陳得良 付欽 錢長照

（1.長沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院，長沙 410014）（2.廈門理工學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院，廈門 361021）

引言

近年來，梁被廣泛運用于機械，土木，航天等工程結(jié)構(gòu)中，其非線性動力學(xué)行為也在這些結(jié)構(gòu)中頻繁的出現(xiàn)，并對結(jié)構(gòu)的安全性，適用性和耐久性產(chǎn)生了重要影響.因此，研究梁的非線性振動特性對于合理設(shè)計和利用工程結(jié)構(gòu)具有非常重要的意義.自Tseng［1］首次發(fā)現(xiàn)簡諧激勵下屈曲梁的混沌運動后，許多學(xué)者對梁的非線性動力學(xué)特性產(chǎn)生了濃厚的興趣并展開了豐富的研究.Emam和Nayfeh［2］用打靶法分析了兩端固定且受橫向周期激勵屈曲梁主共振下的周期解，討論了周期解的穩(wěn)定性和分叉點問題，其理論結(jié)果與實驗結(jié)果［3］相吻合.季進臣［4］用實驗方法研究了一端固定，一端滑動受軸向簡諧激勵的參激屈曲梁的動力學(xué)問題，并獲得了動態(tài)響應(yīng)在參數(shù)平面上的分布規(guī)律以及非線性阻尼對分布區(qū)域的影響.姚志剛，張萌［5］研究了簡支壓電復(fù)合材料層合梁在軸向、橫向載荷共同作用下非線性動力學(xué)、分叉和混沌動力學(xué)響應(yīng)，分析了各種參數(shù)對倍周期分叉的影響及變化規(guī)律.然而上述研究主要針對沒有集中質(zhì)量的屈曲梁.而實際工程中很多梁結(jié)構(gòu)都帶有一個或者多個集中質(zhì)量，且集中質(zhì)量的大小和位置會對梁的一階頻率，振型以及非線性特性產(chǎn)生重要影響，因此有部分學(xué)者針對這種帶集中質(zhì)量的梁的非線性動力學(xué)問題開展了研究.Ozkaya［6］研究了彈性地基上帶一個集中質(zhì)量兩端固定的微彎曲梁的橫向振動問題，繪出了不同質(zhì)量下的幅頻特性曲線，討論了集中質(zhì)量對橫向振動的影響.Saito［7］采用諧波平衡法研究了帶集中質(zhì)量受橫向簡諧激勵簡支梁的強迫振動，討論了集中質(zhì)量的大小和位置對系統(tǒng)一階頻率的影響.盡管針對帶集中質(zhì)量梁的非線性振動問題有部分研究，然而主要研究的是系統(tǒng)的橫向自由振動或者強迫振動問題，而對其他方面的研究則較少見到.

本文基于歐拉梁理論，研究了帶一個集中質(zhì)量一端固定一端夾支受軸向周期激勵的復(fù)合材料層合屈曲梁的非線性動力學(xué)行為，得到了集中質(zhì)量的大小和位置對系統(tǒng)一階頻率和倍周期分叉解的影響，分析了主共振下系統(tǒng)隨激勵幅值變化的運動規(guī)律，為合理設(shè)計工程構(gòu)件提供了有益的參考.

1 動力學(xué)方程的建立

如圖1所示一端固支一端夾支復(fù)合材料層合梁，梁長為L，寬為b，高為h，梁的密度為 ρ0，阻尼系數(shù)為c.梁在夾支端承受如圖所示的軸向周期荷載，其大小為p0-p1cosΩt，其中p0為軸向靜壓力，其值大于臨界屈曲荷載，p1為激勵幅值，Ω為外激勵頻率，集中質(zhì)量m1.

圖1 帶集中質(zhì)量屈曲梁模型Fig.1 Themodel of a buckled beam with a lumped mass

由彈性梁理論，任意時刻內(nèi)各點位移設(shè)為

式中u0，w0分別為梁中面上任意一點位移，u，w則為梁截面水平和豎直方向任意一點位移.

考慮對稱鋪設(shè)復(fù)合材料層合梁，并定義梁內(nèi)力關(guān)系［8］如下：

其中

Aij為薄膜剛度，Dij為彎曲剛度為第k層彈性剛度.

引入Reissner函數(shù)：

式中B（σij代表彈性體的余能密度，fi為沿坐標(biāo)軸i方向上每單位面積內(nèi)的體力，V為沿坐標(biāo)軸方向上每單位表面積所承受的表面力，Ap為彈性體所占空間，為彈性體表面上面力作用面積.

對于圖示結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力勢能為

由達朗貝爾原理，將慣性力-ρ0ui，tt作為分布力，并忽略軸向慣性項，則橫向慣性力產(chǎn)生的外力勢能

式中x0為集中質(zhì)量在梁上的位置.

不計梁自重，則阻尼力產(chǎn)生的外力勢能

由 δΠ＝0得

邊界條件

在x＝l處，力的邊界條件

將式（11）代入式（9）可得運動微分方程

設(shè)梁的靜位移為ws，將其代入式（12）得

其中為一階臨界屈曲荷載，γ＝為回轉(zhuǎn)半徑.

截取一階屈曲模態(tài)，設(shè)其振型函數(shù)為φ＝（1-，則屈曲梁的總位移為

將式（14）、（15）代入式（12），并在梁全長范圍內(nèi)進行伽遼金積分，可得

式中

引入無量綱變量

對式（16）進行無量綱化后得：

其中

2 數(shù)值模擬

對式（19）進行變換得

利用四階龍格—庫塔法對式（21）進行數(shù)值模擬，可得不同參數(shù)下屈曲梁的非線性動力學(xué)特性.

2.1 集中質(zhì)量位置對系統(tǒng)一階頻率的影響

由式（20）可知，系統(tǒng)的一階頻率受集中質(zhì)量位置和大小的影響，當(dāng)集中質(zhì)量的位置和大小變化時，系統(tǒng)的一階頻率也會隨之變化.圖2研究了集中質(zhì)量位置對系統(tǒng)一階頻率的影響.圖中橫軸為集中質(zhì)量位置與梁跨徑的比值，其值為0到1，縱軸是系統(tǒng)的一階頻率.不難發(fā)現(xiàn)，集中質(zhì)量的位置對系統(tǒng)一階頻率的影響是關(guān)于梁跨中對稱分布的，跨中處一階頻率最小，越靠近跨中，系統(tǒng)的一階頻率越小，反之就越大.

圖2 集中質(zhì)量位置與系統(tǒng)一階頻率關(guān)系Fig.2 The relationship between the locations of the lumped mass and the natural frequency

2.2 集中質(zhì)量大小對系統(tǒng)一階頻率的影響

圖3研究了集中質(zhì)量大小對系統(tǒng)一階頻率的影響.其中橫軸是集中質(zhì)量與梁的質(zhì)量比值，縱軸為一階頻率.由圖可知，系統(tǒng)的一階頻率隨集中質(zhì)量的增加而逐漸減小，集中質(zhì)量越大，系統(tǒng)的一階頻率越小.

圖3 集中質(zhì)量大小與系統(tǒng)一階頻率關(guān)系Fig.3 The relationship between the sizes of the lumped mass and the natural frequency

2.3 集中質(zhì)量位置對倍周期分叉的影響

圖4 集中質(zhì)量位置對倍周期分叉的影響Fig.4 The effect of the locations of the lumped mass on period-doubling bifurcation

由于集中質(zhì)量位置不同，系統(tǒng)的一階頻率和非線性項系數(shù)不同，進而導(dǎo)致系統(tǒng)的動力學(xué)特性不同.由四階龍格-庫塔法求解后，采用頻閃法做龐加萊圖，不斷調(diào)整激勵幅值，當(dāng)龐加萊圖上恰好出現(xiàn)兩個點時對應(yīng)的激勵幅值即為倍周期分叉解.圖4研究了集中質(zhì)量位置對系統(tǒng)倍周期分叉的影響.其中橫軸為集中質(zhì)量相對梁的位置，縱軸是發(fā)生倍周期分叉時的外激勵幅值，取μ＝0.2.由圖可知，集中質(zhì)量的位置對倍周期分叉的影響關(guān)于ζ0＝0.5對稱，且跨中最容易發(fā)生倍周期分叉.當(dāng)ζ0≤0.5時，集中質(zhì)量越靠近跨中，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分叉所需的外激勵就越小，即倍周期分叉越容易發(fā)生；越過跨中后，集中質(zhì)量越遠離跨中，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分叉所需的外激勵就越大，即倍周期分叉越不容易發(fā)生.此外，當(dāng)集中質(zhì)量離邊界較近時（ξ0≤0.1），不同集中質(zhì)量下的倍周期分叉解相同，說明在此位置下集中質(zhì)量的大小對系統(tǒng)幾乎沒有影響，起主導(dǎo)作用的是集中質(zhì)量的位置；當(dāng)0.2≤ξ0≤0.9時，同一位置處，集中質(zhì)量越大，其倍周期分叉解就越小，表明集中質(zhì)量的大小對系統(tǒng)也有一定的影響.

2.4 集中質(zhì)量大小對倍周期分叉影響

圖5采用和圖4相同的方法研究了集中質(zhì)量大小對系統(tǒng)倍周期分叉的影響.圖中橫軸是集中質(zhì)量與梁的質(zhì)量比值，縱軸為梁發(fā)生倍周期分叉時外激勵的幅值，取μ＝0.2.由圖可知，集中質(zhì)量越大，發(fā)生倍周期分叉所需的外激勵就越小，即倍周期分叉越容易發(fā)生.當(dāng)η≤0.9時，曲線變化較快，表明集中質(zhì)量對倍周期分叉的影響較強；η≥1.2時，曲線變化緩慢，集中質(zhì)量對倍周期分叉的影響較弱.此外，不難發(fā)現(xiàn)，對于同一集中質(zhì)量，越靠近跨中，倍周期分叉解就越小，表明集中質(zhì)量的大小和位置對系統(tǒng)相互影響.

圖5 集中質(zhì)量大小對倍周期分叉的影響Fig.5 The effect of the sizes of the lumped mass on period-doubling bifurcation

2.5 主共振下激勵幅值對非線性特性的影響

當(dāng)外激勵頻率接近該非自治系統(tǒng)的一階頻率時，系統(tǒng)將發(fā)生主共振.圖6是主共振下，激勵幅值g在1.03到2.8之間變化時系統(tǒng)的分叉圖.此時η＝0.1，ζ＝0.5，μ＝0.2，ω＝0.8885＝0.8883.由圖6可以看出，系統(tǒng)經(jīng)歷了周期-混沌-周期的運動過程.固定上述參數(shù)，g＝1.05時，系統(tǒng)做周期運動；增大g到1.124時，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分叉，做2T周期運動；繼續(xù)增大激勵幅值，當(dāng)g＝1.312時出現(xiàn)連續(xù)頻譜，結(jié)合相圖和龐加萊圖可判斷此時系統(tǒng)運動為混沌，如圖7（a-b）所示；隨后，系統(tǒng)在經(jīng)歷了4T周期運動及混沌后，逐漸回歸到周期運動.于是，在這一過程中觀測到了周期運動-倍周期分叉-混沌運動-周期運動.這充分說明，通過控制激勵幅值，可以控制系統(tǒng)倍周期分叉的產(chǎn)生，從而阻止系統(tǒng)由倍周期分叉進入混沌運動.

圖6 軸向激勵分岔圖Fig.6 The bifurcation of axial excitation

圖7 g＝1.312時的混沌運動（a）相圖；（b）龐加萊圖Fig.7 The chaos at g＝1.312，（a）The phase diagram；（b）The Poincare diagram

3 結(jié)論

通過對軸向周期激勵下一端固定一端夾支，帶集中質(zhì)量的屈曲梁的非線性動力學(xué)行為的研究，得到了梁隨激勵幅值變化的運動規(guī)律以及集中質(zhì)量的大小和位置對系統(tǒng)一階頻率和倍周期分叉的影響.研究表明，隨著集中質(zhì)量的增大，系統(tǒng)的一階頻率和倍周期分叉解會逐漸減??；此外，系統(tǒng)的一階頻率和倍周期分叉解隨著集中質(zhì)量與固定端的距離的增加而減小，并且關(guān)于跨中對稱，跨中處一階頻率最小，且最容易發(fā)生倍周期分叉；隨著激勵幅值的增大，系統(tǒng)會經(jīng)歷周期-混沌-周期的運動過程，非線性行為非常豐富.因此，在工程結(jié)構(gòu)中可以通過控制集中質(zhì)量的大小和位置，調(diào)節(jié)外激勵幅值，來改變系統(tǒng)的一階頻率，控制系統(tǒng)倍周期分叉解的產(chǎn)生，阻止由倍周期分叉導(dǎo)致的混沌運動，從而保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，達到合理設(shè)計結(jié)構(gòu)的目的.

1 Tseng W Y，Dugundli J.Nonlinear vibrations of a beam under harmonic excition.ASME.Journal of Applied Mechanics，1971，38（3）：467～476

2 Emam A，Nayfeh A H.On the nonlinear dynamics of a buckled beam subjicted to a primary-resonance excitation.Nonlinear Dynamics，2004，35：1～17

3 Kreider W，Nayfeh A H.Experimental investigation of single-mode responses in a fixed-fixed buckled beam.Nonlinear Dynamics，1998，15：155～177

4 季進臣，陳予恕.參激非線性振子不穩(wěn)定區(qū)域的實驗研究.振動工程學(xué)報，1997，10：491～495（Ji JC，Chen Y S.The experimental study on the unstable area of the parameter excited nonlinear oscillator.Journal of Engineering Vibration，1997，10：491～495（in Chinese））

5 姚志剛，張萌，張偉.壓電復(fù)合材料梁的全局分叉、混沌動力學(xué)分析.動力學(xué)與控制學(xué)報，2011，9（3）：207～213（Yao Z G，Zhang M，Zhang W.Global bifurcation and chaotic dynamics of laminated composite piezoelectric beam.Journal of Dynamics and Control，2011，9（3）：207～213（in Chinese））

6 Ozkaya E，Sarigul M，Boyaci H.Nonlinear transverse vibrations of a slightly curved beam carrying a concentrated mass.Acta Mechanica Sinica，2009，26（6）：871～882

7 Satio H，Sato K，Yutani T.Non-linear forced vibrations of a beam carrying concentrated mass under gravity.Journal of Sound and Vibration，1976，46（4）：515～525

8 傅衣銘.結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)分析.廣州：暨南大學(xué)出版社，1997（Fu Y M.The analysis of nonlinear dynamics of structures.Guangzhou：Jinan University Press，1997（in Chinese） ）