劉蘇雨 蔣貴榮 凌琳

（桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，桂林 541004）

引言

疾病發(fā)生率是刻畫傳染病模型的主要內(nèi)容，經(jīng)典的傳染病模型大多是采用雙線性發(fā)生率［1］和飽和發(fā)生率［2］.標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率［3］屬于非線性發(fā)生率，這種發(fā)生率可以包括行為變化和群體效應(yīng)，Anderson和May［4］通過研究證實，對于某些動物來說，標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率比雙線性發(fā)生率更符合實際.

連續(xù)動力系統(tǒng)的分岔理論研究已較為豐富，而對于脈沖動力系統(tǒng)的分岔研究很少.蔣貴榮等［5］研究了一類自治脈沖微分方程，得到了由半平凡解分岔出正周期-T解的fold分岔；錢臨寧和陸啟韶在文［6］中得到了系統(tǒng)的半平凡解到正周期-T解的跨臨界分岔行為；文［7］分析了由平凡解分岔出非平凡周期-T解的超臨界分岔現(xiàn)象，等等.但是對于由平凡解分岔出正周期-T解的分岔現(xiàn)象大多沒有考慮.

垂直傳染、脈沖接種［8］和脈沖生育［9］常被用來建立和研究傳染病模型.本文同時考慮垂直傳染、脈沖接種和脈沖生育，建立一個有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的傳染病模型，利用映射研究該模型正周期解的存在性及該系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象.

1 模型描述

設(shè)S（t），I（t）和R（t）分別為t時刻的易感者、感染者和移出者的數(shù)量，現(xiàn)給出有脈沖生育和接種、垂直傳染和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率SIRS的傳染病模型：

其中，σ表示自然死亡率且有0＜σ≤1，δ是移出者喪失免疫進(jìn)入易感者類的比率，γ是感染者的自然恢復(fù)率，βSI/N是標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，生育脈沖為ΔN＝（b-cN）N，其中b是最大出生率.染病者的后代均為染病者，易感者和移出者的后代均為易感者.在生育時刻，ΔS＝（b-cN）（S+R），由于垂直傳染，ΔI＝（b-cN）I.易感者的接種率為p，即 ΔS＝-pS，ΔR＝pS，其中0＜p＜1.

2 無病周期-T解和平凡解的存在、穩(wěn)定性

當(dāng)種群中不存在感染者，即I（t）＝0（t＞0）時，N（t）＝S（t）+R（t），系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

設(shè)系統(tǒng)（2）的軌線從（Nk，Rk）出發(fā)，在T時刻到達(dá)點然后跳到（Nk+1，Rk+1），則有映射

離散映射（3）的不動點為

由G2（N0，R0）可得系統(tǒng)（1）無病周期解為

由于N（t）＝S（t）+I（t）+R（t），由（1）有：

由系統(tǒng)（4）在無病周期-T解處的變分系統(tǒng)對應(yīng)的特征值為：

因為0＜p＜1，（δ+σ）T＞0，所以｜λ2｜＜1.當(dāng)｜λ1｜＜1，｜λ3｜＜1時，無病周期-T解漸近穩(wěn)定.由得｜λ1｜＜1：

假設(shè) β＞γ，由｜λ3｜＜1得：

在本文中總假設(shè)下列條件成立，

當(dāng) σ∈（σ3，σ1）時，有｜λ3｜＞1；當(dāng) σ∈（0，σ2）時，有｜λ1｜＞1；當(dāng) σ∈（σ2，σ3）時，有｜λ1｜＞1和｜λ3｜＞1對任意的σ∈（0，1］，總有模大于1的特征值，從而（1）的無病周期-T解是不穩(wěn)定的.

過G1（N0，R0）＝（0，0）的系統(tǒng)（1）平凡解（0，0，0）處對應(yīng)變分系統(tǒng)的單值矩陣的乘子是：

當(dāng) σ∈（σ1，1］時，｜λ01｜＜1，｜λ02｜＜1，｜λ03｜＜1，從而平凡解穩(wěn)定；當(dāng) σ∈（0，σ1］時，｜λ02｜＞1從而平凡解不穩(wěn)定.于是我們有下面的結(jié)論：

定理2.1假設(shè)（5）成立，（1）的平凡解在 σ∈（0，σ1］下是不穩(wěn)定的，在σ∈（σ1，1］下是穩(wěn)定的；（1）的無病周期-T解在σ∈（0，1］下是不穩(wěn)定的.

3 分岔

取μ＝-σ為參數(shù)，討論（1）的周期解的分岔.

3.1 跨臨界分岔現(xiàn)象

對于μ1＝-σ1和I（t）＝0．由σ1＝μ+In（1+b）/T得由（3）得

映射（6）的一個中心流形可以表示為：

則限制在中心流形上的映射為：

在點

由文獻(xiàn)［10］中的跨臨界分岔的判定可知，系統(tǒng)（4）在μ＝μ1＝-σ1處發(fā)生跨臨界分岔，系統(tǒng)的平凡解在μ＝μ1＝-σ1分岔出周期-T解.由于δ＞0，當(dāng) μ∈（μ1，μ1+ε）時，系統(tǒng)沒有穩(wěn)定的無病周期-T解，故此時原系統(tǒng)的平凡解在μ＝μ1＝-σ1分岔出穩(wěn)定的正周期-T解.

定理3.1系統(tǒng)（1）在 μ＝μ1＝-σ1處發(fā)生跨臨界分岔，平凡解分岔出正周期-T解，即ε＞0，當(dāng)μ∈（μ1，μ1+ε）時，系統(tǒng)（1）有穩(wěn)定的正周期-T解.

3.2 Flip分岔現(xiàn)象

假設(shè)系統(tǒng)（4）的周期-T解（N（t），I（t），R（t））從點A0（N0，I0，R0）出發(fā)，到達(dá)B0（N（t），I（T），R（T）），再跳到A0，有R0＝p（N（T）-I（T））+（1+p）R（T），N0＝（1+b-cN（T））N（T），I0＝（1+b-cN（T））I（T），由N·＝-σN得到N（T）＝N0exp（-σT），于是N0＝（1+b-exp（σT））exp（σT）/c.

現(xiàn)取Poincaré截面S0＝｛（N，I，R）｜I＝I0｝，過初始點Ak（N0+xk，I0，R0+yk）的解為（N1（t），I1（t），R1（t）），其中Ak∈S0.在時刻T解到達(dá)Bk＝（N1（T），I1（t），R1（t）），再然后跳到點Ak+1（N0+xk+1，I0，R0+yk+1）.

令x（t）＝N1（t）-N（t），y（t）＝R1（t）-R（t），z（t）＝I1（t）-I（t）.則x（t），y（t），z（t）滿足下面的關(guān)系：

其中M（t）滿足

由（7）得：

從而得到Poincaré映射：

其中：

式（8）的不動點的特征值為：

當(dāng)時，λ4＝a1（T）＝-1.

定理3.2 系統(tǒng)在μ＝μ3＝-σ3處發(fā)生flip分岔.

證明：令＝μ-μ3＝μ+σ3，則（8）可以寫成：

可計算出一個限制在中心流形上的映射為：

f：x｜→（2-3expx-在點處有

由文獻(xiàn)［11］中定理3.5.1可知：系統(tǒng)在 μ＝μ3＝-σ3處發(fā)生flip分岔，從而 ε＞0，當(dāng) μ∈（μ3，μ3+ε）時，系統(tǒng)有穩(wěn)定的正周期-2T解.定理得證.

4 數(shù)值模擬

在（1）中，取b＝2.8，T＝2，δ＝0.4，p＝0.2，c＝0.2，β＝0.6，γ＝0.5.則 μ1＝-σ1≈-0.6675，μ2＝-σ2≈-0.0851，μ3＝-σ3≈-0.1182.顯然條件（5）成立.以 μ（-σ）為參數(shù)，系統(tǒng)（1）的周期解的分岔如圖1所示，當(dāng) μ∈［-1，-0.6675］時，系統(tǒng)有穩(wěn)定的平凡解，系統(tǒng)在μ＝μ1＝-σ1處發(fā)生跨臨界分岔，當(dāng)μ從μ1左側(cè)變到右側(cè)時，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的正周期-T解，系統(tǒng)在μ＝μ3＝-σ3處發(fā)生flip分岔，由正周期-T解分岔出正周期-2T解，很好的驗證了定理3.1和定理3.2.圖2給出了（1）在μ＝-σ＝-0.4時的正周期-T解.

圖1 系統(tǒng)（1）關(guān)于μ的分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram of periodic solutions of system（1）with respect to parameterμ

圖2 μ＝-0.4時的系統(tǒng)（1）的解的時間序列圖Fig.2 The time-series of S，I and of（1）withμ＝-0.4

5 結(jié)論

本文討論了對所建的系統(tǒng)在β＞γ的情形下，由于參數(shù)間的變化使得σ2＜σ3＜σ1下的系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì).隨著參數(shù)μ＝-σ的增加，系統(tǒng)在μ＝μ3＝-σ3處發(fā)生跨臨界分岔，由平凡解分岔出正周期-T解；在μ＝μ3＝-σ3處發(fā)生flip分岔，由正周期-T解分岔出正周期-2T解.

隨著σ的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)不同的穩(wěn)定周期解，說明了自然死亡率大小在傳染病的控制過程中的作用，為控制傳染病的傳播提供了一定的理論依據(jù).

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