邊菁 徐鑒

（同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

引言

實際工程中很多結(jié)構(gòu)是以梁、板等結(jié)構(gòu)組成.這些結(jié)構(gòu)中為了限制結(jié)構(gòu)件的大幅振動、防止結(jié)構(gòu)破壞，往往會安裝一些限位器.例如為提高橋梁的抗震性能并且減小振動幅值而安裝的限位器，以及如何適當?shù)陌惭b限位器［1］.另外，機械系統(tǒng)中大量使用的含間隙的零部件都可以使用限位器力學(xué)模型，如齒輪嚙合間隙、松動的螺絲等.

針對上述類型的工程結(jié)構(gòu)，本文從實驗角度出發(fā)，研究限位器對懸臂梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)效應(yīng).近幾年，帶有限位器的力學(xué)結(jié)構(gòu)研究已經(jīng)成為國內(nèi)外學(xué)術(shù)界關(guān)注的熱點之一.目前已有的文獻中，多數(shù)含有間隙的結(jié)構(gòu)的理論模型被簡化為有限自由度［2-5］，文獻［2］將含間隙及集中質(zhì)量的懸臂梁的動力學(xué)模型簡化為單自由度和2自由度，并進行了穩(wěn)定性分析，提出了保持系統(tǒng)穩(wěn)定性和周期性需要重點考慮的系統(tǒng)參數(shù).文獻［3］使用有限元方法建立了梁碰撞的多自由度等效模型并與單自由度模型進行比較，得出單自由度模型大體上能夠較好的反應(yīng)系統(tǒng)的非線性特性.文獻［6］使用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法得到了系統(tǒng)各階固有頻率下的模態(tài)函數(shù)，研究結(jié)果表明間隙產(chǎn)生的碰撞主要改變了系統(tǒng)的低階模態(tài)，系統(tǒng)的高階模態(tài)可以使用線性的理論.文獻［7］使用數(shù)值方法研究限位器產(chǎn)生的非線性效應(yīng)，并對間隙結(jié)構(gòu)的非線性參數(shù)進行了辨識.文獻［8］使用Hamilton原理建立了受基礎(chǔ)激勵的剛彈耦合的質(zhì)量擺模型，表明Hamilton原理適用于含有動位移的邊界條件的連續(xù)體建模.文獻［9］通過實驗分析了帶限位的懸臂梁系統(tǒng)的非線性特性，并且通過實驗研究了接觸剛度、間隙以及接觸材料對系統(tǒng)的影響，同時使用變分原理提高了該數(shù)學(xué)模型的數(shù)值計算效率.在文獻［10］中使用數(shù)值方法分析了含間隙懸臂梁系統(tǒng)在不同參數(shù)下的分岔情況及可能發(fā)生的混沌運動，說明這種非光滑系統(tǒng)存在復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為.文獻［11］對懸臂梁單邊碰撞做了實驗分析并得到了碰撞接觸模型，但條件是微碰撞.

綜上所述，具有限位器結(jié)構(gòu)的動力學(xué)研究已經(jīng)廣泛被學(xué)術(shù)界和工程界所關(guān)注，已有的大部分工作通過理論分析和數(shù)值方法進行的，本文的目的主要是通過實驗手段，觀察帶限位的懸臂梁系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性，重點考察限位器的高度和間隙對懸臂梁系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響規(guī)律以及與多穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系等，與此同時對實驗結(jié)果進行時頻分析，考察在整個掃頻過程中的頻率成分，分析可能存在的混沌運動.

本文的第一部分為實驗設(shè)計介紹，包括實驗裝置，實驗設(shè)備以及實驗參數(shù).第二部分為實驗結(jié)果分析，主要研究懸臂梁系統(tǒng)一階固頻附近的幅頻響應(yīng)，多穩(wěn)態(tài)之間的轉(zhuǎn)換過程以及限位器的位置和懸臂梁多穩(wěn)態(tài)區(qū)域范圍，與限位器接觸時的外激勵頻率的變化關(guān)系等.第三部分為時頻分析以及譜分析，對掃頻過程中所記錄的時間歷程曲線進行時頻分析，考察在整個掃頻過程中的頻率成分及其能量幅值，以及如何從周期到混沌的實驗現(xiàn)象，進一步揭示懸臂梁連續(xù)體模型與間隙系統(tǒng)兩者結(jié)合產(chǎn)生的強非線性效應(yīng).

1 實驗裝置

首先，制作具有限位器的懸臂梁振動系統(tǒng)，如圖1a和1b所示，整個實驗裝置固定在電動振動臺的臺面上（圖1a），垂直懸臂梁一端固定在一個鋁合金平板上，用雙排螺絲將其夾緊；另一端連接加速度傳感器.為使系統(tǒng)平衡，梁兩側(cè)都固定有加速度傳感器，并將其視作附加質(zhì)量.固定在鋁合金板上的限位器的高度和寬度可調(diào)，實驗裝置的細節(jié)圖如圖1b所示，其中：1.電動振動臺系統(tǒng)，包括振動控制系統(tǒng)、功率放大器、振動臺體和熱交換器；2.加速度傳感器采集系統(tǒng)，包括加速度傳感器、信號采集與分析儀和PC機；3.可調(diào)高度位置限位器和間隙寬度的限位器；4.不銹鋼懸臂梁.

圖1 實驗裝置：（a）實驗裝置總體布置圖；（b）實驗裝置細節(jié)圖Fig.1 Experimental device：（a）overview of experimental device；（b）details of experimental device

實驗裝置的參數(shù)如表1所示：

表1 實驗參數(shù)符號的定義和取值Table 1 Symbols and values of the experimental parameters

系統(tǒng)的振動驅(qū)動由振動臺提供，該激振動臺的有效起振頻率為5Hz.在低于5Hz時，振動臺的振幅不穩(wěn)定.外激勵幅值可由控制系統(tǒng)進行調(diào)節(jié)，外激勵頻率可由振動控制儀進行設(shè)置和調(diào)節(jié).振動臺體上固定有加速度傳感器，所以基礎(chǔ)激勵可以及時測得并進行控制.所測得實驗數(shù)據(jù)由信號采集與分析儀記錄、處理.電動振動臺的工作流程如圖2所示，

圖2 振動臺的工作流程圖Fig.2 Scheme of vibration experiment

實驗是通過振動控制儀使基礎(chǔ)的加速度值控制在0.1g.掃頻范圍為5-11Hz左右（懸臂梁一階固有頻率附近）.掃頻速率：0.2Hz/min.

2 實驗結(jié)果

2.1 未加限位器時的幅頻響應(yīng)

首先，在未加限位器時，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線表現(xiàn)出典型的線性動態(tài)系統(tǒng)的特征，如圖3所示，其中橫坐標為外激勵頻率/Hz，縱坐標為懸臂梁自由端加速度幅值/（m/s2）.實驗中使用錘擊法測得懸臂梁的一階頻率為6.24Hz，二階固頻為47.094Hz，三階固頻為140.88Hz.后面的實驗重點是系統(tǒng)在懸臂梁第一階頻率附近的動力學(xué)響應(yīng)，如圖3所示：

圖3 未加限位器的懸臂梁幅頻響應(yīng)圖Fig.3 Amplitude-frequency response of cantilever beam without stoppers

2.2 帶有限位器懸臂梁幅頻響應(yīng)

圖4 帶限位器的懸臂梁幅頻曲線圖（s＝0.1g，Δ＝5mm，L1＝125mm）Fig.4 Amplitude-frequency response of cantilever beam with stoppers（s＝0.1g，Δ＝5mm，L1＝125mm）

首先，固定限位器的位置.限位器到梁固定端距離，即：L1＝125mm，Δ＝5mm，振動臺驅(qū)動外激勵加速度s＝0.1g，通過正向和反向掃頻得到幅頻曲線如圖4所示.其中縱坐標是懸臂梁自由端加速度響應(yīng)，橫坐標是外激勵驅(qū)動頻率，范圍在5Hz-8.5Hz.從圖4可看出，隨著在外激勵頻率從5Hz開始增加，懸臂梁自由端的加速度響應(yīng)沿著圖4的上半支連續(xù)增大，直到外激勵頻率為6.088Hz時，加速度響應(yīng)曲線出現(xiàn)拐點而改變方向，加速度增長速率開始變緩，這時懸臂梁與限位器接觸.進一步增大外激勵頻率直到7.4Hz時，加速度響應(yīng)突然跳躍到一個小的幅值，說明懸臂梁由一個大振幅運動跳躍到小振幅的周期運動.而反向掃頻或者隨著外激勵頻率從8.5HZ持續(xù)減小時，加速度響應(yīng)沿著圖中曲線的下半支緩慢增加，直到6.4Hz時，加速度響應(yīng)突然跳躍到較大的振幅，這個增長的過程并不連續(xù)，是一種跳躍的過程.進一步減少外激勵頻率，加速度響應(yīng)幅值開始減小，直到6.4Hz時曲線出現(xiàn)拐點后繼續(xù)減小.于是，當外激勵頻率在6.4Hz到7.4Hz范圍內(nèi)，加速度響應(yīng)伴隨著跳躍出現(xiàn)兩個穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，這是是非線性振動系統(tǒng)特有的現(xiàn)象之一，說明本文構(gòu)建的實驗系統(tǒng)是非線性動力學(xué)系統(tǒng).

為了考察圖4中表示的不同頻率下懸臂梁的振動特性，分別取外激勵頻率標記在圖4中a，b和c處的三個頻率值：5.5Hz，7.2Hz和8Hz，做定頻激勵以考察懸臂梁自由端處的時間歷程響應(yīng)，等系統(tǒng)運動穩(wěn)定后開始記錄數(shù)據(jù)，如圖5a，5b和5c所示.

圖5 不同外激勵頻率下懸臂梁的時間歷程圖Fig.5 Time histories of the cantilever system versus excitation frequencies

圖5表明對應(yīng)不同的外激勵頻率，懸臂梁的響應(yīng)可以表現(xiàn)為單穩(wěn)態(tài)（圖5a和5c）和雙穩(wěn)態(tài)運動（圖5b）的實驗結(jié)果.雙穩(wěn)態(tài)的出現(xiàn)，即大振幅運動和小振幅運動依賴于懸臂梁的初始狀態(tài)的改變.因此，在懸臂梁振動過程中，對懸臂梁進行擾動，可以改變懸臂梁的振動幅值，可以從大振幅變成小振幅，也可以從小振幅變成大振幅的狀態(tài).為了進一步驗證這樣的結(jié)論，取外激勵頻率分別是6.5Hz和7.3Hz，再一次考察懸臂梁的時間歷程，正如圖6和7所示.圖6a表明初始靜止狀態(tài)的懸臂梁受到外激勵頻率6.5Hz的驅(qū)動，首先進入小振幅周期振動，運動進入穩(wěn)態(tài)后在某一時候加以一個沖擊擾動后，經(jīng)過一段時間穩(wěn)定后，振動幅值變大，對應(yīng)于圖4中從下半支跳到上半支.圖6b表明了相反的過程.外激勵頻率為7.3HZ時類似的實驗結(jié)果表明在圖7中.圖4-7表明了典型的非線性振動特征，實驗結(jié)果意味著適當?shù)臄_動可以抑制振動幅值，對工程應(yīng)用中的減振控制有重要的參考價值.

圖6 懸臂梁的雙穩(wěn)態(tài)（ω＝6.5Hz）Fig.6 Time histories of the cantilever system（ω＝6.5Hz）

圖7 懸臂梁的時程圖（ω＝7.3Hz）Fig.7 Time histories of the cantilever system（ω＝7.3Hz）

2.3 限位器的高度L1對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響

情形1固定限位器寬度Δ＝2.5mm

這部分主要的研究內(nèi)容是固定Δ，在不同L1時，比較懸臂梁的幅頻曲線，包括懸臂梁與限位器接觸時的參數(shù)取值，多穩(wěn)態(tài)區(qū)域范圍以及跳躍點位置.首先固定限位器寬度Δ＝2.5mm，外激勵加速度為0.1g時，然后調(diào)節(jié)限位器高度L1.將加速度轉(zhuǎn)化為位移得到圖8：

圖8 懸臂梁的一組幅頻響應(yīng)曲線（Δ＝2.5mm）Fig.8 A series of amplitude-frequency response curves（Δ＝2.5mm）

圖8為Δ＝2.5mm時，取不同L1得到的懸臂梁在其線性一階固頻附近正掃和反掃的幅頻響應(yīng)曲線的實驗數(shù)據(jù)圖.橫坐標為外激勵頻率/Hz，縱坐標為懸臂梁自由端端點的位移幅值/m.圖8中的不同顏色的曲線代表不同的L1的取值，由高到低L1依次增大.同時，同一種顏色分為正掃和反掃兩種掃頻方式.由圖8可以明顯的看出，隨著L1的逐漸增大，懸臂梁的振動幅值受到限位器的限制而逐漸減小.除個別曲線外（綠色、黑色、黃色），跳躍點的位置也隨之向后移動；同時，多穩(wěn)態(tài)的區(qū)間范圍也逐漸增大.同時可以看出，當限位器放置在較低的位置時，如圖8中的黃色曲線（L1＝225mm），懸臂梁此時已不是周期運動，其運動情況十分復(fù)雜，幅值差別較大.為進一步的分析多穩(wěn)態(tài)區(qū)域范圍與L1之間的關(guān)系以及外激勵頻率與L1之間的關(guān)系，將Δ分別取3/4mm時，然后進一步的對這些規(guī)律進行分析.

情形2固定限位器寬度Δ＝3mm

將 Δ固定為3mm，s為0.1g，然后調(diào)節(jié)L1，得到懸臂梁的幅頻曲線如圖9.

圖9中的不同顏色的曲線代表不同的L1的取值.由圖9同樣可以看出，隨著L1的逐漸增大，懸臂梁的振動幅值受到限位器的限制而逐漸減小.除去綠色和黃色曲線，跳躍點的位置都隨L1的增大而向后移動，多穩(wěn)態(tài)的區(qū)間范圍也逐漸增大.同時可以看出，和圖7一樣，當限位器放置在較低的位置時，如黃色曲線（L1＝225mm），懸臂梁的運動變得復(fù)雜.

圖9 懸臂梁的一組幅頻響應(yīng)曲線（Δ＝3mm）Fig.9 A series of amplitude-frequency response curves（Δ＝3mm）

情形3固定限位器寬度Δ＝4mm

將 Δ固定為4mm，s為0.1g，然后調(diào)節(jié)L1，得到的懸臂梁的幅頻曲線圖10.

圖10 懸臂梁的一組幅頻響應(yīng)曲線（Δ＝4mm）Fig.10 A series of amplitude-frequency response curves（Δ＝4mm）

同樣的，圖10中的不同顏色的曲線代表不同的L1的取值，曲線由高到低表示L1的取值依次增大.可以看出隨著L1的逐漸增大，懸臂梁的振動幅值受到限位器的限制而逐漸減小.除去粉色曲線，跳躍點的位置都隨L1的增大而向后移動，多穩(wěn)態(tài)的區(qū)間范圍也逐漸增大，此時的關(guān)系變化較為明顯.同樣可以看出，當限位器放置在較低的位置時，如黃色曲線（L1＝225mm），懸臂梁的運動變得復(fù)雜，已不是周期運動.

為進一步分析懸臂梁與限位器接觸時外激勵的頻率和L1的變化關(guān)系，以及懸臂梁幅頻曲線中多穩(wěn)態(tài)的范圍與L1的關(guān)系，將圖8、9、10中的每條曲線的幅值的轉(zhuǎn)折點取出，每個點對應(yīng)一個外激勵頻率.將相同的Δ下的外激勵頻率值繪制成一條曲線，得到外激勵頻率與L1的關(guān)系如圖11.

圖11 ω與L1的關(guān)系（Δ＝2.5/3/4mm）Fig.11 Relationships betweenωand L1（Δ＝2.5/3/4mm）

圖11為Δ分別為2.5/3/4mm時，調(diào)節(jié)L1時，懸臂梁與限位器接觸時外激勵頻率的取值.縱坐標為L1的取值/m；橫坐標為懸臂梁與限位器接觸時對應(yīng)的外激勵的頻率/Hz.由圖11可以看出，Δ固定時（2.5mm），L1的取值越小，即限位器放置在離懸臂梁固定端較近的位置時，懸臂梁與限位器接觸時的外激勵頻率越高.意味著限位器放置的越高，需要外激勵頻率接近其一階固頻6.25Hz時，懸臂梁才會與限位器接觸.這種結(jié)論在不同的Δ時，同樣成立.取Δ＝3/4mm時，曲線的變化情況大致相同：如圖11中綠色和紅色曲線所示.

圖11中的藍色曲線的Δ＝2.5mm，是由離散的實驗數(shù)據(jù)繪制成的曲線.對其進一步的分析，得到圖12中的響應(yīng)的擬合曲線以及對應(yīng)的方程，圖中橫坐標為L1/mm的取值，縱坐標為外激勵頻率/Hz.如圖12：

圖12 ω與L1的關(guān)系（Δ＝2.5mm）Fig.12 Relationships betweenωand L1（Δ＝2.5mm）

圖12中紅色曲線為擬合出的ω與L1之間的含三次項的曲線關(guān)系.藍色點為實驗數(shù)據(jù)，每個點表示在某個L1時，懸臂梁剛好與限位器接觸時的外激勵頻率，即幅頻曲線中的幅值的轉(zhuǎn)折點的橫坐標取值.通過比較紅色和藍色曲線可知，該擬合曲線已足夠達到需要的精度.方程中的y為外激勵頻率，x為限位器高度.此方程可作為懸臂梁與限位器接觸條件的判據(jù).在進行理論計算時，可帶入上圖中點的位移幅值作為剛度分段的依據(jù).

從圖8、9、10中得到的L1與幅頻曲線中多穩(wěn)態(tài)區(qū)域范圍的關(guān)系如圖13所示.圖13中橫坐標為L1的取值，縱坐標為對應(yīng)的不同的L1條件下，多穩(wěn)態(tài)區(qū)域的范圍（the frequency range of multi-stable state），簡寫做FRMS/Hz.圖中，三條曲線表示三種不同的Δ取值.

圖13 多穩(wěn)態(tài)區(qū)域與L1之間的關(guān)系Fig.13 Relationships between FRMS and L1

圖13可以看出，在L1小于115mm時，F(xiàn)RMS與L1成正比，在接近梁的中間位置（125-165mm）時，藍色曲線（Δ＝2.5mm）中，F(xiàn)RMS隨L1的變化并沒有統(tǒng)一的規(guī)律，尤其是在125-165mm范圍內(nèi)比較復(fù)雜.紅色曲線中的兩個點（L1＝105mm、205mm）與其余兩條曲線不同，比較特殊.其余的兩條曲線的變化規(guī)律比較相似，總體上將，都是隨L1的增加，F(xiàn)RMS成上升趨勢.特別的，當L1＝205mm時，藍色與綠色曲線達到其最大值，但紅色曲線卻突然下降.另外，在限位器放置在225mm時，F(xiàn)RMS都回到一個固定的值2.1Hz.

總體上，實驗結(jié)果的得到FRMS的值與L1的關(guān)系比較復(fù)雜，沒有統(tǒng)一的關(guān)系.可見，在實驗中得到的結(jié)果比預(yù)期的復(fù)雜.

2.4 限位器的寬度Δ對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響

這部分主要的研究內(nèi)容為調(diào)節(jié)不同限位器寬度Δ，研究方法與上節(jié)內(nèi)容相同，即比較一組懸臂梁的幅頻曲線中所展示的非線性現(xiàn)象.包括懸臂梁與限位器接觸時的參數(shù)取值，多穩(wěn)態(tài)區(qū)域范圍以及跳躍點位置.在這個過程中，每一組幅頻曲線的L1固定，Δ變化，一共得到三組幅頻曲線.具體實驗參數(shù)取值為：L1＝85mm，s＝0.1g，調(diào)節(jié)限位器寬度 Δ.得到圖14.同理，L1分別取95/105mm時，得到圖15和圖16.圖中橫坐標為外激勵頻率/Hz，縱坐標為懸臂梁自由端的位移幅值.

圖14 懸臂梁的幅頻響應(yīng)圖（L1＝85mm，Δ＝2/3/4/5mm）Fig.14 Amplitude-frequency response curves（L1＝85mm，Δ＝2/3/4/5mm）

圖15 懸臂梁的幅頻響應(yīng)圖（L1＝95mm，Δ＝2/3/4/5mm）Fig.15 Amplitude-frequency response curves（L1＝95mm，Δ＝2/3/4/5mm）

圖16 懸臂梁的幅頻響應(yīng)圖（L1＝105mm，Δ＝2/3/4/5mm）Fig.16 Amplitude-frequency response curves（L1＝105mm，Δ＝2/3/4/5mm）

從圖14、15、16可以看出，Δ越小，懸臂梁的振動幅值會相應(yīng)的受到限制進一步減?。粦冶哿号c限位器接觸時的ω也隨Δ的增大而增大，逐漸向一階固頻6.25Hz靠近.同時對三張圖進行比較可以看出，圖中幅頻曲線中對應(yīng)的多穩(wěn)態(tài)的范圍也和Δ有著明顯的變化關(guān)系，除了圖15中的黑色曲線，其余各圖中的每條曲線的多穩(wěn)態(tài)范圍都是隨著Δ的減小而增大.

為了進一步分析懸臂梁與限位器接觸時ω取值情況，將以上三張幅頻曲線圖中懸臂梁與限位器恰好接觸時的點取出，得到三簇不同的Δ時，懸臂梁與限位器接觸時的ω取值.目的是要考察在固定L1的情況下，Δ與ω之間的變化關(guān)系，如圖17所示，圖中橫坐標為Δ/mm；縱坐標為懸臂梁恰好與限位器接觸時的ω/Hz.圖17中的三條曲線表示L1分別為85/95/105mm時，接觸點的外激勵頻率與Δ之間的關(guān)系.

圖17 ω與Δ之間的關(guān)系Fig.17 Relationships betweenωandΔ

由圖17中的藍色曲線的變化趨勢可知：當L1固定時（85mm），Δ越大，懸臂梁與限位器接觸時的外激勵頻率越高，即限位器越寬，需要外激勵頻率接近其一階固頻6.25Hz時，懸臂梁才會與限位器接觸.取時L1＝95/105mm時，曲線的變化情況大致相同，總體上成上升趨勢.說明這種變化趨勢在不同的L1時，同樣成立.

進一步考察本節(jié)實驗結(jié)果中，多穩(wěn)態(tài)區(qū)域的范圍大小與Δ之間的變化關(guān)系.從圖14、15、16中可以得到每個幅頻曲線中的多穩(wěn)態(tài)的范圍寬度（FRMS），將相同的L1中的實驗數(shù)據(jù)繪制成一條曲線，一共可以得到三條曲線.進行總結(jié)，得到圖18：

圖18 多穩(wěn)態(tài)區(qū)域與Δ之間的關(guān)系Fig.18 Relationships between FRMSandΔ

圖18為Δ與FRMS之間的關(guān)系.橫坐標為可調(diào)參數(shù)Δ的取值/mm，縱坐標為對應(yīng)的FRMS/Hz.由圖18可以知，除去圖中的綠色曲線中的一個點（Δ＝5mm），F(xiàn)RMS與 Δ有明顯的關(guān)系，即隨著Δ的增大，F(xiàn)RMS逐漸減小.在不同的L1（85/105mm）時，這種變化關(guān)系都成立.

2.5 限位器對懸臂梁動力學(xué)行為影響的分析

分別調(diào)節(jié)L1與Δ，得到了不同情況下的帶限位的懸臂梁的幅頻曲線圖，并得到一些L1和Δ對這種懸臂梁動力學(xué)行為影響的規(guī)律，主要有以下幾個方面：

限位器能很好的限制懸臂梁振動幅值，限位器放置的位置越低寬度越窄，懸臂梁的振動幅值越小.但限位器會帶來一些非線性的動力學(xué)行為，如多穩(wěn)態(tài)、跳躍等.增加了對該系統(tǒng)進行控制、減振的難度，但也可利用這些非線性現(xiàn)象進行減振控制.

限位器的高度L1與多穩(wěn)態(tài)區(qū)域范圍的大小關(guān)系復(fù)雜，總體來講隨著L1的增大，多穩(wěn)態(tài)的區(qū)域變寬，但在L1接近自由端端點時，多穩(wěn)態(tài)的區(qū)域范圍回到一個固定的值.另外，L1越大，懸臂梁與限位器接觸時的外激勵頻率越小.

限位器的寬度Δ與系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)范圍的關(guān)系十分明顯.總的來講，Δ越小，多穩(wěn)態(tài)的范圍越大.另外，Δ增大時，懸臂梁與限位器接觸時的外激勵頻率越大，接近懸臂梁的一階固頻6.25Hz.

3 時頻分析

取L1＝125mm，Δ＝2.5mm，s＝0.1g，得到懸臂梁的幅頻曲線如圖19.由于本節(jié)的考察內(nèi)容主要外激勵頻率從小到大變化時，懸臂梁與限位器接觸后的復(fù)雜動力學(xué)行為，所以只需分析正掃過程.如圖19所示，為懸臂梁的振動幅值隨外激勵增大時的變化曲線.橫坐標為外激勵頻率/Hz，縱坐標為懸臂梁自由端加速度幅值/（m/s2）.由圖可知，在6.7Hz與8Hz附近，懸臂梁并非做周期運動，而是呈現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為.為了進一步的分析，在掃頻過程中使用信號采集儀記錄整個掃頻過程中懸臂梁自由端的時間歷程，并進行時頻分析，即分析整個隨外激勵頻率變化的時間歷程圖的頻率成分及其能量幅值，得到圖20.

圖20中的橫坐標表示的是外激勵頻率/Hz由大到小變化的過程；縱坐標為對懸臂梁自由端響應(yīng)的時間歷程進行時頻分析后響應(yīng)中包含的全部頻率成分/Hz.顏色的亮度代表該頻率下的能量幅值的大小，紅色部分表示幅值最大，藍色部分表示幅值接近零.由圖20可知，在外激勵頻率小于6Hz時，懸臂梁并未與限位器接觸，所以響應(yīng)中只含有外激勵的頻率，幾乎沒有其它的頻率成分，這時系統(tǒng)是典型的線性系統(tǒng).當外激勵頻率從6Hz開始逐漸增大時，響應(yīng)中開始包含其它的頻率成分，如三倍頻，五倍頻等，表現(xiàn)為在圖20中，橫坐標從6Hz開始從一條線分為很多條線，表示此時響應(yīng)中含有不同的倍頻成分，且吸收了部分的能量，已不能忽略.值得注意的是在6.75Hz附近的頻率成分十分復(fù)雜，已不是離散的線，同時在7.8Hz-8.1Hz的變化過程中可明顯的看出響應(yīng)的頻率成分已從離散變?yōu)檫B續(xù)，同時分布在整個頻率段上（0-150Hz）.

圖19 幅頻響應(yīng)曲線圖（L1＝125mm，Δ＝2.5mm，s＝0.1g，正掃）Fig.19 Amplitude-frequency response curve（L1＝125mm，Δ＝2.5mm，s＝0.1g，forward）

圖20 時頻分析Fig.20 Time-frequency analysis

圖21 隨外激勵頻率變化的時間歷程圖Fig.21 Time histories with excitation frequency variation

圖21表示的是外激勵頻率從7.7Hz到8Hz時，懸臂梁自由端處的時間歷程圖，橫坐標為外激勵

圖22 頻譜分析Fig.22 Spectrum analysis

頻率的變化過程/Hz，縱坐標為懸臂梁自由端加速度值/（m/s2）.由于該時程圖是在勻速掃頻（0.2Hz/min）過程中記錄下來的，所以為方便和圖19，20做比較，縱坐標采用外激勵頻率的變化代替時間的變化.從圖中可以看出，在7.7Hz到7.8Hz的掃頻過程中，懸臂梁的響應(yīng)為概周期，可以看出明顯的包絡(luò)線.從7.8Hz開始，系統(tǒng)的響應(yīng)開始變的復(fù)雜，有混沌運動的趨勢.為確定這種變化過程是否為概周期通往混沌的途徑，進一步做頻譜分析，得到不同外激勵頻率下的懸臂梁響應(yīng)的頻譜圖，如圖22（ae）所示.圖22中的頻譜圖分別與圖19，20中的頻率點對應(yīng).

在圖19中選取不同的外激勵頻率下的點，分進行頻譜分析得到圖22a-e.對應(yīng)為a：懸臂梁未與限位器接觸做周期運動，頻譜圖上只有一個主要的頻率（5.5Hz），50Hz是振動臺的一階固頻.b：此時懸臂梁與限位器接觸，從頻譜圖上可以看出，系統(tǒng)做周期運動，但同時含有三倍頻、五倍頻等倍頻成分.c：頻譜圖中倍頻集中了大量的能量，但是開始有不可約的頻率成分進入，在圖19中表現(xiàn)為時間歷程圖中有明顯的包絡(luò)線，為概周期運動；d：從7.8Hz開始，頻率成分開始從離散變?yōu)檫B續(xù)，逐漸進入混動運動；e：頻譜圖上出現(xiàn)連續(xù)普，各種頻率成分都進入到運動中，說明系統(tǒng)此時的狀態(tài)為混沌運動.

圖22a-e展示了帶限位懸臂梁系統(tǒng)從周期到混沌運動的一系列變化過程.說明本文中的分段非光滑系統(tǒng)可以在一定的條件下（限位器位置），產(chǎn)生復(fù)雜的混沌運動.該過程是一個周期到混沌再到跳躍的特殊的非線性現(xiàn)象，有重要的實驗和理論價值.

4 結(jié)論

本文設(shè)計了一個帶限位懸臂梁非光滑系統(tǒng)的實驗裝置，通過大量的實驗考察了不同的限位器高度和寬度對懸臂梁的動力學(xué)行為的影響.得出以下結(jié)論：

（1）懸臂梁與限位器接觸時會產(chǎn)生多穩(wěn)態(tài)的情況，根據(jù)初始條件的不同，在特定頻率區(qū)域內(nèi)，該懸臂梁系統(tǒng)會產(chǎn)生多穩(wěn)態(tài)以及跳躍的非線性現(xiàn)象.

（2）多穩(wěn)態(tài)區(qū)域大小取決于限位器寬度和高度的共同作用，同時得到限位器高度、寬度與多穩(wěn)態(tài)區(qū)域大小的變化關(guān)系.

（3）得到在不同的限位器高度和寬度下，懸臂梁與限位器接觸時的頻率的臨界值，這些曲線可以作為判斷懸臂梁與限位器接觸的判據(jù).

（4）在掃頻過程中記錄了相應(yīng)的時程曲線并進行了時頻分析，得到了隨外激勵頻率變化下系統(tǒng)響應(yīng)的頻率分成的變化趨勢，并得到了由周期運動到混沌再到跳躍的實驗現(xiàn)象.

文章所得到的實驗結(jié)果說明這種非光滑系統(tǒng)存在豐富的強非線性現(xiàn)象，得到的結(jié)論對帶有限位或間隙的連續(xù)體系統(tǒng)有實際的工程指導(dǎo)意義，可為帶限位的懸臂梁系統(tǒng)的減振控制提供實驗依據(jù).

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