屈寅春，魏俊潮

（1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002；2.無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214121）

Exchange的GCN環(huán)

屈寅春1，2，魏俊潮1＊

（1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002；2.無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214121）

研究了GCN環(huán)的相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用，并證明了如下結(jié)論：1）設(shè)R為一個(gè)exchange的GCN環(huán)，如果R的每個(gè)素理想是左本原的，則R為強(qiáng)π－正則環(huán)；2）一個(gè)環(huán)R為強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R為半素的exchange的GCN環(huán)且每個(gè)素理想是左本原的；3）完全左冪等的exchange的GCN環(huán)是強(qiáng)正則環(huán)；4）設(shè)R為一個(gè)exchange的GCN環(huán)，則群環(huán)R［G］是von Neumann正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［G］是完全左冪等環(huán).

exchange的GCN環(huán)；強(qiáng)正則環(huán)；完全左冪等環(huán)；左V－環(huán)；約化環(huán)

0 引言

本文中，R表示有單位元的結(jié)合環(huán)，J（R），N（R），Z（R）分別表示環(huán)R的Jacobson根、冪零元集合和R的中心.近年來(lái)，環(huán)的局部交換性成為環(huán)論研究的熱點(diǎn)之一.Awtar［1］證明了定理：已知環(huán)R，若對(duì)任意x，y∈R，有xy2x－yx2y∈Z（R）且R是半素環(huán)，則R是交換環(huán).基于該判定定理，李德才等［2］對(duì)GCN環(huán)及其局部交換性進(jìn)行了初步探討.本文將進(jìn)一步研究GCN環(huán)的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用.

一個(gè)環(huán)R稱(chēng)為GCN環(huán)［2］610，若對(duì)每個(gè)a∈N（R），b∈R，有ab2a－ba2b∈Z（R）.一個(gè)環(huán)R稱(chēng)為exchange環(huán)［3］，若對(duì)每個(gè)x∈R，存在e2＝e∈x R，使得1－e∈（1－x）R.一個(gè)環(huán)R，若N（R）＝0，則稱(chēng)環(huán)R為約化環(huán)［4］.一個(gè)環(huán)R稱(chēng)為von Neumann正則環(huán)［5］，若對(duì)每個(gè)a∈R，有a∈aRa.一個(gè)環(huán)R稱(chēng)為強(qiáng)正則環(huán)［6］，若對(duì)每個(gè)a∈R，有a∈a2R.一個(gè)環(huán)R稱(chēng)為左MC環(huán)［7］，若對(duì)每個(gè)a∈R及R的每個(gè)極小左理想Re，其中e2＝e，當(dāng)aRe＝0時(shí)有eRa＝0.一個(gè)左R－模M稱(chēng)為 YJ－內(nèi)射的［8］，若對(duì)每個(gè)0≠a∈R，存在正整數(shù)n使得a n≠0，且任意左R－同態(tài)Ra n→M可擴(kuò)張到R→M，特別地，若a∈N（R），n＝1，則稱(chēng)M是nil－內(nèi)射的.強(qiáng)正則環(huán)總是von Neumann正則環(huán)，但反之不成立；因此，von Neumann正則環(huán)成為強(qiáng)正則環(huán)的條件備受關(guān)注.Yu［9］證明了左quasi－duo的von Neumann正則環(huán)是強(qiáng)正則環(huán).Wei［10］證明了GWS的von Neumann正則環(huán)是強(qiáng)正則環(huán).本文擬借助GCN環(huán)的部分性質(zhì)，證明GCN的von Neumann正則環(huán)是強(qiáng)正則環(huán).

1 主要結(jié)果

引理1 設(shè)R為GCN環(huán)，I為R的詣零理想，則R／I為GCN環(huán).

設(shè)R為一個(gè)環(huán)，若對(duì)每個(gè)a∈R，存在正整數(shù)n＝n（a），使得an∈an＋1R，則稱(chēng)R為強(qiáng)π－正則環(huán).

定理2 設(shè)R為exchange的GCN環(huán)，每個(gè)素理想是左本原的，則R為強(qiáng)π－正則環(huán)且R／J（R）為強(qiáng)正則環(huán).

證明 設(shè)Q為R的任一素理想，由題設(shè)可知Q為左本原理想.由于只有兩個(gè)冪等元的exchange環(huán)是局部環(huán)，故先證R／Q為局部環(huán).設(shè)a∈R，滿足a－a2∈Q，由于R為exchange環(huán)，故有e2＝e∈R，使得e－a∈Q.任取x∈R，有［ex（1－e）］2＝0，進(jìn)而由文獻(xiàn)［2］612知［Rex（1－e）］4＝0，故ex（1－e）∈J（R）?Q，從而eR（1－e）?Q.由于Q為素理想，故e∈Q或1－e∈Q，從而a∈Q或1－a∈Q，所以R／Q只有兩個(gè)冪等元.因R／Q為exchange環(huán)，有R／Q為局部環(huán)，但R／Q為左本原環(huán)，故R／Q為除環(huán)，R為強(qiáng)π－正則環(huán)，從而R／J（R）也為強(qiáng)π－正則環(huán).由于R為強(qiáng)π－正則環(huán)，故J（R）?N（R），由引理1知R／J（R）為GCN環(huán).因R／J（R）為半素環(huán)且由文獻(xiàn)［2］612知R／J（R）為約化環(huán)，故R／J（R）為強(qiáng)正則環(huán).

推論3 設(shè)R為exchange的GCN環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為半素環(huán)，每個(gè)素理想極大；

2）R為半素環(huán)，每個(gè)素理想左本原；

3）R為強(qiáng)正則環(huán).

證明 1）?2）：顯然.

2）?3）：由定理2知R為強(qiáng)π－正則環(huán)，又因R為半素的GCN環(huán)，故由文獻(xiàn)［2］612知R為約化環(huán)，所以R為強(qiáng)正則環(huán).

3）?1）：設(shè)P為R的素理想，a∈R但a?P，則a＝aba，其中b∈R.記e＝ab，則e2＝e，a＝ea.由于R為Abel環(huán)，故（1－e）Ra＝0?P，1－e∈P，即1－ab∈P，同理，1－ba∈P，從而R／P為除環(huán)，因此P為極大理想.

顯然，一個(gè)環(huán)是完全左冪等環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)a∈R，存在b∈R，滿足a＝ba，因此對(duì)每個(gè)完全左冪等環(huán)R，有J（R）＝0.

定理4 設(shè)R為exchange的GCN環(huán)，若R為完全左冪等環(huán)，則R為強(qiáng)正則環(huán).

證明 由于R為完全左冪等環(huán)，故J（R）＝0，R為半素環(huán)，進(jìn)而由文獻(xiàn)［2］612知R為約化環(huán).設(shè)P是R的任一個(gè)素理想且a∈R使得a－a2∈P.由于R為exchange環(huán)，故有e2＝e∈R使得e－a∈P.又因R為約化環(huán)，所以R為Abel環(huán)，eR（1－e）＝0?P，e∈P或1－e∈P，a∈P或1－a∈P，從而R／P是只有兩個(gè)冪等元的exchange環(huán)，R／P為局部環(huán).由J（R／P）＝（J（R）＋P）／P＝0知R／P是除環(huán)，故R為強(qiáng)π－正則環(huán).又因R為約化環(huán)，所以R為強(qiáng)正則環(huán).

推論5 設(shè)R為exchange的GCN環(huán)，若R為左V－環(huán)，則R為強(qiáng)正則環(huán).

證明 由于左V－環(huán)是完全左冪等環(huán)，故由定理4知R為強(qiáng)正則環(huán).

定理6 設(shè)R為左MC2的GCN環(huán)，若每個(gè)奇異單左R－模是nil－內(nèi)射的，則R為約化環(huán).

證明 由文獻(xiàn)［2］612知僅須證R為半素環(huán).設(shè)a∈R滿足aRa＝0，若a≠0，則aR?l（a）≠R，有R的極大左理想M，使得l（a）?M.若M并非R的本質(zhì)左理想，則有R的左極小冪等元e使得M＝l（e），故aRe＝0.由于R為左 MC2環(huán)，故有eRa＝0，從而e∈l（a）?M＝l（e），矛盾，因此a＝0，R為約化環(huán).

定理7 設(shè)R為左MC2的exchange環(huán)和GCN環(huán)，若每個(gè)奇異單左R－模是YJ－內(nèi)射的，則R為強(qiáng)正則環(huán).

證明 由定理6知R為約化環(huán)，由文獻(xiàn)［11］知R為完全左冪等環(huán)，由定理4知R為強(qiáng)正則環(huán).

設(shè)R為一個(gè)環(huán)，G為一個(gè)群，由文獻(xiàn)［9］25知：1）群環(huán)R［G］為von Neumann正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)①R為von Nenmann正則環(huán)；②G為局部有限的；③G的每個(gè)元素的階為R的可逆元；2）R［G］為完全左（右）冪等環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)①R為完全左（右）冪等環(huán)；②G為局部有限的；③G的每個(gè)元素的階為R的可逆元.

推論8 設(shè)R為exchange的GCN環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R［G］為von Neumann正則環(huán)；

2）R［G］為完全左冪等環(huán)；

3）R［G］為完全右冪等環(huán).

證明 1）?2），1）?3）：顯然.

2）?1）：定理4的直接推論.

3）?1）：由定理4可證R為強(qiáng)正則環(huán)，故R為von Neumann正則環(huán)，R［x］為von Neumann正則環(huán).

［1］AWTAR R.A remark on the commutativity of certain rings［J］.Proc Amer Math Soc，1973，41（3）：370－372.

［2］李德才，范志勇，魏俊潮.GCN環(huán)的一些性質(zhì) ［J］.河南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，43（6）：610－613.

［3］NICHOLSON W K.Lifting idempotents and exchange rings［J］.Trans Amer Math Soc，1977，229（2）：269－278.

［4］QU Yinchun，JIA Tingting，WEI Junchao.Some notes on JTTC rings［J］.Bull Sci Math，2015，139（1）：161－177.

［5］WEI Junchao，LI Nanjie.Strong regularity of SF rings［J］.Acta Math Vietnam，2011，36（3）：677－683.

［6］周穎，李敏，魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫(huà)（Ⅱ）［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（1）：1－3.

［7］WEI Junchao.MC2 rings［J］.Kyungpook Math J，2008，48（3）：651－663.

［8］WEI Junchao.Certain rings whose simple singular modules are nil－injective［J］.Turk J Math，2008，32（3）：393－408.

［9］YU Huaping.On quasi－duo rings［J］.Glasgow Math J，1995，37（1）：21－31.

［10］WEI Junchao.Generalized weakly symmetric rings［J］.J Pure Appl Algebra，2014，218（5）：1594－1603.

［11］WEI Junchao.On simple singular YJ－injective modules［J］.Southeast Asian Bull Math，2007，31（5）：1009－1018.

Exchange GCN rings

QU Yinchun1，2，WEI Junchao1＊

（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Wuxi Inst of Tech，Wuxi 214121，China）

This paper is a further study of GCN ring.The main results are as follows：1）LetRbe an exchange GCN ring，if every prime ideal ofRis left primitive，thenRis a stronglyπ－regular ring；2）A ringRis a strongly regular ring if and only ifRis a semiprime exchange GCN ring and every prime ideal ofRis left primitive；3）Full left idempotent exchange GCN ring is a strongly regular ring；4）LetRbe an exchange GCN ring，group ringR［G］is a von Neumann regular ring if and only ifR［G］is a full left idempotent ring.

exchange GCN ring；strongly regular ring；full left idempotent ring；left V－ring；reduced ring

O 153.3；O 154

A

1007－824X（2015）04－0013－03

2014－12－09.＊ 聯(lián)系人，E－mail：jcweiyz＠126.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 （11471282）；江蘇省高等職業(yè)院校國(guó)內(nèi)高級(jí)訪問(wèn)學(xué)者計(jì)劃資助項(xiàng)目（2014FX079）.

屈寅春，魏俊潮.Exchange的GCN環(huán) ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（4）：13－15.

（責(zé)任編輯 林 子）