王麗君

課堂教學(xué)過程是師生、生生有效互動(dòng)，動(dòng)態(tài)生成的過程.教學(xué)過程中會(huì)產(chǎn)生一些意料之外的，有意或無意的，正確或錯(cuò)誤的信息，教師應(yīng)抓住有利時(shí)機(jī)，因勢利導(dǎo)，讓課堂充滿成功的喜悅，讓學(xué)生得到更好的發(fā)展.

一、捕捉錯(cuò)誤信息 提升辨析能力

心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”學(xué)生會(huì)在不斷地糾錯(cuò)過程中，獲得新知，提高能力，增進(jìn)體驗(yàn).所以說教學(xué)中的“錯(cuò)誤”是一種重要的課程資源.善于挖掘并運(yùn)用“錯(cuò)誤”將會(huì)給課堂帶來活力，捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤背后隱藏的教學(xué)價(jià)值同樣也是教師教學(xué)智慧的體現(xiàn).

案例1：若關(guān)于x的不等式a≤x2-x+≤b的解集為[a，b]，求a+b的值.這是筆者在高三復(fù)習(xí)課上所選用的一道例題，當(dāng)時(shí)有部分學(xué)生給出了如下解答.

解：設(shè)f（x）=x2-x+，則f（x）=（x-1）2+1≥1，所以a≥1，f（x）在[a，b]上是單調(diào)遞增函數(shù). 所以f（a）=a，

f（b）=b，即a，b為方程x2-x+1=x的兩根，所以a+b=5.

這個(gè)“完美”解答卻是徹徹底底的“張冠李戴”.追根究底發(fā)現(xiàn)其中包括了：（1）心理性錯(cuò)誤. 學(xué)生已有的函數(shù)定義域和值域概念以及由此產(chǎn)生的思維定式：已知函數(shù)的定義域就是求值域；（2）知識性錯(cuò)誤. 將“不等式a≤y≤b”與“函數(shù)的值域?yàn)閇a，b]”這兩個(gè)概念等同起來；（3）邏輯性錯(cuò)誤. 視命題“已知a≤f（x）≤b時(shí)，有a≤x≤b成立”與命題“已知a≤x≤b時(shí)有a≤f（x）≤b成立”為等價(jià)命題.

實(shí)際上，知識性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤以及心理性錯(cuò)誤是常見的錯(cuò)誤類型.其中知識性錯(cuò)誤包括概念模糊、忽視條件、忽視特例等；邏輯性錯(cuò)誤包括轉(zhuǎn)換論題、循環(huán)論證、不等價(jià)辨析、以偏概全、分類不當(dāng)?shù)?；心理性錯(cuò)誤包括存在錯(cuò)覺定式、心理品質(zhì)不良等.只有在深刻剖析錯(cuò)誤成因之后，才能有效避免錯(cuò)誤，糾錯(cuò)教學(xué)才是有效的.

二、捕捉質(zhì)疑信息 開拓思維能力

在課堂教學(xué)中，學(xué)生質(zhì)疑是由于新舊經(jīng)驗(yàn)間的矛盾沖突，這反映出學(xué)生正在積極思考，是珍貴的課堂動(dòng)態(tài)資源.因此，教師要關(guān)注從學(xué)生中產(chǎn)生的質(zhì)疑資源.不僅要“接住學(xué)生拋過來的球”，而且能隨機(jī)調(diào)整思路，經(jīng)過激勵(lì)點(diǎn)撥，再把“球拋給學(xué)生”.

案例2：方程log4（4x+1）-x=log4（a·2x-a）有且只有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a的范圍.

解法一：原方程有且只有一個(gè)根等價(jià)于方程=a（2x-1）有唯一解. 即等價(jià)于4x+1=a·4x-a·2x有唯一解. 令t=2x，則方程（1-a）t2+at+1=0在（0，+∞）內(nèi)只有唯一一個(gè)正數(shù)根.

等價(jià)于Δ=a2-4（1-a）=0，

>0，或a2-4（1-a）>0，

<0，

可得a=-2-2，或a>1.

質(zhì)疑1：為什么要轉(zhuǎn)化為一元二次方程？

翻開數(shù)學(xué)歷史的畫卷，我們發(fā)現(xiàn)，如果不借助計(jì)算機(jī)，我們對三次方程的研究是何其艱辛.查看我們高中數(shù)學(xué)有關(guān)方程的教學(xué)要求，即熟練掌握一元二次方程的解法，了解簡單的指數(shù)，對數(shù)方程的解法.因此一元二次方程才是根本.因而抓住命題中“方程”兩字，進(jìn)行轉(zhuǎn)化是水到渠成的事情.

質(zhì)疑2：方程根問題的實(shí)質(zhì)是研究圖象與x軸交點(diǎn)問題.是否可以在4x+1=a·4x-a·2x的基礎(chǔ)上，令t=2x，考慮t2+1=a（t2-t）與t軸只有一個(gè)交點(diǎn)？

解法二：由t2+1=a（t2-t）只有一個(gè)解，可得函數(shù)y=t2+1與函數(shù)y=a（t2-t）圖象當(dāng)t>0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)a=1時(shí)，兩個(gè)拋物線的形狀一樣，所以當(dāng)a>1時(shí)，如圖1，y=a（t2-t）的遞增速度比y=t2+1的速度快，于是會(huì)有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a<0時(shí)，如圖2，由兩拋物線相切可得a=-2-2.

說明：以上解法涉及到曲線相切的定義，即兩曲線在切點(diǎn)處有相同的函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)值，此定義在高中是不作要求的，因此曲線相切的方法有一定的局限性，不過為了拓展學(xué)生的思維，也可鼓勵(lì)學(xué)生上網(wǎng)查閱有關(guān)曲線相切的定義及方法.同時(shí)涉及到遞增級數(shù)問題，作為拓展學(xué)生的極端思想也是一道不錯(cuò)的訓(xùn)練題.

解法三：由t2+1=a（t2-t），可得t+=a（t-1），則圖象y=t+=a（t>0）與y=a（t-1）（t>0）有唯一的交點(diǎn)，直線y=t，t=0是y=t+=a（t>0）的兩條漸近線，則a=-2-2或a>1.

質(zhì)疑3：為什么不采用常規(guī)的變量分離？

解法四：由=a（2x-1），可得a=，令t=2x，可得g（t）=（t>0），由g′（t）==0，可得t=-1. 當(dāng)00，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t>-1時(shí)，g′（t）<0，g（t）在（-1，1），（1，+∞）單調(diào)遞減，并且當(dāng)t→1時(shí)，g（t）→∞，當(dāng)t→+∞時(shí)，g（t）→1，所以a=-2-2.

說明：當(dāng)t→+∞時(shí)，g（t）→1，對高中生比較難以表達(dá)清楚，這是大學(xué)數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則. 因此不是方法不行，只是知識還沒有完備，因此我們選擇了其他方法.有興趣的同學(xué)可以去網(wǎng)上查查有關(guān)資料.

質(zhì)疑4：類似于解法四的處理方法，a=，t=2x，可得a==1+，令s=t+1，則a=1+=1+，但由于函數(shù)y=的圖象不好處理，所以又是一個(gè)半成品.

解法五：=s+-3（s>1），所以=2-3，或者≥0，所以a=-2-2，或a>1.

反思回顧：各種方法雖然各有不同，但相同的是都轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象有唯一交點(diǎn).其實(shí)只要兩個(gè)函數(shù)各自的圖象性質(zhì)清楚，兩圖象之間的關(guān)系清楚，怎么變形都可以.所有的解題敗筆，都有自己的閃亮點(diǎn)，也是學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)，仔細(xì)處理解題過程中的半成品，對我們建構(gòu)合理的知識結(jié)構(gòu)，梳理知識的條理性，樹立學(xué)生的自信心都是有幫助的.

案例3：等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程.

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，等式兩邊同乘以q可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，兩式相減，可得Sn=.

質(zhì)疑：為什么兩邊要乘以q，不乘以q可以嗎？

方法一：由Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+qSn-a1qn可得.

方法二：由==…=，可得==…=，所以==q-1，=q-1（古希臘歐幾里得《幾何原本》第九卷題35）[1]

方法三：由===…=，可得=q，所以=q.

由此可見，乘以q僅是一種運(yùn)算技巧，不乘以q的方法更巧妙.

三、捕捉意外信息 培養(yǎng)創(chuàng)新能力

在豐富而千變?nèi)f化的課堂情境教學(xué)中，常會(huì)有許多“小意外”，面對課堂上意想不到的“小插曲”，教師要有“不管風(fēng)吹浪打，勝似閑庭信步”的大將風(fēng)范.要用理智駕馭情感，要學(xué)會(huì)隨機(jī)應(yīng)變.要用智慧捕捉稍縱即逝的教學(xué)資源.投學(xué)生之所好，以便達(dá)到水到渠成之功效，使之成為課堂的亮點(diǎn).

案例4：在教數(shù)學(xué)歸納法這節(jié)課時(shí)，我讓學(xué)生準(zhǔn)備20來塊多米諾骨牌，然后提問如何將所有的多米諾骨牌推倒.預(yù)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生回答只要滿足（1）將第一塊骨牌推倒；（2）每一塊骨牌都能碰到后一塊骨牌，則所有的骨牌都能推倒.從而能得到關(guān)于自然數(shù)命題的證明方法——數(shù)學(xué)歸納法. 設(shè)p（x）是關(guān)于自然數(shù)的命題，若①（奠基）p（1）成立；②（歸納）假設(shè)p（k）成立可以推出p（k+1）成立，則p（k）是對一切自然數(shù)n均成立.但是課堂上學(xué)生的表現(xiàn)出乎意料，一個(gè)頑皮的學(xué)生說，“像打水漂一樣的，只要1能夠得著3，3能夠得著5，……，同時(shí)2能夠得著4，4能夠得著6……就行了.”這實(shí)際上是跳躍式數(shù)學(xué)歸納法的雛形.當(dāng)時(shí)我馬上想起以前一位學(xué)生的話——“數(shù)學(xué)歸納法沒有一點(diǎn)生命活力，我最討厭學(xué)這個(gè)”.怎樣讓數(shù)學(xué)歸納法“活”起來？怎樣讓學(xué)生有興趣學(xué)？這是否是一個(gè)契機(jī)呢？于是我針對以上想法把這類數(shù)學(xué)歸納法作了簡單的介紹，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣立即提上來了，原來數(shù)學(xué)歸納法是這樣玩出來的.于是更多更奇特的想法如雨后春筍般冒出來，我也不急于去阻止，只是告訴他們，他們的想法中還有很多是我們數(shù)學(xué)歸納法的雛形，引導(dǎo)學(xué)生課后上網(wǎng)查資料，讓學(xué)生去了解雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法、蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法、反向數(shù)學(xué)歸納法的類型，讓數(shù)學(xué)歸納法充滿活力.

總之，課堂教學(xué)是動(dòng)態(tài)生成的過程，是師生共同成長的過程.走進(jìn)學(xué)生內(nèi)心和學(xué)生一起成長是教師的責(zé)任，教師要從學(xué)情出發(fā)，用銳眼捕捉契機(jī)，善于利用，并按照需要隨時(shí)做出有創(chuàng)意的教學(xué)調(diào)整，使課堂在動(dòng)態(tài)過程中生成亮點(diǎn)，閃耀精彩，演繹高潮迭起的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生真正成為教學(xué)的主體，讓學(xué)生的思維空間得以拓展，思維品質(zhì)得以提升.

參考文獻(xiàn)：

[1] 汪曉勤.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)出版社，2002.