顧黃興 齊瑞云

（南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016）

引言

充液航天器是一類攜帶大量液體燃料、液體冷卻劑的剛-液耦合復(fù)雜非線性系統(tǒng)［1］，有國內(nèi)外航天試驗(yàn)機(jī)構(gòu)研究表明，航天器在發(fā)射、變軌、發(fā)動(dòng)機(jī)啟停等階段，自身會發(fā)生頻繁的振動(dòng)［2］.這種結(jié)構(gòu)振動(dòng)極易與貯箱內(nèi)液體燃料的晃動(dòng)相交耦，交耦后自由液面的非線性運(yùn)動(dòng)會對剛體航天器產(chǎn)生顯著的干擾力、干擾力矩及沖擊壓力［3］，對航天器的姿態(tài)控制和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響.因此，控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)需要綜合考慮液體晃動(dòng)的影響，在控制航天器姿態(tài)及運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，也要抑制液體燃料的晃動(dòng).由于航天器不能直接對液體燃料施加控制，只能通過剛體航天器與液體燃料之間的耦合作用來抑制液體的晃動(dòng)，這樣系統(tǒng)的控制輸入個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)的自由度，使得整個(gè)航天器系統(tǒng)表現(xiàn)為一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，需要由較少的控制輸入控制較多的系統(tǒng)自由度［4］.作為一類特殊的非線性系統(tǒng)，對欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的研究對于非線性控制研究和非線性動(dòng)力學(xué)研究都具有重要的價(jià)值［5］.

目前，國內(nèi)外研究的充液航天器一般是一類零重力條件下，燃料貯箱一般為規(guī)則的幾何形狀，如球形或者橢球形的軸對稱剛體航天器.剛-液耦合動(dòng)力學(xué)方程的求解方法有受力分析法［6］，及Lagrange-Euler方程解法兩種［7］，系統(tǒng)姿態(tài)控制方案有：非線性反饋控制［8-9］，基于無源性的方法［10］，自適應(yīng)極點(diǎn)配置控制［6-7］，分層滑模控制方法［12］，自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制方法［13］等.由于滑?？刂茖Ψ蔷€性對象有著較強(qiáng)的控制作用，并且有著響應(yīng)迅速，對建模誤差，參數(shù)不確定和擾動(dòng)不敏感，物理實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn)，因此，本文考慮使用滑?？刂品椒▉韺?shí)現(xiàn)這一類充液航天器的控制.

文獻(xiàn)［12］提出的分層滑?？刂品桨?，首先將系統(tǒng)分成兩個(gè)子系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)滑模面，并由其構(gòu)成第二層滑模面，然后進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì).不過這種方法要求兩個(gè)子系統(tǒng)的滑模面乘積符號為恒定值，在實(shí)際應(yīng)用或仿真中可能不能滿足這一條件.文獻(xiàn)［14］針對一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提出了一種滑模控制方案，實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，取得了較好的控制效果.本文參考這一種滑?？刂品桨?，首先將系統(tǒng)進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換，將系統(tǒng)的一部分化成一定形式的標(biāo)準(zhǔn)型，另一部分經(jīng)過一定的假設(shè)和設(shè)計(jì)，可以用來作為標(biāo)準(zhǔn)型的外部輸入，最后針對這一標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)計(jì)了一個(gè)滑模控制器，實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.仿真結(jié)果表明了該滑模控制器的有效性和可行性.

1 系統(tǒng)模型

本節(jié)給出了帶單個(gè)液體燃料貯箱的航天器的動(dòng)力學(xué)方程并將其做了一定的轉(zhuǎn)化.其中，航天器作為一個(gè)剛體，其內(nèi)部貯箱包含有液體燃料，液體燃料的晃動(dòng)可以用單擺模型來等效.如圖1所示，考慮剛體航天器在固定平面OXZ上的作動(dòng).其中，vx和vz分別代表航天器在軸向和橫向的速度分量；θ表示航天器姿態(tài)角，即航天器體坐標(biāo)系Oxz相對慣性坐標(biāo)系OXZ轉(zhuǎn)過的角度；ψ是等效單擺相對于航天器軸向的擺角，表征液體燃料的晃動(dòng).航天器控制力及力矩有三個(gè)：推力F，作用于航天器末端并沿著航天器軸向經(jīng)過質(zhì)心；橫向推力f，作用于航天器側(cè)向并通過質(zhì)心；使航天器圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的控制力矩M.

圖1 充液航天器示意圖Fig.1 The sketch of the spacecraftwith fuel slosh

如圖1所示，剛體航天器的質(zhì)量為m，液體燃料質(zhì)量為mf，等效單擺擺長為a，相對于航天器質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為If.坐標(biāo)系原點(diǎn)到航天器質(zhì)心距離為b，液體晃動(dòng)的阻尼系數(shù)為ε，在本文中，考慮這些參數(shù)為固定值的情況.

由文獻(xiàn)［9］可知，此剛體航天器的動(dòng)力學(xué)方程為

考慮推力F為常值的情況，并且在航天器作動(dòng)時(shí)，可以假設(shè)在航天器姿態(tài)角變化和液體晃動(dòng)幅度較小時(shí)，航天器的軸向加速度變化不大，可以假定為常量，這在后面仿真中進(jìn)行了驗(yàn)證.因此，可以將方程（1）簡化為

并且，由（3）式可得

其中，ax，az分別為航天器的軸向和橫向加速度.將式（5），（6）代入方程（2），（4），可以得到

下面將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化成一定形式的標(biāo)準(zhǔn)型，以方便后面滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì).

2 模型轉(zhuǎn)化及分析

2.1 模型標(biāo)準(zhǔn)型

考慮將系統(tǒng)（7），（8）作為一個(gè)子系統(tǒng)，其輸入為，輸出為θ和ψ，此系統(tǒng)為一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).文獻(xiàn)［15］介紹了一種系統(tǒng)的方法，可以將一些欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為滿足某種結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)型.

令代入方程（7），（8），則有

進(jìn)一步可以將其整理為

其中

由此，系統(tǒng)（1）～（4）可以整理為：

其中

如果控制力矩M和橫向推力f為0，軸向推力F為恒定值，那么可以定義系統(tǒng)（1）～（4）的一個(gè)相對平衡點(diǎn)為：

其中和θ*為任意常量，vx（0）為航天器的初始軸向速度.不失一般性，可以選擇＝0，θ*＝0，即系統(tǒng)（10）的相對平衡點(diǎn)為

2.2 模型性質(zhì)分析

可以驗(yàn)證，函數(shù)f1（x）滿足如下的一些性質(zhì).

（1）f1（0，0，0，0）＝0.

（2）?f1/?x4＝-

（3）f1（0，0，x3，x4）＝0是漸近穩(wěn)定流形，即在f1（0，0，x3，x4）＝0時(shí)，x3，x4會趨于0.

下面進(jìn)行對驗(yàn)證過程進(jìn)行簡要陳述.

（1）由于并且＝x2-x4＝0，在后面設(shè)計(jì)中，當(dāng)t→∞時(shí)，會設(shè)計(jì)使即有0.將其代入f1（x），則有f1（0，0，0，0）＝0.

（2）由于則cos x3∈［0，1］，則有

將代入，可得

將代入，整理得到，

求解此微分方程，當(dāng)x3＝0時(shí)當(dāng)x3≠0時(shí)，可得，

兩邊分別積分，可得

進(jìn)一步可以寫成，

其中，c為常數(shù).根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)t→∞時(shí)，｜sin x3｜mfavx-ε｜1-cos x3｜ε→0.在本文的航天器系統(tǒng)中，mfavx-ε＝0，因此，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)t→∞時(shí)，x3→0，即有x4→0，因此，f1（0，0，x3，x4）是漸近穩(wěn)定流形.在下面的設(shè)計(jì)及分析過程中將會用到f1（x）的這些性質(zhì).

3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

本文采用文獻(xiàn)［14］的方法設(shè)計(jì)滑模控制器，控制目標(biāo)是使航天器的橫向速度和姿態(tài)角達(dá)到平衡點(diǎn)，同時(shí)抑制液體燃料的晃動(dòng)，使航天器達(dá)到漸近穩(wěn)定.

為了達(dá)到控制目標(biāo)，設(shè)計(jì)控制輸入M為

將其代入式（6），可以得到 ˙vz＝-k1vz，顯然選擇合適的正常量k1可以使vz漸近穩(wěn)定.這樣在接下來的設(shè)計(jì)過程中，就可以將vx，vz看成外部變量來進(jìn)行設(shè)計(jì).

針對系統(tǒng)（9），接下來設(shè)計(jì)u，使得x→0，我們將采用滑?？刂频姆椒▉碓O(shè)計(jì)控制器.

定義誤差變量為

其中定義E1是為了后面方便研究和分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

由于?f1/?x4恒為負(fù)值，可以定義滑模面為s＝c1e1+c2e2+e3.其中參數(shù)c1，c2滿足如下的條件：

A1＝是Hurwitz矩陣.

令＝0，可以設(shè)計(jì)等效控制量為：

其中，

設(shè)計(jì)切換控制量使得s→0，

其中ρ，λ為選定的正常量，并且當(dāng)｜s｜≤0.1時(shí)，sat（s），｜s｜＞0.1時(shí)，sat（s）＝0.1sign（s），其中，

因此，設(shè)計(jì)的滑?？刂破鳛椋?/p>

4 穩(wěn)定性分析

選擇Lyapunov函數(shù)為對其求導(dǎo)，并將式（12）～（14）代入，可以得到

當(dāng)且僅當(dāng)s＝0時(shí)因此，在滑模控制器的作用下，滑模面s將在有限時(shí)間內(nèi)將達(dá)到0.在s＝0或e3＝-c1e1-c2e2時(shí)，系統(tǒng)（9）退化為

由于A1為Hurwitz矩陣，系統(tǒng)（15）漸近穩(wěn)定.因此，e1＝x1，e2＝x2將漸近收斂到0.即可以有s＝0，e3＝f1＝0.由之前驗(yàn)證過的f1（x）的性質(zhì)（3）可知，x3，x4也將能夠收斂到平衡點(diǎn)0，即 ψ＝x3＝0，θ＝x1-x3＝0.

由此，可以證明設(shè)計(jì)的滑?？刂破骺梢栽谟邢迺r(shí)間內(nèi)，使航天器的姿態(tài)角，橫向速度及等效擺角都達(dá)到平衡點(diǎn)，達(dá)到了設(shè)計(jì)目的.

5 仿真

針對本文使用的滑模控制器，本節(jié)采用數(shù)字仿真來驗(yàn)證其對這類充液航天器的控制效果.

仿真中采用的航天器及燃料的物理參數(shù)為［9］：

設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)為：

系統(tǒng)狀態(tài)的初始值為：

仿真結(jié)果如圖（2）-（4）.

圖2 vx，vz的響應(yīng)曲線Fig.2 Time responses of vx and vz

圖3 s，ψ及θ的響應(yīng)曲線Fig.3 Time responses of s，ψ，andθ

從仿真結(jié)果可以看到，控制器可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.從圖2中可以看出，航天器的軸向速度保持恒定的加速度，符合前文中的假設(shè).圖2和3中，航天器的各個(gè)狀態(tài)量和滑模面都能夠很快達(dá)到平衡點(diǎn).從圖4中也可以看出，系統(tǒng)的控制量，即橫向推力和控制力矩變化曲線比較平滑.因此，在設(shè)計(jì)的滑模控制器作用下，航天器的橫向速度，姿態(tài)角以及等效單擺的擺角都能夠達(dá)到平衡點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了航天器系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，達(dá)到了預(yù)期的控制目標(biāo).

圖4 控制輸入f，MFig.4 Control inputs f and M

6 結(jié)論

針對一類帶液體燃料晃動(dòng)的航天器，本文采用了一種滑?？刂频姆椒ㄔO(shè)計(jì)了控制器.首先將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為一定形式的標(biāo)準(zhǔn)型，并驗(yàn)證其系統(tǒng)函數(shù)滿足某些關(guān)鍵的設(shè)計(jì)條件，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì).由于系統(tǒng)本身表現(xiàn)為一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)的控制器可以使系統(tǒng)的一些狀態(tài)量達(dá)到平衡點(diǎn)時(shí)，而剩下的狀態(tài)量在系統(tǒng)自身的作用下也能達(dá)到平衡點(diǎn)，從而使整個(gè)航天器系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.仿真結(jié)果表明，采用這種方法設(shè)計(jì)的滑?？刂破髂軌?qū)崿F(xiàn)控制目標(biāo)，證明了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性及可行性.

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