王 婷，徐國東，常彥妮

（南陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽 473061）

子空間格代數(shù)上的局部Lie導(dǎo)子

王 婷＊，徐國東，常彥妮

（南陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽 473061）

研究子空間格代數(shù)Alg 上的局部Lie導(dǎo)子，其中 是Banach空間X上子空間格且（0）＋＝∧｛M∈ ：M?（0）｝≠（0）.利用子空間格代數(shù)Alg 上Lie導(dǎo)子的已有結(jié)構(gòu)，證明了如果δ：Alg →B（X）是局部Lie導(dǎo)子，則存在兩線性映射T：X＊→X＊，S：）＋＋→X＊＊，使得對任意x∈（0）＋，f∈X＊有，其中（）＋是（0）＋在X＊＊中的典型映射像.

Lie導(dǎo)子；局部Lie導(dǎo)子；冪等算子

局部導(dǎo)子的概念最早由 Kadison［1］和 Larson等［2］分別獨(dú)立引入.Kadison［1］496證明了從von Neumann代數(shù)到它的任意對偶雙邊模關(guān)于范數(shù)連續(xù)的局部導(dǎo)子必為導(dǎo)子，而Larson等［2］189得到了Banach空間X上全體有界線性算子B（X）代數(shù)上的局部導(dǎo)子是導(dǎo)子.除了探討與結(jié)合積有關(guān)的導(dǎo)子［3］外，研究與Lie積有關(guān)的Lie導(dǎo)子也是一個(gè)熱點(diǎn)，而刻畫某些代數(shù)上Lie導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)是Lie導(dǎo)子的經(jīng)典問題.近年來，這類問題主要在 J－子空間格代數(shù)［4］、von Neumann代數(shù)［5］、三角代數(shù)［6－7］及B（X）代數(shù)［8］上進(jìn)行探討.受局部導(dǎo)子的啟發(fā)，Chen等［9］引入了局部Lie導(dǎo)子的概念，刻畫了B（X）代數(shù)上局部Lie導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)；隨后，又研究了套代數(shù)上局部Lie導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)［10］.目前，有關(guān)局部Lie導(dǎo)子刻畫的研究還不多，本文主要借助已有算子代數(shù)上Lie導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步探討一類特殊子空間格代數(shù)上局部Lie導(dǎo)子的性質(zhì).

1 預(yù)備知識

設(shè)X是數(shù)域F上的Banach空間，這里F是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，X＊表示X的（拓?fù)洌ε伎臻g，B（X）表示X上全體有界線性算子，I表示X上的恒等算子.對任意A，B∈B（X），稱［A，B］ABBA為B（X）中的交換子［11］.X上的子空間格 是X的一個(gè)包含零空間（0）和X的閉子空間鏈，且該閉子空間鏈對任意交和任意閉封閉.設(shè) 是子空間格，定義

其中∨表示子空間的閉線性擴(kuò)張，∧表示閉子空間的交.

定義1［4］53設(shè)δ為代數(shù) 到其自身的線性映射，若?A，B∈ ，有δ（AB）＝δ（A）B＋Aδ（B），則稱δ為導(dǎo)子；若?A，B∈ ，有δ［A，B］＝［δ（A），B］＋［A，δ（B）］，則稱δ為Lie導(dǎo)子.

定義2［1］494設(shè)δ為代數(shù) 到其自身的線性映射，若?A∈ ，存在導(dǎo)子δA使得δ（A）＝δA（A），則稱δ為局部導(dǎo)子.

定義3［9］110設(shè)δ是從代數(shù) 到其自身的線性映射，若?A∈ ，存在Lie導(dǎo)子δA使得δ（A）＝δA（A），則稱δ為局部Lie導(dǎo)子.

引理1［12］設(shè)X是維數(shù)大于2的Banach空間， 是X上的子空間格且（0）＋≠（0）.若δ：Alg →B（X）是Lie導(dǎo)子，則存在算子T∈B（X＊）和可將交換子映為零的線性映射τ：Alg →FI，使得?A∈Alg ，有δ（A）＊＝［A＊，T］＋τ（A）.

引理2［11］329設(shè)X是Banach空間，A，B∈B（X），λ∈F.若［A，B］＝λI，則λ＝0.

引理3［12］262設(shè)X是Banach空間，M，N分別是X，X＊的非零子空間，φ：M×N→B（X）是一個(gè)雙線性映射.如果對任意x∈M，f∈N，有φ（x，f）ker（f）?Fx，則存在兩個(gè)線性映射T：M→X，S：N→X＊，使得φ（x，f）＝Tx?f＋x?Sf.

2 主要結(jié)果

證明 設(shè)x→是從X到X＊＊的典型映射.對任意x∈X，可確定X＊中的一個(gè)典型映射φx，使得φx（x）＝1，于是X＊＝Fφx⊕ker（）.由δ：Alg →B（X）是局部Lie導(dǎo)子，得到對任意A∈Alg ，存在Lie導(dǎo)子δA：Alg →B（X），使得δ（A）＝δA（A）.再由引理1知存在算子TA∈B（X＊）和可將交換子映為零的線性映射τA：Alg →FI，使得δ（A）＊＝［A＊，T A］＋τA（A）.設(shè)x∈（0）＋，f∈X＊，令A(yù)＝x?f，則

式中ψ（x，f）＝τx?f（x?f）.

下證ψ（x，f）是雙線性的.首先證明ψ是齊次的.設(shè)x∈（0）＋，f∈X＊，λ∈F，則由（1）式得

比較兩式并注意到δ（λx?f）＊＝λδ（x?f）＊，于是ψ（λx，f）－λψ（x，f）＝［λf?，T x?f－Tλx?f］.因ψ（λx，f）－λψ（x，f）∈FI，故由引理2有ψ（λx，f）－λψ（x，f）＝0，這說明ψ關(guān)于第一個(gè)變量是齊次的.類似可證ψ關(guān)于第二個(gè)變量也是齊次的.

其次證明ψ（x，f）關(guān)于兩個(gè)變量是可加的.為此，斷言對任意x∈（0）＋，f∈X＊，若（f）＝0，則有ψ（x，f）＝0.事實(shí)上，取g∈X＊使得（g）＝1，則f?＝［f?，g?］，即f?是交換子，從而ψ（x，f）＝τx?f（x?f）＝0.設(shè)x1，x2∈（0）＋，f∈X＊，若，則ψ（x1＋x2，f）＝ψ（x1，f）＝ψ（x2，f）＝0，于是ψ（x1＋x2，f）＝ψ（x1，f）＋ψ（x2，f）；若，則取g∈且與f線性無關(guān).由（1）式可知，存在λ，λ1λ2∈F使得δ（x1?f）＊g＝ψ（x1，f）g＋λ1f，δ（x2?f）＊g＝ψ（x2，f）g＋λ2f，δ（（x1＋x2）?f）＊g＝ψ（x1＋x2，f）g＋λf.比較這些等式并注意到δ（（x1＋x2）?f）＝δ（x1?f）＋δ（x2?f），得

因g與f線性無關(guān)，ψ（x1＋x2，f）－ψ（x1，f）－ψ（x2，f）＝0，故ψ關(guān)于第一個(gè)變量是可加的.

為證ψ關(guān)于第二個(gè)變量是可加的，設(shè)x∈（0）＋，f1，f2∈X＊.若f1，f2∈ker（），則

于是ψ（x，f1＋f2）＝ψ（x，f1）＋ψ（x，f2）；若f1，f2不全在ker（）中，則span｛f1，f2｝∩ker（）至多是一維的；從而，取g∈ker（）使得g?span｛f1，f2｝.再由（1）式可知，存在μ，μ1μ2∈F使得δ（x?f1）＊g＝ψ（x，f1）g＋μ1f1，δ（x?f2）＊g＝ψ（x，f2）g＋μ2f2，δ（x?（f1＋f2））＊g＝ψ（x，f1＋f2）g＋μ（f1＋f2）.比較這些等式并注意到δ（x?（f1＋f2））＝δ（x?f1）＋δ（x?f2），得

因g?span｛f1，f2｝，ψ（x1＋x2，f）－ψ（x1，f）－ψ（x2，f）＝0，故ψ關(guān)于第二個(gè)變量是可加的.

［1］KADISON R V.Local derivations［J］.J Algebra，1990，130（2）：494－509.

［2］LARSON D R，SOUROUR A R.Local derivations and local automorphisms of B（X）［M］／／Operator theory：operator algebras and applications，Part 2（Durham，NH）.Providence，RI：Amer Math Soc，1990：187－194.

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Local Lie derivations on subspace lattice algebras

WANG Ting＊，XU Guodong，CHANG Yanni

（Sch of Math ＆Stat，Nanyang Norm Univ，Nanyang 473061，China）

Lie derivation；local Lie derivation；idempotent operator

O 177.2

A

1007－824X（2015）04－0041－03

2014－05－31.＊ 聯(lián)系人，E－mail：tingwang526＠126.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41306207）；國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目（11426140）.

王婷，徐國東，常彥妮.子空間格代數(shù)上的局部Lie導(dǎo)子 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（4）：41－43.

（責(zé)任編輯 青 禾）