郭艷慧，黎先華

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

Halls－半嵌入子群與有限群的p－冪零性

郭艷慧1，2，黎先華2＊

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

設(shè)群G為有限群，稱(chēng)群G的子群H為Halls－半嵌入子群，若對(duì)任意的素?cái)?shù)p滿(mǎn)足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有H為〈H，P〉的Hall子群，其中P∈Sylp（G）.利用Halls－半嵌入子群和極小子群得到有限群為p－冪零群的若干新判定方法.

Halls－半嵌入子群；p－冪零群；冪零群

本文涉及的群均為有限群，所用術(shù)語(yǔ)及符號(hào)均是標(biāo)準(zhǔn)的，未交待的概念和符號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］.這里列出本文中幾個(gè)常用的符號(hào)：｜G｜表示群G的階；｜G∶H｜表示子群H在群G中的指數(shù)；Sylp（G）表示群G的所有Sylowp－子群之集.

關(guān)于Hall子群的存在性及利用Hall子群來(lái)探討群的結(jié)構(gòu)是群論研究的熱點(diǎn).群G的子群H稱(chēng)為G的Hall子群，若（｜G∶H｜，｜H｜）＝1；群G的子群H稱(chēng)為G的p′－Hall子群，若｜H｜·｜P｜＝｜G｜，其中P∈Sylp（G）.作為Sylow子群的推廣，Hall子群是一類(lèi)重要的子群.著名的Hall定理［1］258指出，群G為可解群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)｜G｜的任意素因子p，都存在G的p′－Hall子群.Moretó［2］利用Sylow數(shù)討論了冪零Hall子群的存在性；Revin等［3］給出了Hall子群的Frattini論斷定理；Arad等［4］推廣了Hall定理，證得群G為可解群當(dāng)且僅當(dāng)存在G的2′－Hall子群與3′－Hall子群.最近，Li等［5－6］先后引入了Hall正規(guī)嵌入子群和Hall次正規(guī)嵌入子群的概念；張勤海等［7］提出了s－半置換子群的概念：群G的子群H稱(chēng)為G的s－半置換子群，若對(duì)任意的素?cái)?shù)p滿(mǎn)足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有HP＝PH，其中P∈Sylp（G）.關(guān)于s－半置換子群的概念有許多推廣形式，如弱ˉs－可補(bǔ)子群［8］和幾乎τ－嵌入子群［9］.作為Hall子群和s－半置換子群的推廣，本文引入Halls－半嵌入子群這一新概念，并利用它給出有限群為p－冪零群的若干新判定方法.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)群G為有限群，稱(chēng)群G的子群H為Halls－半嵌入子群，若對(duì)任意的素?cái)?shù)p滿(mǎn)足p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有H為〈H，P〉的 Hall子群，其中P∈Sylp（G）.

顯然，G的每個(gè)Hall子群和每個(gè)s－半置換子群都是G的Halls－半嵌入子群，但G的Halls－半嵌入子群不一定是G的s－半置換子群.反例如下：

例 設(shè)G＝A5，則G的Sylow 2－子群顯然為Halls－半嵌入子群，但由文獻(xiàn)［10］中推論B知G的Sylow 2－子群不是s－半置換子群.

引理1 設(shè)A為G的Halls－半嵌入子群且A≤H≤G，則A為H的Halls－半嵌入子群.

證明 設(shè)素?cái)?shù)p滿(mǎn)足p｜｜H｜，（p，｜A｜）＝1且H p∈Sylp（H），則必存在Gp∈Sylp（G）使得H p≤Gp.由A為G的 Halls－半嵌入子群知A為〈A，Gp〉的 Hall子群.又因〈A，H p〉≤〈A，Gp〉，故A為〈A，H p〉的Hall子群，從而A為H的Halls－半嵌入子群.

引理2 設(shè)A為G的Halls－半嵌入子群，且A為p－群，N G，則AN／N為G／N的Halls－半嵌入子群.

引理3［11］設(shè)G為一個(gè)有限群，A≤G，F(xiàn)是一個(gè)非空飽和群系且Z＝（G）.

1）若A在G中正規(guī)，則AZ／A≤（G／A）；

2）若F是S－閉的，則Z∩A≤（A）.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)素?cái)?shù)p滿(mǎn)足p｜｜G｜且（｜G｜，p－1）＝1.若G的每個(gè)p階及4階（當(dāng)p＝2時(shí)）循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

證明 假設(shè)定理不成立，設(shè)G為極小階反例.任取H＜G，由假設(shè)及引理1，知H的p階及4階（當(dāng)p＝2時(shí)）循環(huán)子群為H的Halls－半嵌入子群.又因G為極小階反例，所以H必為p－冪零群，從而G的每個(gè)真子群為p－冪零群，即G為極小非p－冪零群.由極小非p－冪零群的結(jié)構(gòu)定理［12］可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q還滿(mǎn)足：P G；當(dāng)p＞2時(shí)，P的指數(shù)expP＝p；當(dāng)p＝2時(shí)，expP≤4；Q為循環(huán)群.

1）當(dāng)｜P｜＝p時(shí)，由NG（P）／CG（P）同構(gòu)于 Aut（P）的一個(gè)子群，｜Aut（P）｜＝p－1以及假設(shè)（｜G｜，p－1）＝1，可得NG（P）＝CG（P），從而由Burnside定理知G為p－冪零群，這與G為極小階反例矛盾.

2）當(dāng)｜P｜＝p2時(shí)，若p＞2，任取a∈P，則｜a｜＝p.由假設(shè)〈a〉為G的 Halls－半嵌入子群，知〈a〉為〈a，Q〉的 Hall子群.再由〈a，Q〉＝〈a〉Q＜G及G為極小階反例，可得〈a，Q〉＝〈a〉Q為p－冪零群，從而〈a〉≤N G（Q）.由a的任意性知P≤N G（Q），從而QG，這與G為極小階反例矛盾.

若p＝2，則當(dāng)P為循環(huán)群時(shí)G為p－冪零群；當(dāng)P不循環(huán)時(shí)，任取a∈P，有｜a｜＝2.由假設(shè)〈a〉為G的 Halls－半嵌入子群，可得〈a〉為〈a，Q〉的 Hall子群.又因〈a，Q〉＝〈a〉Q＜G，故由G為極小階反例，〈a，Q〉＝〈a〉Q為2－冪零群，得〈a〉≤N G（Q）.再由a的任意性知P≤N G（Q），從而QG，這與G為極小階反例矛盾.

3）當(dāng)｜P｜＞p2時(shí)，任取a∈P，則｜a｜＝p或4（當(dāng)p＝2時(shí)）.由假設(shè)〈a〉為G的 Halls－半嵌入子群，得〈a〉為〈a，Q〉的 Hall子群.再由〈a，Q〉＝〈a〉Q≤G及G為極小階反例，知〈a，Q〉＝〈a〉Q為p－冪零群，從而〈a〉≤N G（Q）.由a的任意性知P≤N G（Q），從而QG，這與G為極小階反例矛盾.

綜上，極小階反例不存在，從而G為p－冪零群.

推論1 1）若群G的所有2階及4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為2－冪零群.

2）設(shè)p為｜G｜的最小素因子，且p＞2.若G的所有p階子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

3）若群G的所有極小子群及4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G有超可解性Sylow－塔.

定理2 若群G的每個(gè)p階子群包含在Z∞（G）中，且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

證明 假設(shè)定理不成立，設(shè)G為極小階反例.任取H＜G以及H的p階子群A.在引理3中取F為冪零飽和群系，則F為S－閉的且此時(shí)（G）＝Z∞（G）.由引理3中2），得A≤Z∞（G）∩H≤Z∞（H）.又由引理1可得H的4階循環(huán)子群為H的Halls－半嵌入子群，從而由G為極小階反例知H為p－冪零群，故G為極小非p－冪零群.由極小非p－冪零群的結(jié)構(gòu)定理，可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q滿(mǎn)足：P G；當(dāng)p＞2時(shí)，expP＝p；當(dāng)p＝2時(shí)，expP≤4；Q為循環(huán)群.若p＞2，則由假設(shè)知P≤Z∞（G），從而G＝PQ＝Z∞（G）Q為冪零群，這與G為極小階反例矛盾，故p＝2.任取a∈P，若｜a｜＝2，則〈a，Q〉≤Z∞（G）Q.由Z∞（G）Q為冪零群，可得〈a〉≤NG（Q）；若｜a｜＝4，則由假設(shè)〈a〉為G的 Halls－半嵌入子群，知〈a〉為〈a，Q〉＝〈a〉Q的 Hall子群.由〈a，Q〉＝〈a〉Q為2－冪零群，可得〈a〉≤NG（Q）.進(jìn)一步地，由a的任意性可得P≤NG（Q），從而QG，這與G為極小階反例矛盾；因此，極小階反例不存在，從而G為p－冪零群.

推論2 1）若群G的每個(gè)p階子群包含在Z（G）中，且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

2）若群G的每個(gè)極小子群包含在Z∞（G）中，且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為冪零群.

3）若群G的每個(gè)極小子群包含在Z（G）中，且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為冪零群.

定理3 設(shè)NG且滿(mǎn)足G／N為p－冪零群.若N的每個(gè)p階子群包含在Z∞（G）中，4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

證明 假設(shè)定理不成立，設(shè)G為極小階反例.

1）G為極小非p－冪零群.任取H＜G，則H∩NH.在引理3中取F為冪零飽和群系，則F為S－閉的且此時(shí)（G）＝Z∞（G）.由引理3中2）可得Z∞（G）∩H≤Z∞（H），從而H∩N的p階子群包含在Z∞（H）中.再由引理1，知H∩N的4階循環(huán)子群也是H的Halls－半嵌入子群.又由H／（H∩N）?H N／N及G／N為p－冪零群，可得H／H∩N為p－冪零群，故H及H∩N滿(mǎn)足假設(shè)條件.又因G為極小階反例，故H為p－冪零群，從而G為極小非p－冪零群.由極小非p－冪零群的結(jié)構(gòu)定理，可得G＝PQ，其中P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），且P，Q滿(mǎn)足：P G；當(dāng)p＞2時(shí)，expP＝p；當(dāng)p＝2時(shí)，expP≤4；Q為循環(huán)群.

2）p＝2.若p＞2，則由假設(shè)知P∩N≤Z∞（G）.因?yàn)镚／（P∩N）≤（G／P）×（G／N），G／P?Q以及G／N均為p－冪零群，所以G／（P∩N）為p－冪零群，從而Q（P∩N）／（P∩N）G／N.若Q（P∩N）＝G，則由定理2知G為p－冪零群，這與G為極小非p－冪零群矛盾，所以Q（P∩N）＜G，從而Q（P∩N）為p－冪零群.又因QcharQ（P∩N），故Q G，G為冪零群，這與G為極小非p－冪零群矛盾，從而必有p＝2.

3）N為冪零群，且其Sylowq－子群N q滿(mǎn)足1＜N q＜Q.若N＝G，則由定理2知G為p－冪零群，矛盾，從而1＜N＜G.由上述1）得N為p－冪零群，從而N p≤P，Nq≤Q.若N q＝1，則N≤P；若N＝P，則由定理2知G為p－冪零群，矛盾，故N＜P；從而，G／N＝（P／N）·（QN／N）.由G／N為p－冪零群得QNG，又因QN＜G，故QN為p－冪零群.由QcharQN，必有Q G，這與G為極小階反例矛盾，從而N q滿(mǎn)足1＜Nq＜Q.

4）由前述1）～3）的討論可知N q≤Z（G），現(xiàn)考慮商群G／Nq.在引理3中取F為冪零飽和群系，則由引理3中1），得到N／Nq的p階子群包含在Z∞（G）Nq／Nq＝Z∞（G）／Nq≤Z∞（G／N q）中.又由引理3中2）知N／Nq的4階子群為G／N q的Halls－半嵌入子群，從而G／Nq及N／N q滿(mǎn)足假設(shè)條件，再由G為極小階反例可知G／N q為p－冪零群.于是Q／N qG／N，故QG，G為p－冪零群，矛盾.

綜上，極小階反例不存在，G為p－冪零群.

推論3 1）設(shè)NG且滿(mǎn)足G／N為p－冪零群.若N的每個(gè)p階子群包含在Z（G）中且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為p－冪零群.

2）設(shè)NG且滿(mǎn)足G／N為冪零群.若N的每個(gè)極小子群包含在Z（G）中且4階循環(huán)子群為G的Halls－半嵌入子群，則G為冪零群.

［1］ROBINSON D J.A course in the theory of groups［M］.2nd ed.Berlin－New York：Springer－Verlag，2003：1－499.

［2］MORETóA.Sylow numbers and nilpotent Hall subgroups［J］.J Algebra，2013，379：80－84.

［3］REVIN D O，VDOVIN E P.Frattini argument for Hall subgroups［J］.J Algebra，2014，414：95－104.

［4］ARAD Z，WARD M B.New criteria for the solvability of finite groups［J］.J Algebra，1982，77（1）：234－246.

［5］LI Shirong，HE Jun，NONG Guoping.On Hall normally embedded subgroups of finite groups［J］.Comm Algebra，2009，37（9）：3360－3367.

［6］LI Shirong，LIU Jianjun.On Hall subnormally embedded and generalized nilpotent groups［J］.J Algebra，2013，388：1－9.

［7］張勤海，王麗芳.s－半置換子群對(duì)群構(gòu)造的影響 ［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48（1）：81－88.

［8］李先崇，游泰杰.關(guān)于弱ˉs－可補(bǔ)子群［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，15（1）：5－8.

［9］毛月梅，黃建紅.有限群的幾乎τ－嵌入子群 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（2）：1－4.

［10］ISAACS I M.Semipermutableπ－subgroups［J］.Arch Math，2014，102（1）：1－6.

［11］GUO Wenbin.On F－supplemented subgroups of finite groups［J］.Manuscr Math，2008，127（2）：139－150.

［12］徐明曜，黃建華，李慧陵，等.有限群導(dǎo)引：下冊(cè) ［M］.北京：科學(xué)出版社，1999：30.

Halls－semiembedded subgroups andp－nilpotency of the finite groups

GUO Yanhui1，2，LI Xianhua2＊

（1.Sch of Math ＆Phys，Suzhou Univ of Sci and Tech，Suzhou 215009，China；2.Sch of Math Sci，Soochow Univ，Suzhou 215006，China）

LetGbe a finite group.A subgroupHofGis called a Halls－semiembedded subgroup ofG，if for any primepwithp｜｜G｜，His a Hall subgroup of〈H，P〉，wherePis a Sylowp－subgroup ofGwith（p，｜H｜）＝1.In this paper，it is obtained that some new results about thep－nilpotency ofGunder the assumptions that some minimal subgroups ofGare Halls－semiembedded inG.

Halls－semiembedded subgroup；p－nilpotent group；nilpotent group

O 152.1

A

1007－824X（2015）04－0001－04

2015－04－09.＊ 聯(lián)系人，E－mail：xhli＠suda.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171243）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目（KYLX－1212）.

郭艷慧，黎先華.Halls－半嵌入子群與有限群的p－冪零性 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（4）：1－4.

（責(zé)任編輯 青 禾）