朱 瑩，凌 智

（1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002；2.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009）

一類具反饋控制傳染病模型的穩(wěn)定性分析

朱 瑩1，2，凌 智1＊

（1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002；2.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009）

研究一類具反饋控制和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SI傳染病模型，運(yùn)用常微分方程平衡點(diǎn)的理論，證明了該系統(tǒng)無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性和局部漸近穩(wěn)定性.通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，證明了該系統(tǒng)染病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，給出疾病趨于消失或地方性流行的一個(gè)充分條件.最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性.

反饋控制；傳染病模型；標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率；局部穩(wěn)定性；全局穩(wěn)定性

傳染病對人類健康帶來了極大威脅，比如20世紀(jì)80年代開始蔓延的艾滋病毒；2003年突襲人類的SARS；2013年3月底在中國內(nèi)地率先發(fā)現(xiàn)的H7N9型禽流感病毒等.這些傳染性疾病不僅會給人們帶來極大的恐慌，而且還會導(dǎo)致數(shù)以萬計(jì)的人類個(gè)體失去生命，于是有關(guān)數(shù)學(xué)模型［1－4］的建立成為分析疾病傳播與控制疾病的基本工具.許多學(xué)者運(yùn)用傳染病動力學(xué)中古典的倉室模型對傳染病進(jìn)行了描述與研究［5－8］，常見的傳染病模型有SI模型、SIS模型、SEI模型和SIR模型等.由于現(xiàn)實(shí)生態(tài)系統(tǒng)中生存率等一些生物參數(shù)是變化的，因此人們更加關(guān)心生態(tài)系統(tǒng)能否經(jīng)受持續(xù)一段時(shí)間且不可預(yù)測的干擾.Gopalsamy等［9］在Logistic模型中引入一個(gè)反饋控制變量，并討論了這個(gè)具反饋控制模型解的漸近行為.這種具反饋控制變量的傳染病模型受到了廣泛關(guān)注［10－11］，研究表明：若模型正平衡解全局漸近穩(wěn)定，則反饋控制變量不會改變模型的穩(wěn)定性而只會改變模型正平衡解的位置；若模型中傳染病滅絕，則反饋控制變量可使模型變得全局漸近穩(wěn)定或傳染病持續(xù)滅絕.鑒于反饋控制變量對傳染病模型的動力學(xué)行為有著重要的影響，故本文研究如下一類具標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和反饋控制的SI傳染病模型：

其中S（t）和I（t）分別表示易感者和感染者在t時(shí)刻的密度；u1（t）和u2（t）為反饋控制變量；r為易感人群的補(bǔ)充率；μ為染病者的死亡率；b為易感人群接觸染病者時(shí)的轉(zhuǎn)化率；a，f分別為易感人群與染病人群內(nèi)部競爭系數(shù)；c1，c2，d1，d2，e1，e2為參量；以上變量和參量均取正值.在數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中，只須考慮模型（1）的正解，因此假定模型（1）的初始條件S（0），u1（0），I（0），u2（0）均為正值，從而易得當(dāng)t＞0時(shí)，具初始條件的模型（1）所有解都是正值.

1 無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性與全局穩(wěn)定性

假定模型（1）的無病平衡點(diǎn)為P0（S0，0，，0），其中；染病平衡點(diǎn)為），當(dāng)且僅當(dāng)下述方程有正解：

由解的正性，知當(dāng)μ＜b＜r＋μ時(shí)，可得

再由μ＜b＜r＋μ，可知（μ－b）（r＋μ－b）＜0，此時(shí)易知模型（1）的基本再生數(shù)為

下面分別討論模型（1）無病平衡點(diǎn)P0的穩(wěn)定性及染病平衡點(diǎn)P＊的穩(wěn)定性.

定理1 當(dāng)R0＜1時(shí)，模型（1）的無病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，P0是不穩(wěn)定的.

證明 考慮模型（1）在點(diǎn)P0（S0，0，，0）處的Jacobian矩陣

其對應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

將S0，代入式（3），易得，從而可知另兩根的實(shí)部小于0.由上述特征方程的4個(gè)特征根實(shí)部皆為負(fù)值，根據(jù)Routh－Hurwitz定理可知無病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的.

定理2 當(dāng)R0＜1時(shí)，模型（1）的無病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，P0是不穩(wěn)定的.

證明 當(dāng)R0＜1時(shí)，易知模型（1）滿足μ＞b＞0，S＞0，I＞0，且1＞S／（S＋I(xiàn)）.由模型（1）中第二式得到I′（t）≤－（μ－b）I，于是I（t）≤I（0）e－（μ－b）t.當(dāng)t→∞時(shí)，有I（t）→0，進(jìn)而有u2（t）→0，S（t）→S0，u1（t）→u01.這說明當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，P0是不穩(wěn)定的.

2 染病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理3 當(dāng)R0＞1且4aα（β＋1）＞b時(shí)，模型（1）的染病平衡點(diǎn)P＊是局部穩(wěn)定的.證明 根據(jù)常微分方程穩(wěn)定性原理構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

對V（t）求導(dǎo)數(shù)，并將方程（2）代入V′（t），得

當(dāng)S→S＊，I→I＊，u1→，u2→時(shí)，有

因S＊＝α＋βI＊，故有

從而，當(dāng)4aα（β＋1）＞b時(shí)，有a（S＊＋I(xiàn)＊）2≥4aα（β＋1）I＊＞bI＊，即

所以V′（t）≤0.即模型（1）的染病平衡點(diǎn)P＊（S＊，I＊，u1＊，u2＊）是局部漸近穩(wěn)定的.

3 數(shù)值模擬

現(xiàn)利用Matlab軟件對模型（1）進(jìn)行數(shù)值模擬（見圖1～2），以闡明上述3個(gè)定理的現(xiàn)實(shí)意義.

圖1 當(dāng)b＝0.2時(shí)傳染病消失曲線Fig.1 When b＝0.2 the disease is extinct

圖2 當(dāng)b＝0.5時(shí)傳染病流行曲線Fig.2 When b＝0.5 the disease is endemic

對模型（1）的參數(shù)進(jìn)行賦值，選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)［11］55如下：

考察參數(shù)b，當(dāng)b＝0.2時(shí)，得R0＝0.87＜1，此時(shí)無病平衡點(diǎn)為P0（0.24，0，0.12，0），見圖1；當(dāng)b＝0.5時(shí)，得R0＝1.19＞1.此時(shí)染病平衡點(diǎn)P＊（0.183 4，0.072 4，0.091 7，0.036 2），見圖2.

由圖1可觀察到，此時(shí)S和u1趨于正常數(shù)S0和u01，I和u2趨近于0，說明疾病趨于消失，這與前述定理1、定理2的結(jié)論一致；由圖2可觀察到，此時(shí)S，I，u1，u2分別趨于正常數(shù)S＊，I＊，u＊1，u＊2，疾病趨于流行，這與定理3的結(jié)論一致.

［1］ANITA L I，ANITA S.Internal eradicability of a diffusive epidemic system via feedback control［J］.Nonlinear Anal：Real World Appl，2011，12（4）：2294－2303.

［2］ANITA S，CAPASSO V.Stabilization of a reaction－diffusion system modelling a class of spatially structured epidemic systems via feedback control［J］.Nonlinear Anal：Real World Appl，2012，13（2）：725－735.

［3］朱佳怡，朱曉萍，林支桂.2013年H7N9型禽流感疫情的數(shù)學(xué)分析 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，17（3）：6－8，18.

［4］李天擎，張磊，劉燕紅，等.政府干預(yù)對H7N9型禽流感疫情發(fā)展的影響 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（2）：22－25.

［5］朱林濤.一類具擴(kuò)散SEI傳染病模型及其自由邊界問題 ［D］.揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2012.

［6］王靜.兩類傳染病模型的定性分析 ［D］.上海：華東師范大學(xué)，2012.

［7］KIM K I，LIN Zhigui.Asymptotic behavior of an SEI epidemic model with diffussion［J］.Math Comput Model，2008，47（11／12）：1314－1322.

［8］林支桂.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)導(dǎo)引 ［M］.北京：科學(xué)出版社，2013：202－216.

［9］GOPALSAMY K，WEN Peixuan.Feedback regulation of Logistic growth［J］.Int J Math Sci，1993，16（1）：177－192.

［10］ZHANG Jiancheng，SUN Jitao.Stability analysis of an SIS epidemic model with feedback mechanism on networks［J］.Phys A，2014，394：24－32.

［11］CHEN Lijuan，SUN Jitao.Global stability of an SI epidemic model with feedback controls［J］.Appl Math Lett，2014，28：53－55.

The stability analysis of an epidemic model with feedback controls

ZHU Ying1，2，LING Zhi1＊

（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Sch of Math Sci，Yangzhou Polytech Coll，Yangzhou 225009，China）

This paper studies an epidemic model with model feedback controls and standard incidence.Using the balance theory of ordinary differential equations，it proves that the system is global asymptotic stability of the disease－free equilibrium and the locally asymptotic stability.By constructing suitable Lyapunov function，it also proves that the system have the locally asymptotic stability of the equilibrium.A sufficient condition is given for the disease to disappear or endemic.Finally，numerical simulation verifies the validity of the main results.

feedback control；epidemic model；standard incidence；locally stability；global stability

O 175.26

A

1007－824X（2015）04－0033－04

2015－05－28.＊ 聯(lián)系人，E－mail：zhling＠yzu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11571301，61472343）；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（BK20151305）；江蘇省高等職業(yè)院校國內(nèi)高級訪問學(xué)者計(jì)劃資助項(xiàng)目（2014FX093）.

朱瑩，凌智.一類具反饋控制傳染病模型的穩(wěn)定性分析 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（4）：33－36.

（責(zé)任編輯 青 禾）