孫一杰 張國良 張勝修

（1.第二炮兵工程大學(xué)控制工程系，西安 710025）（2.中國人民解放軍96211部隊(duì)，紅河 654300）

引言

近年來，分散式多智能體協(xié)同控制系統(tǒng)在無人航天器的協(xié)同控制、多機(jī)器人編隊(duì)控制等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，逐漸成為控制理論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、生物學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題.到目前為止，研究人員通過采用圖論、矩陣論、頻域分析方法、李亞普諾夫穩(wěn)定性理論等方法，對(duì)一致性問題進(jìn)行了研究，獲得了許多一階、二階以及高階多智能體系統(tǒng)的一致性標(biāo)準(zhǔn)［1-4］.

以上結(jié)論都是基于同構(gòu)系統(tǒng)，但異構(gòu)系統(tǒng)在工程實(shí)際中廣泛存在.基于以上考慮，Liu研究了離散時(shí)間有界通信時(shí)延下的異構(gòu)多智能體一致性問題［5］.Kaizuka和Tsumura采用參考自適應(yīng)控制方法處理了異構(gòu)多智能體問題［6］.Zheng和Zhu采用圖論和李亞普諾夫方法研究了無向拓?fù)淝闆r下的異構(gòu)多智能體一致性問題［7］.Tian研究了高階未知時(shí)延的異構(gòu)多智能體一致性問題［8］.朱亞錕，關(guān)新平等研究了異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問題［9］.

以上異構(gòu)系統(tǒng)的研究都是集中解決系統(tǒng)是否一致和收斂速度的問題，對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)往往需要知道最終的收斂值，即控制的最終目標(biāo).對(duì)于同構(gòu)系統(tǒng)，現(xiàn)在研究較多的是平均一致性.所謂平均一致性就是所有智能體狀態(tài)收斂到初始狀態(tài)的平均值.針對(duì)同構(gòu)系統(tǒng)的平均一致性問題，取得了許多成果［3，10-13］.在此基礎(chǔ)上，本文研究了異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的一致性收斂問題.通過采用平均一致性的基本思想，得出了系統(tǒng)收斂到一個(gè)給定的最終收斂值的充分條件，并稱之為異構(gòu)系統(tǒng)的廣義平均一致性.本文在文獻(xiàn)［13］基礎(chǔ)上對(duì)異構(gòu)系統(tǒng)的廣義平均一致性進(jìn)行了研究，不同于文獻(xiàn)［13］基于輔助變量的協(xié)議設(shè)計(jì)可以直接給出，該異構(gòu)系統(tǒng)為一階、二階模型的混合，個(gè)體間狀態(tài)存在差異，基于參考變量的協(xié)議設(shè)計(jì)較文獻(xiàn)［13］困難，本文首先對(duì)異構(gòu)系統(tǒng)提出一般一致性協(xié)議，然后對(duì)該協(xié)議進(jìn)行拓展，設(shè)計(jì)基于輔助變量的一致性協(xié)議，最后基于圖論、非負(fù)矩陣?yán)碚?、特征值擾動(dòng)等理論進(jìn)行分析證明，表明該協(xié)議使得異構(gòu)多智能體系統(tǒng)在任意強(qiáng)連通有向圖下達(dá)到廣義平均一致性.該收斂值與采樣時(shí)間間隔T和系統(tǒng)初始值有關(guān)，在采樣時(shí)間間隔的范圍內(nèi)，通過調(diào)整采樣時(shí)間間隔，可以使系統(tǒng)收斂值在一定范圍內(nèi)變化，使系統(tǒng)收斂到該范圍內(nèi)的任意值.

1 問題描述

1.1 預(yù)備知識(shí)

一個(gè)有向圖G＝（v，ε），由頂點(diǎn)集V＝｛1，2，…，n｝，邊集ε?v×v，eij∈ε表示G中i到j(luò)的有向邊，表示節(jié)點(diǎn)j可以獲得節(jié)點(diǎn)i的信息.對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)i∈v，＝｛j∈v：eji∈ε｝表示為入鄰居集｛j∈V：eij∈ε｝表示出鄰居集并且排除自循環(huán)邊，即更新權(quán)重aij滿足，如果j∈否則aij＝0，并且設(shè)A為有向圖G的鄰接矩陣A＝［aij］∈Rn×n，元素為更新權(quán)重.拉普拉斯矩陣定義為L(zhǎng)＝D-A＝［lij］∈Rn×n，D＝diag是度矩陣.則矩陣I-L（當(dāng)∑j∈N+iaij＜1）是非負(fù)矩陣，并且所有行和為1，I-L是行隨機(jī)矩陣.設(shè)矩陣B＝［bih］∈Rn×n，元素為輸出權(quán)重.定義矩陣則矩陣E非負(fù)矩陣且每一個(gè)列和為1，則為列隨機(jī)矩陣.在有向圖G中從節(jié)點(diǎn)i1到is是一個(gè)邊的序列ei1i2，…，eis-1isij∈V.如果圖G中存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)使得從這個(gè)節(jié)點(diǎn)到其它每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都存在一條有向路徑則稱該圖有一個(gè)生成樹.強(qiáng)連通是指任意節(jié)點(diǎn)均存在有向路徑到達(dá)每一個(gè)節(jié)點(diǎn).

對(duì)于一個(gè)由n個(gè)一階、二階組成的混合異構(gòu)系統(tǒng)，假設(shè)前m個(gè)智能體為二階，余下n-m個(gè)為一階.二階智能體入鄰居表示為一階智能體入鄰居表示為二階智能體出鄰居表示為一階智能體出鄰居表示為.則拉普拉斯矩陣可以表示為，

Ls表示m個(gè)二階智能體之間的拉普拉斯矩陣，Lf為n-m個(gè)一階智能體之間的拉普拉斯矩陣.Asf表示二階個(gè)體與一階個(gè)體的鄰接關(guān)系，Afs表示一階個(gè)體與二階個(gè)體的鄰接關(guān)系.

幾個(gè)重要矩陣的定義：

非負(fù)矩陣：矩陣所有的元素都非負(fù).隨機(jī)矩陣：矩陣所有行和為1的非負(fù)矩陣.SIA矩陣：如果隨機(jī)矩陣P滿足limk→∞Pk＝1vT則稱該矩陣是SIA矩陣.

1.2 異構(gòu)多智能體系統(tǒng)

假設(shè)異構(gòu)多智能體系統(tǒng)由一階和二階智能體組成，前m（m＜n）個(gè)智能體為二階，余下的（nm）個(gè)智能體為一階.該異構(gòu)系統(tǒng)模型描述如下：

采用如下離散時(shí)間協(xié)議：

定義zi（k）＝xi（k）+Tvi（k），i＝1，…，m，則該異構(gòu)系統(tǒng)可以描述為：

（1）～（3）中，k1＞0，k2＞0為控制增益，0＜T＜Tmax為采樣時(shí)間間隔，下文將給出取值范圍.令y（k）＝＝［x1，…，x］T，m［xm+1，…，xn］T.則系統(tǒng)（3）可以描述為：

注1：協(xié)議（2）為靜態(tài)一致性協(xié)議，引入的狀態(tài)變量zi（k）＝xi（k）+Tvi（k），i＝1，…，m，可以看出，當(dāng)系統(tǒng)（3）獲得一致性時(shí)，達(dá)到了協(xié)議（2）的控制目標(biāo).

下面給出廣義平均一致性的定義：

定義1對(duì)于系統(tǒng)（1），當(dāng)且僅當(dāng)：

則稱所提出的一致性協(xié)議使異構(gòu)系統(tǒng)達(dá)到了廣義平均一致性.

可以看出系統(tǒng)（4）獲得平均一致性時(shí)，系統(tǒng)（1）獲得廣義平均一致性.

1.3 有向圖下廣義平均一致性問題分析

在時(shí)間k（k為非負(fù)整數(shù)），系統(tǒng)狀態(tài)可以描述為：

根據(jù)上文給出的異構(gòu)系統(tǒng)廣義平均一致性定義，可以得出廣義平均一致性的目標(biāo)就是設(shè)計(jì)分布式協(xié)議，使得有向圖G中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)通過與鄰居信息交互進(jìn)行信息更新，使得每一個(gè)yi（k）最終收斂到初始狀態(tài)的平均值ya＝1Ty（0）/（n+m）.在一般強(qiáng)連通有向圖中要實(shí)現(xiàn)平均一致性，主要的困難的是系統(tǒng)狀態(tài)和1Ty（k）是變化的，導(dǎo)致了對(duì)初始狀態(tài)平均值跟蹤的失敗.針對(duì)這個(gè)問題，引入一個(gè)變量si（k）∈R，稱為輔助變量.記s（k）＝［s1（k），…，sn+m（k）］T＝［ss，sz，sf］T∈Rn+m且s（0）＝0.輔助變量的功能是記錄狀態(tài)的變化，使得對(duì)于所有時(shí)刻k，1T（y（k）+s（k））＝1Ty（0），保持1T（y（k）+s（k））是恒定的.

定義2對(duì)于每一個(gè)初始條件（y（0），0），當(dāng)k→∞時(shí)，（y（k），s（k））→（ya1，0），則稱異構(gòu)多智能體系統(tǒng)達(dá)到了廣義平均一致性.

2 一般強(qiáng)連通有向圖下的廣義平均一致性分析

本部分，首先提出基于輔助變量的線性分布式協(xié)議，主要是對(duì)上文異構(gòu)系統(tǒng)一致性協(xié)議的一種拓展.然后對(duì)所提出的協(xié)議進(jìn)行證明，確保在任意強(qiáng)連通有向圖下該異構(gòu)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義平均一致性.

2.1 基于輔助變量的協(xié)議描述

在系統(tǒng)（3）的基礎(chǔ)上，借鑒文獻(xiàn)［13］的設(shè)計(jì)思路對(duì)系統(tǒng)中的一階智能體和二階智能體對(duì)狀態(tài)和輔助變量做如下更新：

ε＞0為干擾系數(shù).通過以上分析可以將（6）～（11）用矩陣的形式進(jìn)行表示：

其中

容易驗(yàn)證F和Λ均為列隨機(jī)矩陣.

2.2 收斂性分析

本部分采用非負(fù)矩陣?yán)碚摵途仃嚁_動(dòng)理論分析出實(shí)現(xiàn)廣義平均一致性的條件.

引理1當(dāng)通信拓?fù)鋱DG為強(qiáng)連通時(shí)，矩陣Γ為隨機(jī)矩陣且僅有一個(gè)1特征值，非1特征值的模均小于1的條件是采樣時(shí)間T及控制參數(shù)k1，k2滿足：

其中，di，i＝1，…，n為系統(tǒng)度矩陣的對(duì)角元素.

證明：當(dāng)滿足（13）可以得出矩陣Γ滿足以上條件時(shí)為非負(fù)矩陣，容易驗(yàn)證該矩陣行和為1，所以矩陣 Γ為隨機(jī)矩陣.又對(duì)做初等行列變換可得：

則可以得出rank（＾Γ）＝m+rank（L），又強(qiáng)連通有向圖中，rank（L）＝n-1.設(shè)做行列變換可以驗(yàn)證rank）＝n+m，則矩陣Γ不含-1特征值.根據(jù)隨機(jī)矩陣屬性λ＝1是矩陣Γ代數(shù)重復(fù)度為1的一個(gè)特征值，并且其余特征值的模都是小于1的

定理1系統(tǒng)（12）實(shí)現(xiàn)廣義平均一致性的充分條件是矩陣Λ僅有一個(gè)1特征值，并且非1征值的模均小于1.

證明：當(dāng)矩陣Λ僅有一個(gè)1特征值，并且其它特征值模數(shù)小于1時(shí)，可以將Λ寫為Jordan規(guī)范型，具有如下形式：

又非1特征值模數(shù)均小于1，則

不失一般性，選擇可以驗(yàn)證w1為Λ陣1特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.又Λ是列隨機(jī)矩陣，則為1特征值對(duì)應(yīng)的左特征向量.又有得α＝1/n+m.則

即則系統(tǒng)（12）實(shí)現(xiàn)廣義平均一致性.

引理2［14］一個(gè)n×n的矩陣W（ε），隨實(shí)數(shù) ε≥0光滑變化.取l∈［1，n］；設(shè) λ1＝λ2＝… ＝λl為矩陣W（0）的單一特征值，并且具有線性獨(dú)立的右特征向量y1＝y(tǒng)2＝…＝y(tǒng)l，和線性獨(dú)立的左特征向量z1＝z2＝… ＝zl，使得：

取比較小的 ε＞0，λi（ε）表示 λi，i∈［1，l］相應(yīng)的W（ε）的特征值.則導(dǎo)數(shù)dλi（ε）/dε｜ε＝0存在，并且該導(dǎo)數(shù)值是以下l×l矩陣對(duì)應(yīng)的特征值：

引理3［16］（Perron-Frobenius）如果矩陣A是不可約的，則譜半徑ρ（A）＞0為矩陣單一特征值，且對(duì)應(yīng)特征向量是正的.

定理2系統(tǒng)（12）滿足（13）式時(shí)達(dá)到廣義平均一致性的充分條件是參數(shù)ε足夠小且有向圖G為強(qiáng)連通.

證明：設(shè)則Λ＝Λ0+εH，矩陣 Λ通過矩陣 Λ0通過 εH“擾動(dòng)”獲得.矩陣Λ光滑的依賴于ε.可以看出矩陣Λ0是分塊下三角矩陣，其譜屬性滿足σ（Λ0）＝σ（Γ）∪σ（F）.由引理1當(dāng)通信拓?fù)鋱DG為強(qiáng)連通時(shí)，矩陣Γ與F均僅有一個(gè)1特征值，幾何重復(fù)度與代數(shù)重復(fù)度均為1，且非1特征值的模均小于1.表明又rank（Λ0-I）＝2（n+m）-2，則 Λ0特征值1的代數(shù)重復(fù)度和幾何重復(fù)度均為1.在一個(gè)小的擾動(dòng)εF下，Λ0的特征值 λ1＝λ2＝1發(fā)生了變化.根據(jù)引理2計(jì)算導(dǎo)數(shù)dλ1（ε）/dε，dλ2（ε）/dε，λ1（ε），λ2（ε）為 Λ與 λ1，λ2相關(guān)特征值.對(duì)于矩陣 Λ0的特征值1，有線性無關(guān)的右特征向量和線性無關(guān)的左特征向量z1＝［1T，為矩陣F特征值 ρ（F）對(duì)應(yīng)的左特征向量，1Tv1＝1，v2為 ρ（Γ）對(duì)應(yīng)的右特征向量.滿足通信拓?fù)鋸?qiáng)連通，可以看出矩陣F和Γ均為不可約矩陣，則根據(jù)引理3可知v1和v2均為正的特征向量.根據(jù)引理2可得

對(duì)于較小的 ε，導(dǎo)數(shù)dλ1（ε）/dε，dλ2（ε）/dε存在，且為矩陣I的特征值.則dλ1（ε）/dε＝0，dλ2表明當(dāng) ε足夠小的時(shí)，λ1（ε）保持不變，λ2（ε）沿實(shí)軸向左移動(dòng)，則必然存在正整數(shù) δ1使得，λ1（δ1）＝1，λ2（δ1）＜1.另一方面特征值是矩陣元素的連續(xù)函數(shù)，則必定存在正的δ2，使得這樣對(duì)于任意足夠小的 ε∈（0，min｛δ1，δ2｝），矩陣 Λ有一個(gè)單一特征值1，且非1特征值的模均小于1.因此根據(jù)定理1，系統(tǒng)廣義平均一致性可達(dá).

3 統(tǒng)收斂值分析

通過以上分析得出了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義平均一致性的充分條件.得出的最終收斂值為：

令

當(dāng)c＞0時(shí)為：

當(dāng)c＜0時(shí)，

引理1給出了采樣時(shí)間間隔T的取值范圍，這樣根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)就可以確定出系統(tǒng)的收斂區(qū)間，結(jié)合實(shí)際需求，就可以通過調(diào)整采樣時(shí)間間隔對(duì)系統(tǒng)最終的收斂值進(jìn)行調(diào)整.

4 仿真驗(yàn)證

本部分主要對(duì)本文獲得的理論結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證.通過采用所得出的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)的聚集控制.考慮一個(gè)4個(gè)機(jī)器人組成的多機(jī)器人系統(tǒng)，通信拓?fù)淙鐖D1所示，其中，節(jié)點(diǎn)1，2為二階模型，節(jié)點(diǎn)3，4，為一階模型，顯然通信拓?fù)鋸?qiáng)連通.機(jī)器人Ri的位置為xi＝［xix，xiy，θi］T，i＝1，2，3，4，5，二階機(jī)器人的速度表示v＝［vix，viy，ωi］T，i＝1，2，3，其中xix，xiy，θi表示機(jī)器人x，y方向上的位移和方向角，vix，viy，ωi為二階個(gè)體x，y方向上的速度和轉(zhuǎn)動(dòng)速度.

圖1 信息交互拓?fù)鋱DFig.1 The information interaction graph of themulti-agent

aij＝1/（任意選取x1（0）＝［1，2，1］T，x2（0）＝［1，-1，2］T，x3（0）＝［1，2，-1］T，x4（0）＝［1.5，2，-1］T，v1（0）＝［0.5，1，0.5］T，v2（0）＝［-1，-1，1.2］T，仿真結(jié)果如圖2，圖3，圖4所示.

圖2 機(jī)器人的位置信息Fig.2 The positions of robots

圖2顯示了智能體的位置狀態(tài)信息的，根據(jù)（5）計(jì)算出系統(tǒng)在三個(gè)變量上的廣義平均一致性分別為可以看出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了廣義平均一致性.圖3顯示了二階智能體的速度狀態(tài)信息，可以看出所有二階智能體的速度一致趨于0.圖3顯示了輔助變量的變化情況，可以看出在系統(tǒng)達(dá)到廣義平均一致性的過程中所有輔助變量一致趨于0，與理論分析結(jié)果一致.

圖3 二階機(jī)器人速度信息Fig.3 Thevelocities of second-order robots

圖4 輔助變量信息Fig.4 Theadditional variable information

5 結(jié)論

本文對(duì)包含一階、二階混合的離散時(shí)間異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的一致性進(jìn)行研究，提出了該類異構(gòu)智能體系統(tǒng)的廣義平均一致性概念.在此基礎(chǔ)上，采用同構(gòu)系統(tǒng)平均一致性研究的方法，針對(duì)先前文獻(xiàn)要求網(wǎng)絡(luò)具有平衡結(jié)構(gòu)的問題，提出了一種新的分布式協(xié)議，在任意強(qiáng)連通交互拓?fù)湎?，?shí)現(xiàn)了異構(gòu)多智能體的廣義平均一致性.根據(jù)收斂值的性質(zhì)，得出了收斂值的范圍.最后對(duì)該結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果與理論分析一致.該研究主要是在固定拓?fù)淝闆r下，下一步研究考慮將現(xiàn)有的理論結(jié)果拓展到動(dòng)態(tài)拓?fù)涞那闆r中.

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