摘 要：數(shù)學(xué)符號語言與其他語言相比，有其獨特鮮明的特征，主要表現(xiàn)為符號的統(tǒng)一性和簡潔性以及語義的確定性。不僅便于記錄和閱讀，而且更能加速思維的進(jìn)程和高效傳播，它打破了國界，成為了“最具公共語言的一門學(xué)科”。數(shù)學(xué)符號語言體系的形成和發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)知識的傳播，同時也把人類語言學(xué)推向了新的高度和廣度。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 符號語言 特征

語言是人類最重要的交際工具，與人類思維有著密切的聯(lián)系，是人類思維和表達(dá)思想的手段，也是人類社會最基本的信息載體。人們借助語言保存和傳遞人類文明的成果[1]。人類語言有三個關(guān)鍵要素：信息、思維和思想。任何信息只有賦予語義，形成概念，經(jīng)過形式化處理進(jìn)行信息加工，通過思維形成思想，才能達(dá)到交流的目的。從這個意義上說，人類的語言也可以理解為人的思維為著交際的目的而傳輸?shù)目晒└兄男畔ⅰｋS著人類進(jìn)化的演進(jìn)發(fā)展，人類語言的形式也逐漸多樣化，從語言的“信息傳遞”表現(xiàn)方式來分析，人類使用不同的器官和工具來表達(dá)思想，有了以聲音為載體的聲音語言，典型的為人類的口語、音樂等；通過肢體動作表現(xiàn)的肢體語言，如人的表情、手勢語、體態(tài)語等，比較典型的是聾語；以圖形、文字和符號為載體的書面語言，這類語言表達(dá)和保存的人類思想已蔚為大觀，構(gòu)成了人類現(xiàn)代文明的基礎(chǔ)，形成了不同的學(xué)科。

數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科，我國古代的“六藝”中就有“數(shù)”，屬于人類書面語言中的重要組成部分。伽利略說過，數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字。基于這種理念，美國天文學(xué)家、科普作家卡爾·薩根認(rèn)為，宇宙中的文明無論差異多大，都有一種共同的語言——數(shù)學(xué)語言，為此，還把數(shù)學(xué)語言作為宇宙語言的首選。數(shù)學(xué)語言也有文字語言、圖像語言和符號語言之分。本文中的數(shù)學(xué)符號語言是指在數(shù)學(xué)中用以表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系等的符號和記號。包括表示數(shù)學(xué)概念的符號，表示數(shù)學(xué)關(guān)系和數(shù)學(xué)推理所使用的符號，以及其他專用符號等。數(shù)學(xué)通過符號語言傳遞現(xiàn)實世界中的數(shù)、量、關(guān)系及其空間形式。

數(shù)學(xué)符號語言是為適應(yīng)數(shù)學(xué)思維特殊需要而出現(xiàn)的，它通過把具體事物“一般化”后用抽象的數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等保存和傳遞數(shù)學(xué)研究的成果，建構(gòu)數(shù)學(xué)的知識大廈。數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，已成為一個符號化的世界，闖入這個世界，處處都要和符號打交道，符號就是數(shù)學(xué)存在的具體化身。因此，數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)科學(xué)專門使用的特殊語言，是含義高度概括、形體高度濃縮的一種科學(xué)語言，也就是說，它是一種便于記錄和閱讀、加速思維進(jìn)程和高效傳播思維的科學(xué)書面語言，其作用不僅促進(jìn)了數(shù)學(xué)研究的發(fā)展和數(shù)學(xué)知識的傳播，同時也把人類語言學(xué)推向了新的高度和廣度。

數(shù)學(xué)符號語言有以下三個主要特征：

一、符號的統(tǒng)一性

符號的統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)符號語言的一大特征。無論什么國家的人，無論操用哪個國家和地區(qū)的語言的人看到a+b=b+a，都知道這是乘法交換律，這種數(shù)學(xué)約定或數(shù)學(xué)符號不僅展示了數(shù)學(xué)符號語言的全球統(tǒng)一性，更表達(dá)了數(shù)學(xué)思維“一般化”的過程。這里的“a+b=b+a”實際上是“32+56=56+32”“148+91=91+148”等無數(shù)個加法算式的“一般化”表達(dá)。

2014年微信上流行一個段子：“手機尾號暴露了你的年齡”。個中秘密，從數(shù)學(xué)的視角理解其實是一個數(shù)學(xué)語言的統(tǒng)一化和數(shù)學(xué)思維“一般化”的過程。

一旦把微信中的日常語言（見左欄）改用數(shù)學(xué)特定的符號語言來描述（見右欄），秘密就暴露無疑了。

微信中的要求： 用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)：

看一下你手機的最后一位 設(shè)手機的最后一位為x

把這個數(shù)字乘上2 2x

然后加上5 2x+5

再乘以50 （2x+5）×50

把得到的數(shù)目加上1764 （2x+5）×50+1764=100x+2014

用這個數(shù)目減去你出生那一年 100x+（2014-出生那一年）

得到的三位數(shù)，第一位是你手機的最后一位 百位上的數(shù)字是x，

最后兩位就是你的實際年齡 （2014-出生那一年）

從右邊那欄用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)的“一般式”中可知，后兩位當(dāng)然就是你的實際年齡了?！笆謾C尾號暴露了你的年齡！”這個“神秘”的段子，在數(shù)學(xué)符號語言體系中就現(xiàn)出了“原形”，年齡是利用數(shù)學(xué)知識“計算”出來的，而不是“算命先生”算出來的。

把日常語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言，能揭示事物的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)的魅力也就在這里。如對于上述左邊的“日常語言”，不懂中文的人是“看不懂”的，但對具有初中文化程度的任何國家的人都能從右邊的“數(shù)學(xué)符號語言”中知道其含義。因此，數(shù)學(xué)可稱之為“最具公共語言的一門學(xué)科”[2]。

數(shù)學(xué)符號語言可分為以下幾種類型：

這些符號都具有國際通用性。

數(shù)學(xué)符號語言的統(tǒng)一性，還體現(xiàn)在各國對數(shù)學(xué)的理解上。筆者曾讓中國大陸和新加坡教師用圖像語言描述數(shù)學(xué)老師，大家都不約而同地用“教‘1+2=3的圖片”來描述數(shù)學(xué)老師的形象，也說明了數(shù)學(xué)符號語言的國際通用性。

數(shù)學(xué)在近兩個世紀(jì)中取得了顯著的進(jìn)展和輝煌的成就，盡管有著許多因素，但數(shù)學(xué)符號語言的統(tǒng)一性厥功至偉。通過數(shù)學(xué)符號語言傳達(dá)數(shù)學(xué)思想，簡化思維過程，推動了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。

二、符號的簡潔性

求簡是數(shù)學(xué)的價值追求?；仡檾?shù)學(xué)發(fā)展的歷史，不難發(fā)現(xiàn)，為了更簡潔、更容易書寫、更便于理解和交流，經(jīng)過一代又一代人的努力，數(shù)學(xué)符號從“1、2、3、4，+、-、×、÷”等記錄數(shù)及其運算，“△”“⊙”“⌒”，“∥”“⊥”等描述空間圖形及其關(guān)系到等 ，解決“無限”及其運算問題，經(jīng)歷了漫長的符號創(chuàng)造過程，如加號“+”和減“-”，直到1489年，在德國人約翰內(nèi)斯·韋德出版的《適合所有商業(yè)的漂亮敏捷的計算法》一書中首次出現(xiàn)后才慢慢在全球范圍內(nèi)統(tǒng)一使用這個簡單明確的符號。

再來看求和符號“∑”。通過“”把“1+2+3+……+99+100”這么長的連加算式用一個符號“”表示出來了，而且通過∑前后上下各個符號的變化可以表達(dá)更復(fù)雜的代數(shù)運算式，如等，如果用文字語言，不知要化多少篇幅，才能表達(dá)清楚。

這一點，從文字代數(shù)與符號代數(shù)的比較中也可以看得很清楚。今天看似十分簡單的代數(shù)式“（10+x）2=100+20x+x2”，古代用文字表達(dá)則要敘述為“如果要求10和根自乘的結(jié)果，就要施行如下運算過程：10乘10得100；根乘10等于10個根；10乘根等于10個根；根乘根等于平方。總之，這個自乘的結(jié)果等于100，20個根和根平方”，多么冗長。古代人掌握簡單的數(shù)的概念需要經(jīng)歷非常漫長、艱難的過程，而今天小學(xué)一年級的學(xué)生不僅能很快理解初步的數(shù)的概念，并且能掌握100以內(nèi)的加減運算等，究其原因，除了古今人們實踐和認(rèn)識的條件不同外，十分重要的一個原因就是今天已有了一個規(guī)范統(tǒng)一簡潔的數(shù)學(xué)符號語言系統(tǒng)。

數(shù)學(xué)符號語言的簡潔性還表現(xiàn)在表達(dá)思想和推理過程的簡潔與明了中。如定理“在有余數(shù)的除法里，如果被除數(shù)和除數(shù)能被同一自然數(shù)整除，那么，余數(shù)也能被這個自然數(shù)整除”，我們可用數(shù)學(xué)符號語言表示為：

如果a÷b=q…r，且d|a，d|b，那么，d|r

證明：∵a÷b=q…r，

∴a=bq+r

∵d|b

∴d|bq

又∵d|a，∴d|（bq+r）

∴d|r

這個定理的證明過程用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)，思維清晰，符合邏輯，能讓讀者一目了然地看到推理的過程。

三、語意的確定性

數(shù)學(xué)符號語言還具有語意確定性的特點，數(shù)學(xué)符號語言的語意是確定無疑的，思想是上下一貫、有根有據(jù)的。愛因斯坦曾說：在描述各種關(guān)系時要盡可能達(dá)到最高標(biāo)準(zhǔn)的嚴(yán)格精確性，這樣的標(biāo)準(zhǔn)只有用數(shù)學(xué)語言才能做到。

許多數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生與發(fā)展也充分證明了這一點。如，最初是捷克的魯?shù)婪蛴?525年出版的《常用代數(shù)技巧規(guī)則下的速算》一書中使用符號“√”，后來笛卡兒添上一橫線變成后才作為數(shù)學(xué)上的通用符號。有了這一橫，就可以把誰的平方根看得一清二楚，避免語義上的混亂。

數(shù)學(xué)符號中雖然也有同一個符號語意不同的情況，如[ ]，它既可以表示中括號，也可以表達(dá)閉區(qū)間，又如加號和正號等，但它們使用在不同語境中，語義是非常明確的。

即便是界限模糊的一些概念，數(shù)學(xué)上也要想方設(shè)法，使之語義確定。如人們平時說的胖與瘦、高與矮，他們的界限是模糊的。《紅樓夢》中用文學(xué)語言對“瘦弱的林黛玉”著墨很多，但100個人的心中有100個不同的“林妹妹”形象，這是文學(xué)語言的魅力。針對林妹妹“瘦”到什么程度的問題，如果用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，就是要確定什么是“瘦的”。假設(shè)40千克以下的人是“瘦的”，那么41千克是“瘦”還是“胖”呢？

“禿頭悖論”也反映了這個問題。如果我們事先約定，頭發(fā)根數(shù)不超過某一確定的常數(shù)n的人為禿頭，那頭發(fā)根數(shù)為n+1的人是否是禿頭？根據(jù)約定，應(yīng)該不算是禿頭，但他只比頭發(fā)根數(shù)為n的人多了1根，這樣定性實在有悖常理。但如果約定，當(dāng)N=n時為禿頭，則N=n+1也為禿頭。如此，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可以推得世界上所有的人都是禿頭。顯然，這是更加荒謬的結(jié)論，但推理的過程沒有錯呀！問題的根源在于“禿頭”這個概念本身的語義模糊不清。

美國控制論專家L·A·查德通過研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——集合論，發(fā)現(xiàn)普通集合論是揚棄了模糊性而抽象出來的。如一個對象a或者有某種性質(zhì)，或者沒有，即a要么屬于集合A，要么不屬于A，兩者必居其一，而且只能居其一，決不容許模棱兩可。用數(shù)學(xué)符號語言表示就是：

這是一個函數(shù)式，這個函數(shù)的值域是集合{0，1}。但查德認(rèn)為，客觀事物之間界限不分明的中介狀態(tài)是普遍的，為此他對普通集合進(jìn)行了推廣，把點集改造為區(qū)間[0，1]，用介于0、1之間的一個數(shù)來說明該人的體重“多大程度上屬于瘦的”，程度越高，這個數(shù)就越大。如設(shè)體重小于40千克的人是瘦子，其屬于“瘦子”的程度（數(shù)學(xué)上叫做隸屬度）為1，體重為60千克的人不是瘦子，其屬于“瘦子”的程度或隸屬度為0，那么，體重為a千克的人屬于“瘦子”的隸屬度就可以通過數(shù)學(xué)符號語言g（x）=（60- x）/（60-40），x[40，60]表達(dá)出來。如當(dāng)x=50時，g（x）=0.5，當(dāng)x=45時，g（x）=0.75，通過這個隸屬函數(shù)g（x）就可以比較誰更“瘦”一點，顯然45千克的人比50千克的人更“瘦”一點。這個隸屬度在我們的生活中并不陌生，說“某事有80%的把握”，這里的80%，就是隸屬度，這是模糊數(shù)學(xué)所研究的內(nèi)容。模糊數(shù)學(xué)“硬”是把界限模糊的量用“數(shù)據(jù)”表示出來了，讓這些概念的語義確定，關(guān)系明確不含糊。

由此可見，數(shù)學(xué)符號語言具有嚴(yán)密性和確定性的特點，能更加完善、準(zhǔn)確、明了地把概念傳遞給人，它擺脫自然語言的多義性，避免了在推理中產(chǎn)生歧義而造成邏輯上的混亂。如果說文學(xué)語言、圖像語言在傳達(dá)思想時的模糊性和內(nèi)省性，是為了表達(dá)人豐富的內(nèi)心和情感世界，那么數(shù)學(xué)符號語言的確定性，則把人類的思維和推理過程表達(dá)得清楚明白，合乎邏輯。英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素說過“數(shù)學(xué)就是符號加邏輯”。

物理可以用實驗解決問題，但數(shù)學(xué)必須用“數(shù)據(jù)”和“一般化”的論證。哥德巴赫猜想至今尚未解決就是因為沒有找到“一般化”的論證方法。用簡潔統(tǒng)一的符號、確定無誤的概念進(jìn)行推理和論證，這既是數(shù)學(xué)符號語言的特征，也是數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特征。數(shù)學(xué)通過數(shù)學(xué)符號語言保存和傳遞數(shù)、量、關(guān)系和空間形式，并通過符號語言加速思維的進(jìn)程，高效傳播思維和數(shù)學(xué)思想方法。

（本文是教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金項目[項目批準(zhǔn)號：11YJA880086]研究成果之一。）

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（沈丹丹 浙江寧波 寧波大學(xué)教師教育學(xué)院 315211）