬。本文提出的重建方法是在三方向巖石二維切面圖像基礎(chǔ)上構(gòu)建三維數(shù)字巖心,修正了數(shù)據(jù)模板選取、硬數(shù)據(jù)提取和待模擬點(diǎn)條件概率分布函數(shù)計(jì)算方法,其基本過(guò)程分為5步。

(1) 建立二維訓(xùn)練圖像。獲取巖心X、Y、Z這3個(gè)方向的二維切面灰度圖像,經(jīng)過(guò)灰度圖像分割獲得巖心3個(gè)方向的二值化圖像。

(2) 選擇合適的數(shù)據(jù)模板,確定條件概率分布函數(shù),建立搜索樹(shù)。在3個(gè)相互垂直面上分別選取相應(yīng)數(shù)據(jù)模板,模板尺寸和結(jié)構(gòu)根據(jù)二維平面圖像結(jié)構(gòu)確定。數(shù)據(jù)模板尺寸根據(jù)二維圖像的自相關(guān)函數(shù)確定。為了在隨機(jī)模擬過(guò)程中充分利用已經(jīng)完成模擬點(diǎn)和硬數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù),調(diào)整模板中待模擬點(diǎn)的位置,X、Y、Z這3個(gè)方向數(shù)據(jù)模板結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示,圖2中顯示模板尺寸為4像素×3像素,待模擬點(diǎn)u位置放在了模板邊界上,而非傳統(tǒng)的模板中心位置。采用相應(yīng)模板掃描3張訓(xùn)練圖像,分別建立3個(gè)方向的搜索樹(shù)。

圖2 3個(gè)方向圖像所用數(shù)據(jù)模板

(3) 合理選取硬數(shù)據(jù)。硬數(shù)據(jù)是測(cè)量和觀測(cè)的結(jié)果,所在的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)具有明確的屬性值,不需要隨機(jī)模擬產(chǎn)生。在三維數(shù)字巖心隨機(jī)模擬過(guò)程中應(yīng)充分考慮硬數(shù)據(jù)的作用,如某一XY平面中存在大尺寸孔隙,則與其相鄰的平面內(nèi)相近位置處也必定為孔隙。但如果硬數(shù)據(jù)數(shù)目過(guò)大,則待模擬層不能產(chǎn)生預(yù)期的變化或者變化很小,所以選用多尺度算法選取硬數(shù)據(jù)[15]。

(4) 隨機(jī)模擬。建立起需要重建的三維網(wǎng)絡(luò),定義一條訪問(wèn)待模擬節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)路徑,獲取條件概率。分別在3個(gè)相互垂直的面上利用以上數(shù)據(jù)模板掃描得到待模擬點(diǎn)數(shù)據(jù)事件,從相對(duì)應(yīng)搜索樹(shù)上檢索到各自的條件概率分布函數(shù)。利用3個(gè)方向在該點(diǎn)處的條件概率分布函數(shù)加權(quán)平均即可得到待模擬點(diǎn)u(i,j,k)的總條件概率,計(jì)算公式為

p(xijk|x(N30(ijk)))=α{p(xijk|x(Ni,12(ijk)))+p(xijk|x(Nj,12(ijk)))+p(xijk|x(Nk,12(ijk)))}

(1)

式中,p(xijk|x(Ni,12(ijk)))表示u在YZ平面上數(shù)據(jù)模板大小為12時(shí)的概率分布函數(shù);α是平均參數(shù)。

Monte Carlo模擬從待模擬點(diǎn)處的條件概率分布中提取一個(gè)值作為該處的隨機(jī)模擬值。更新條件數(shù)據(jù),將該模擬值加入到條件數(shù)據(jù)集中。

(5) 沿已定義的隨機(jī)路徑訪問(wèn)下一個(gè)待模擬節(jié)點(diǎn),并重復(fù)(3)～(4)步驟直至確定所有待模擬節(jié)點(diǎn)的數(shù)值,從而產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)模擬實(shí)現(xiàn)。

2 實(shí)例分析

X射線CT是三維無(wú)損成像方法,利用不同巖石組分對(duì)X射線吸收系數(shù)的差異,獲得巖石內(nèi)部的三維圖像。在分辨率足夠高的前提下,X射線CT建立三維數(shù)字巖心與真實(shí)巖心孔隙結(jié)構(gòu)相同。為了定量對(duì)比真實(shí)巖心與重建數(shù)字巖心,選取某一楓丹白露砂巖X射線CT獲得3個(gè)相互垂直二維切面作為訓(xùn)練圖像(見(jiàn)圖3)。圖3中黑色表示巖石骨架,白色表示巖石孔隙,分別用1和0表示,XY、XZ和YZ這3個(gè)切面的孔隙度分別為19.92%、20.81%和21.13%,平均孔隙度為20.62%。根據(jù)二維圖片的自相關(guān)函數(shù),確定數(shù)據(jù)模板尺寸為11像素×11像素。

圖3 訓(xùn)練圖像

通過(guò)多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)建立三維數(shù)字巖心,采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法將孔隙和骨架邊界平滑,剔除孤立骨架點(diǎn)后,巖心切面見(jiàn)圖4,白色為孔隙空間,黑色為巖石骨架,孔隙度為19.21%。為了對(duì)比基于單一方向巖心二維切面的重建結(jié)果,采用Alireza Hajizadeh提出的方法在XY切面圖像基礎(chǔ)上重建三維數(shù)字巖心[15],巖心切面如圖4所示,孔隙度為18.86%。實(shí)例2基于3張圖像重建巖心孔隙度為14.46%,基于1張圖像重建巖心孔隙度為14.62%,真實(shí)巖心孔隙度為13.15%(見(jiàn)圖5)。

圖4 重建實(shí)例1

圖5 重建實(shí)例2

通過(guò)直觀對(duì)比2種方法重建的三維數(shù)字巖心發(fā)現(xiàn),利用本文提出的基于三方向二維切面重建的三維數(shù)字巖心孔隙分布比較均勻,尺寸和形狀與訓(xùn)練圖像類似,3個(gè)方向孔隙發(fā)育情況基本相同。但僅采用1個(gè)方向切面圖片重建的三維數(shù)字巖心僅在Z方向體現(xiàn)了較為明顯的空間相關(guān)性,但其余2個(gè)方向差別較大,導(dǎo)致三維孔隙尺寸和形狀與實(shí)際巖心存在較大差異。

3 準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)

重建結(jié)果表明,由于巖心二維圖像包含的信息量較少,重建的三維數(shù)字巖心在孔隙結(jié)構(gòu)上與真實(shí)巖心并不完全吻合。為了定量評(píng)價(jià)重建結(jié)果的精度,分別計(jì)算三維數(shù)字巖心的自相關(guān)函數(shù)、局部孔隙度分布函數(shù)、平均滲流概率函數(shù),分析孔隙空間的形狀、均質(zhì)性和連通性等特征。

3.1 自相關(guān)函數(shù)

巖心孔隙空間的自相關(guān)函數(shù)表示巖心中相距為r任意2點(diǎn)分布在孔隙空間中的概率,計(jì)算公式為

巖心孔隙空間的自相關(guān)函數(shù)反映了孔隙空間的形狀和尺寸,X方向自相關(guān)函數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6。3條曲線依次為X射線CT掃描得到真實(shí)巖心、基于3個(gè)方向二維切面圖像重建和基于單方向二維圖像重建的三維數(shù)字巖心。當(dāng)滯后為0時(shí),3條曲線的起點(diǎn)較為接近,說(shuō)明3種三維數(shù)字巖心的孔隙度較為接近。基于3個(gè)方向二維切面重建的三維數(shù)字巖心與X射線CT構(gòu)建的三維數(shù)字巖心具有相似的自相關(guān)函數(shù),說(shuō)明該方法重建的三維數(shù)字巖心孔隙尺寸與真實(shí)巖心類似。而采用1張圖像重建三維數(shù)字巖心的自相關(guān)函數(shù)曲線下降速度快,說(shuō)明該方法構(gòu)建的三維數(shù)字巖心孔隙尺寸相對(duì)較小。

3.2 局部孔隙度分布函數(shù)

局部孔隙度分布函數(shù)反映巖石孔隙空間的均質(zhì)性,其核心思想:將整個(gè)數(shù)字巖心劃分為多個(gè)小尺寸測(cè)量單元,計(jì)算測(cè)量單元的孔隙度,獲得巖心孔隙度的分布曲線。計(jì)算公式為

μ(φ,L)=1m∑rδ[φ-φ(r,L)]

(3)

式中,m為測(cè)量單元的個(gè)數(shù);φ(r,L)為孔隙度;δ(x)為狄拉克函數(shù)。若測(cè)量單元的大小L一定,則數(shù)字巖心的均質(zhì)性與曲線的寬度成反比,即曲線開(kāi)口越小,均質(zhì)性越好。當(dāng)測(cè)量單元大小L=50時(shí),局部孔隙度分布函數(shù)見(jiàn)圖7。圖7中3條曲線的峰值均集中在0.2附近,表示2種方法構(gòu)建的三維數(shù)字巖心孔隙度均在20%左右,與X射線CT掃描得到真實(shí)三維數(shù)字巖心相符。3條曲線開(kāi)口較小,且寬度相近,說(shuō)明2種重建的三維數(shù)字巖心與真實(shí)巖心具有相似的均質(zhì)性。

圖6 自相關(guān)函數(shù)

圖7 局部孔隙度分布函數(shù)

3.3 平均滲流分布函數(shù)

滲流分布函數(shù)反映了孔隙連通性,其基本思想:通過(guò)在某一方向上檢測(cè)測(cè)量單元K(r,L)滲透性反映重建數(shù)字巖心的孔隙連通性[16]。滲流特征函數(shù)具體定義為

∧α(r,L)=1K(r,L)在α方向上有滲透性

0其他

(4)

α值可以取x、y、z、c、3。∧α(r,L)=1說(shuō)明K(r,L)在α方向上存在逾滲通道,流體可以從一側(cè)滲透到另外一側(cè)?！?=1說(shuō)明K(r,L)在X、Y和Z這3個(gè)方向上全具有滲透性?！腸=1說(shuō)明K(r,L)

至少在1個(gè)方向上具有滲透性。利用滲流特征可以獲得局部滲流概率函數(shù),經(jīng)過(guò)積分后得到平均滲流概率函數(shù)pα(L)

(5)

平均滲流概率函數(shù)可表示數(shù)字巖心孔隙連通性的優(yōu)劣,孔隙連通程度與曲線的斜率成正比,即曲線上升的越快,連通性就越好。

三維數(shù)字巖心的平均滲流概率函數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖8。該函數(shù)為至少在1個(gè)方向具有滲透性的滲流概率。3條曲線中,X射線CT掃描得到真實(shí)巖心和基于3張二維圖像構(gòu)建的數(shù)字巖心上升速度基本類似,而基于1張圖片構(gòu)建的三維數(shù)字巖心曲線上升速度明顯偏低,說(shuō)明本文提出算法的重建結(jié)果與真實(shí)巖心具有相似的孔隙連通性,而基于1張二維圖片重建巖心的孔隙連通性較差。

4 結(jié) 論

(1) 在三方向二維切面圖像的基礎(chǔ)上重建的三維數(shù)字巖心與X射線CT掃描得到真實(shí)三維數(shù)字巖心具有相似的自相關(guān)函數(shù)、局部孔隙度分布函數(shù)、平均滲流概率函數(shù),說(shuō)明了重建的數(shù)字巖心與真實(shí)巖心具有相似的孔隙尺寸、均質(zhì)性和孔隙連通性。同時(shí)引入3個(gè)方向的條件概率分布函數(shù),改善了隨機(jī)法重建三維數(shù)字巖心的孔隙連通性。

(2) 在1張二維圖像的基礎(chǔ)上,僅考慮單一平面的條件概率分布函數(shù),采用多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)重建的三維數(shù)字巖心,在單一方向上具有較好的孔隙連通性,但其他2個(gè)方向的孔隙連通性較差,這是由于僅考慮某一方向條件概率分布函數(shù),重建結(jié)果無(wú)法反映巖石真實(shí)孔隙空間特征。

參考文獻(xiàn):

[1] 孫建孟, 姜黎明, 劉學(xué)鋒, 等. 數(shù)字巖心技術(shù)測(cè)井應(yīng)用與展望 [J]. 測(cè)井技術(shù), 2012, 36(1): 1-7.

[2] Liu X F, Sun J M, Wanga H T. Reconstruction of 3-D Digital Cores Using a Hybrid Method [J]. Applied Geophysics, 2009, 6(2): 105-112.

[3] 姚軍, 趙秀才, 衣艷靜, 等. 儲(chǔ)層巖石微觀結(jié)構(gòu)性質(zhì)的分析方法 [J]. 中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 31(1): 80-86.

[4] Dunsmuir J H, Ferguson S R, Damico K L, et al. X-ray Microtomography: a New Tool for the Characterization of Porous Media [C]∥SPE22860, 1991.

[5] Coenen J, Tchouparov A E, Jing X. Measurement Parameters and Resolution Aspects of Micro X-ray Tomography for Advanced Core Analysis [C]∥Proceedings of International Symposium of the Society of Core Analysts, 2004.

[6] Hazlett R D. Statistical Characterization and Stochastic Modeling of Pore Networks in Relation to Fluid Flow [J]. Mathematical geology, 1997, 29(6): 801-822.

[7] Bakke S, Oren P E. 3D Pore-scale Modeling of Sandstones and Flow Simulations in the Pore Networks [J]. SPE Journal, 1997, 2(2): 136-149.

[8] Hidajat I, Rastogi A, Singh M. Transport Properties of Porous Media from Thin Section [J]. SPE Journal, 2002, 7(1): 40-48.

[9] 劉學(xué)鋒, 孫建孟, 王海濤, 等. 順序指示模擬重建三維數(shù)字巖心的準(zhǔn)確性評(píng)價(jià) [J]. 石油學(xué)報(bào), 2009, 30(3): 391-395.

[10] Okabe H, Blunt M J. Pore Space Reconstruction Using Multiple-point Statistics [J]. Journal of Petroleum Science and Engineering, 2005, 46: 121-137.

[11] 張偉, 林承焰, 董春梅. 多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)在秘魯D油田地質(zhì)建模中的應(yīng)用 [J]. 中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 32(4): 24-28.

[12] 張挺. 基于多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)的多孔介質(zhì)重構(gòu)方法及實(shí)現(xiàn) [D]. 合肥: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 2009.

[13] Steebelle S. Sequential Simulation Drawing Structures from Training Images [D]. California: Department of Geological and Environmental Science, Stanford University, 2000.

[14] Zhang T F, Switzer P, Journel A G. Filter-based Classification of Training Image Patterns for Spatial Simulation [J]. Mathematical Geology, 2006, 38(1): 63-80.

[15] Alireza H, Aliakbar S, Farhad A, et al. A Multiple-point Statistics Algorithm for 3D Pore Space Reconstruction from 2D Images [J]. Advances in Water Resources, 2011, 34: 1256-1267.

[16] 張麗, 孫建孟, 孫志強(qiáng), 等. 多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)在三維巖心孔隙分布建模中的應(yīng)用 [J]. 中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2012, 36(2): 105-109.