譚寧 盧勃勃 陳玲莉 吳瑩

（西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點實驗室，西安 710049）

引言

先進(jìn)超導(dǎo)托卡馬克實驗裝置（Experimental Advanced Superconducting Tokamak，簡稱EAST）是國家“九五”重大科學(xué)工程項目.EAST主機(jī)裝置主要由超導(dǎo)極向場磁體、超導(dǎo)縱場磁體、真空室、內(nèi)外冷屏、外真空杜瓦及支撐結(jié)構(gòu)等幾大部件組成.冷質(zhì)量支撐系統(tǒng)是超導(dǎo)耦合磁體系統(tǒng)中的關(guān)鍵部件，要能夠承受磁體在各種狀況下施加在耦合磁體上的軸向作用力、磁體自身重力和冷卻過程中的熱應(yīng)力［1-6］.我國科學(xué)家針對我國的托克馬克裝置EAST的支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計了兩種支撐方案，圓桿式柔性結(jié)構(gòu)支撐和板式柔性結(jié)構(gòu)支撐［3-6］.支撐系統(tǒng)除了在靜載荷條件下要有足夠的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性外，還要解決運行時的熱負(fù)荷、電磁力以及熱脹冷縮引起的熱應(yīng)力所帶來的影響.超導(dǎo)托卡馬克實驗裝置在穩(wěn)態(tài)運行時的特點是縱場系統(tǒng)處于液氦的低溫狀態(tài)，支撐系統(tǒng)是連接縱場系統(tǒng)和基座的橋梁，這就導(dǎo)致支撐系統(tǒng)在工作過程中一端處于低溫，而另一端處于室溫，使整個支撐由下向上存在著一個溫度梯度.而且，整個裝置從開始到穩(wěn)定工作的過程中，縱場系統(tǒng)從室溫到低溫不斷變化.

結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性問題長期以來一直受到人們的廣泛重視，由于時間參數(shù)的引入，使得問題變得復(fù)雜.在周期性載荷作用下，當(dāng)壓桿的自振頻率與外載荷的強(qiáng)迫振動頻率非常接近時，壓桿將產(chǎn)生強(qiáng)烈的共振現(xiàn)象.前蘇聯(lián)學(xué)者B.B.鮑洛金在其著作《彈性體系的動力穩(wěn)定性》中給出了較全面的分析和論述，指出在周期相同的解之間存在著不穩(wěn)定區(qū)域，區(qū)分穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)方程是一個周期性方程，即Mathieu-Hill方程［7］.但是對于大變形的幾何非線性壓桿，微分方程非常復(fù)雜.近些年來，常見結(jié)構(gòu)單元如桿、梁等在軸向周期載荷作用下的振動特性及動力屈曲問題受到廣泛研究［8-12］.本文以托卡馬克裝置圓桿式冷質(zhì)量支撐結(jié)構(gòu)中的壓桿為研究對象，其一端作用有軸向載荷.當(dāng)整個裝置從開始到穩(wěn)定工作的過程中，假設(shè)溫度從室溫到低溫進(jìn)行周期性變化，討論壓桿在此種工況下的振動穩(wěn)定區(qū)域及失穩(wěn)臨界條件.本文依據(jù)Hamilton原理建立了壓桿在周期性溫度載荷作用下的橫向振動方程.根據(jù)Floquet理論，討論了方程的動力學(xué)穩(wěn)定性，得到了第一、二不穩(wěn)定區(qū)域邊界；研究了阻尼對不穩(wěn)定區(qū)域大小的影響，隨著阻尼的增加，壓桿的穩(wěn)定區(qū)域較無阻尼時不斷增加，而在某些不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)并不能單純依靠增加阻尼來獲得動力學(xué)穩(wěn)定.隨后我們引入狀態(tài)反饋控制項，在較大的控制參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)處于原不穩(wěn)定區(qū)域的狀態(tài)被穩(wěn)定了下來.

1 控制方程

根據(jù)文獻(xiàn)［4-6］，考慮壓桿的長度、直徑之比值及結(jié)構(gòu)特點，把壓桿簡化為一個桿長為的等截面彈性細(xì)長桿，如圖1所示，在桿頂端作用有軸向載荷P0.

圖1 壓桿模型示意圖Fig.1 The sketch map of a compress rod model

由于超導(dǎo)托克馬克裝置冷質(zhì)部件支撐系統(tǒng)在工作過程中一端處于極低溫度4.5-80K，而另一端處于室溫（300K），因此整個支撐由下向上存在著一個溫度梯度.而且，當(dāng)整個裝置從開始到穩(wěn)定工作的過程中，縱場系統(tǒng)從室溫到低溫不斷變化.現(xiàn)在假設(shè)溫度場呈周期性變化并且僅沿桿軸線升溫，為簡化分析，溫度梯度函數(shù)可設(shè)為

圖2 線膨脹系數(shù)隨溫度T的變化（右圖來自文獻(xiàn)［13］）Fig.2 The curve of linear expansion coefficient of temperature T（figure（b）is from Ref.［13］）

超導(dǎo)托克馬克裝置冷質(zhì)部件支撐結(jié)構(gòu)采用奧氏體不銹鋼材料304（316LN）.根據(jù)實驗報道，奧氏體不銹鋼材料在5-300K的溫度區(qū)間內(nèi)，其線膨脹系數(shù)α隨溫度T呈非線性變化［13］.我們根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制擬合線膨脹系數(shù)α隨溫度的變化曲線，如圖2，得到擬合表達(dá)式如下：

表1 α（T）表達(dá)式中各參數(shù)的取值Table 1 Values of the parameters in the expression ofα（T）

以桿剖面中心線為x軸，橫向為y軸，設(shè)桿在主平面（x，y）內(nèi)運動.記桿剖面中心線的軸向位移和橫向撓度分別為u（x，t）和w（x，t）.采用大位移小變形假設(shè)下的Von Karman非線性應(yīng)變位移關(guān)系，同時忽略剪切變形，得到軸向應(yīng)變

記阻尼系數(shù)為C，桿橫截面面積、慣性矩、密度分別為A、I、ρ.小變形假設(shè)下，材料服從Hooke定律，有

忽略縱向位移的慣性力影響，忽略軸向和轉(zhuǎn)動慣性力，根據(jù)Hamilton原理可得到描述壓桿橫向振動微分方程

由（1）可得

其中，T0為與初始條件相關(guān)的積分常數(shù).

把式（6）、（2）代入式（5）并忽略小量，整理得到

采用Galerkin方法對方程（7）進(jìn)行分析.參考文獻(xiàn)［14］，模態(tài)函數(shù) φm（x）取為：

其中，

取w（x，t）＝fm（t）φm（x），僅截斷到一階模態(tài)，即m＝1，整理得到

引入固有頻率

定義

得到以下形式的方程

定義

得到無量綱方程

其中μ為激振參數(shù)，Ω0為壓桿在載荷定值分量作用下的振動頻率，ζ為無量綱阻尼系數(shù).

2 穩(wěn)定性分析

現(xiàn)在討論方程（15）的穩(wěn)定區(qū)域及失穩(wěn)臨界條件.根據(jù)Floquet理論，當(dāng)方程系數(shù)滿足一定的關(guān)系時，系統(tǒng)可存在周期Ω和2Ω的周期運動，其中Ω動力不穩(wěn)定區(qū)域與穩(wěn)定區(qū)域被具有周期Ω和2Ω的周期解給分隔開，對應(yīng)于不穩(wěn)定區(qū)域邊界的外載荷頻率被稱為臨界頻率.

設(shè)周期為2Ω的周期解的一般形式為：

取n＝1，得到臨界頻率方程：

由式（17）可得到壓桿第一不穩(wěn)定區(qū)域，其邊界近似值為：

當(dāng)冷質(zhì)部件支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計完成以后，從式（14）可以看出，此時壓桿在載荷定值分量作用下的振動頻率Ω0是確定的.那么，為保證壓桿穩(wěn)定，外激勵的頻率ω應(yīng)滿足以下條件

當(dāng)ζ＝0時，得到無阻尼時壓桿的穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域，不穩(wěn)定區(qū)域由曲線包圍.增加阻尼，得到當(dāng) ζ＝0.1，0.3，0.5時壓桿的穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域，如圖3（b）所示.隨著阻尼的增加，壓桿的穩(wěn)定區(qū)域較無阻尼時不斷增加；而不穩(wěn)定區(qū)域的依然存在提示我們，此處阻尼的作用并不同于線性阻尼對強(qiáng)迫振動的抑制作用.

圖3 壓桿在不同阻尼下的第一類不穩(wěn)定區(qū)域邊界Fig.3 The first category of unstable region boundary of compress rod under different damping

進(jìn)一步分析（19），當(dāng)時，由式（18a）確定的臨界曲線不斷左移，使得左側(cè)穩(wěn)定區(qū)域不斷縮小，式（18）確定的兩條臨界曲線匯交于一點

在時，匯交點坐標(biāo)為

類似的，我們分析了壓桿在不同阻尼下的第二類不穩(wěn)定區(qū)域邊界.設(shè)周期為Ω的周期解的一般形式為：

得到臨界頻率方程：

得到壓桿第二不穩(wěn)定區(qū)域邊界的近似值為：

故為保證壓桿穩(wěn)定，外激勵的頻率ω應(yīng)滿足以下條件

當(dāng)ζ＝0時，得到無阻尼時壓桿的穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域，不穩(wěn)定區(qū)域由曲線＝1包圍.增加阻尼，得到當(dāng) ζ＝0.1，0.3，0.5時壓桿的穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域，如圖4（b）所示.隨著阻尼的增加，壓桿的穩(wěn)定區(qū)域較無阻尼時不斷增加.當(dāng)時，由式（23a）確定的臨界曲線不斷左移，使得左側(cè)穩(wěn)定區(qū)域不斷縮小，由式（23）確定的兩條臨界曲線匯交于一點.

在時，匯交點坐標(biāo)為

圖4 壓桿在不同阻尼下的第二類不穩(wěn)定區(qū)域邊界Fig.4 The second category of unstable region boundary of compress rod under different damping

3 狀態(tài)反饋控制分析

給方程（15）加一個狀態(tài)反饋控制函數(shù)H，則系統(tǒng)控制方程成為

其中為反饋系數(shù).

同樣根據(jù)Floquet理論，得到系統(tǒng)（26）的動力不穩(wěn)定區(qū)域與穩(wěn)定區(qū)域.由臨界頻率方程

解得第一類不穩(wěn)定區(qū)域的邊界近似值為：

由臨界頻率方程

解得第二類不穩(wěn)定區(qū)域的邊界近似值為：

圖5給出了當(dāng)ζ＝0.3，μ＝1時控制系統(tǒng)的第一類、第二類動力不穩(wěn)定區(qū)域.由式（18b）和式（23b）可知，原系統(tǒng)在＜0.906時均處于不穩(wěn)定狀態(tài)，圖5則展示了在較大的控制參數(shù)范圍內(nèi)不穩(wěn)定狀態(tài)被穩(wěn)定了下來.

圖5 當(dāng)ζ＝0.3，μ＝1時控制系統(tǒng)的第一類、第二類動力不穩(wěn)定區(qū)域Fig.5 The first and the second category instability region of the control system whenζ＝0.3，μ＝1

4 結(jié)束語

冷質(zhì)量支撐系統(tǒng)是超導(dǎo)托卡馬克裝置的一個關(guān)鍵部件，其在工作過程中一端處于低溫而另一端處于室溫，整個裝置從開始到穩(wěn)定工作的過程中，縱場系統(tǒng)從室溫到低溫不斷變化.本文以托卡馬克裝置圓桿式冷質(zhì)量支撐結(jié)構(gòu)中的壓桿為研究對象，建立了壓桿在周期性溫度載荷作用下的橫向振動方程，討論了其動力穩(wěn)定性，得到了其第一、二不穩(wěn)定區(qū)域邊界.研究了阻尼對不穩(wěn)定區(qū)域大小的影響，隨著阻尼的增加，壓桿的穩(wěn)定區(qū)域較無阻尼時不斷增加，而在某些不穩(wěn)定區(qū)域并不能單純依靠增加阻尼來獲得動力學(xué)穩(wěn)定.隨后我們引入狀態(tài)反饋控制項，在較大的控制參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)處于原不穩(wěn)定區(qū)域的狀態(tài)被穩(wěn)定了下來.

1 Doshi B，Caipin Z，et al.ITER Cryostat-An overview and design progress.Fusion Engineering and Design，2011，86：1924～1927

2 Tado S，Kitamura K，et al.Dynamic analysis of the tokamak support system in ITER.Fusion Engineering and Design，1998，41：421～429

3 潘皖江，武松濤，陳先忠.EAST超導(dǎo)托卡馬克裝置主機(jī)支撐結(jié)構(gòu)極低溫條件下應(yīng)力應(yīng)變分析.低溫與超導(dǎo)，2005，33（3）：29～33（Pan W J，Wu S T，Chen X Z.Stress analysis of the cryogenic support in the EAST superconducting Tokamak device.Cryogenics and Superconductivity，2005，33（3）：29～33（in Chinese））

4 陳先忠，武松濤.有限元在桿式支撐結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中的應(yīng)用.核技術(shù)，2004，27（7）：557～560（Chen X Z，Wu S T.Application of finite element to the analysis of the bacilliform support structure.Nuclear Techniques，2004，27（7）：557～560（in Chinese））

5 陳先忠，武松濤.HT-7U超導(dǎo)托卡馬克冷質(zhì)部件支撐結(jié)構(gòu)分析.核科學(xué)與工程，2003，23（2）：161～164（Chen X Z，Wu S T.Analysis of cryogenic support system for HT-7U superconducting tokamak.Chinese Journal of Nuclear Science and Engineering，2003，23（2）：161～164（in Chinese））

6 陳先忠，武松濤.HT-7U超導(dǎo)托卡馬克冷質(zhì)部件支撐結(jié)構(gòu)方案.核聚變與等離子體物理，2003，23（2）：124～128（Chen X Z，Wu S T.Project of cryogenic support system for the HT-7U superconducting Tokamak.Nuclear Fusion and Plasma Physics，2003，23（2）：124～128（in Chinese））

7 鮑洛金ВВ.彈性體系的動力穩(wěn)定性.林硯田，姚肇寧譯，北京：高等教育出版社，1960（Boliton B B.The dy-namic stability of elastics systems.Tanslated by Lin Yantian and Yao zhaoning，Beijing：Higher Education Press，1960（in Chinese））

8 陳立群，程昌鈞.非線性粘彈性柱的穩(wěn)定性和混沌運動.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2000，21（9）：890～896（Chen L Q，Cheng C J.Stability and chaoticmotion in columns of nonlinear viscoelastic material.Applied Mathematics and Mechanics，2000，21（9）：890～896（in Chinese））

9 張善元，程國強(qiáng)，韓志軍.彈性桿穩(wěn)定性動力分析與應(yīng)力波加載桿的動力屈曲.太原理工大學(xué)學(xué)報，2005，36（2）：111～114，122（Zhang SY，Cheng G Q，Han Z J.Dynamic analysis of stability of elastic bars and its stress wave induced buckling.Journal of Taiyuan University of Technology，2005，36（2）：111～114，122（in Chinese））

10 王春妮，李世榮.熱載荷作用下梁的主參數(shù)共振及其控制.蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2009，35（4）：166～172（Wang C N，Li S R.Primary parametric resonance and control of beams subjected to thermal shock load.Journal of Lanzhou University of Technology，2009，35（4）：166～172（in Chinese））

11 肖剛，李四平.直桿動力屈曲的計算機(jī)模擬，上海交通大學(xué)學(xué)報，2008，42（6）：1005～1008（Xiao G，Li S P.Computer simulation of dynamical buckling for rod.Journal of Shanghai Jiaotong University，2008，42（6）：1005～1008（in Chinese））

12 Esfahani SE，Kiani Y，Eslami M R.Non-linear thermal stability analysis of temperature dependent FGM beams supported on non-linear hardening elastic foundations.International Journal of Mechanical Sciences，2013，69：10～20

13 范光漢譯.奧氏體不銹鋼和鈦合金在5～300K的熱性參數(shù).低溫與特氣，1986，1：51，52～53（Skibina L V，Llichey V Ya，et al.Thermal expansion of the austenitic stainless and titanium alloys in the temprature range 5～300K.Cryogenics，1985，25（1）：31～32（in Chinese））

14 劉延柱，陳文良，陳立群.振動力學(xué).北京，高等教育出版社，2000（Liu Y Z，Chen W L，Chen LQ.Mechanic of vibration.Beijing：Higher Education Press，2000（in Chinese） ）