摘要：采用常微分方程建立了一種以個體交流為傳播方式的泄漏式噪聲在種群間擴散的過程方程。模型揭示了傳播噪聲的種群人數變化的兩個特征和峰值到達時間。最后用MATLAB模擬了模型中各參數變化對種群演化的影響。初始傳播者、傳播能力、未知情者學習能力與傳播者人數的峰值成正相關，傳播終止率與峰值成負相關。初始傳播者越多、傳播能力越強，傳播高峰來得越早。同時傳播終止率和未知情者學習能力對傳播高峰到達時間影響不大。

關鍵詞：噪聲擴散 數值模型

1 噪聲擴散方式

關于噪聲的擴散方式，可以借由信息傳播進行描述，因為信息和噪聲的上層概念都是消息，二者的傳播方式非常相近。

基于非確定信息網絡結構的研究，非確定性網絡是指個體間通過隨機碰撞傳遞信息。非確定性信息網絡刻畫了金融系統(tǒng)信息傳播的非同時性、異質性。Cont和Bouchaud （2000）提出了基于完全隨機碰撞交互的金融系統(tǒng)信息傳播模型。該模型的優(yōu)點是和真實金融系統(tǒng)的情況非常接近，個體無需任何關于整個系統(tǒng)的統(tǒng)計信息就可以進行決策。模型較好地刻畫了群體性從眾行為從形成、演化、消失的動態(tài)規(guī)律。應尚軍等（2001，2003）[1][2]、楊春霞等（2005）[3]改進了個體間交互的規(guī)則，通過多種信息傳播模型的構建，刻畫了信息傳播的途徑、速度、范圍等動態(tài)特征，還模擬了價格泡沫的形成和破滅。

基于特定復雜網絡的研究。這類研究的思路是由研究者根據其對金融市場的觀察與理解，指定金融系統(tǒng)遵循小世界網絡或無標度網絡模式，進而探索復雜網絡演化特征及其對資產價格的影響。Hein和Schwind （2008）等研究了基于小世界網絡的股市信息交互結構，發(fā)現(xiàn)了個體數量和信息交互強度的變化將影響價格形成過程。陳彥錕（2010）[4]基于無標度網絡建立的信息傳播結構，研究了泡沫的形成與崩饋的條件。

此外，林俊波（2005）[5]借用Shannon的無線電信號傳遞原理模型，界定證券市場的信源、信道和信宿，構建了證券市場信息傳遞模型，比較全面而抽象地概括了證券市場信息擴散過程。

鄧憶瑞（2008）[6]借用物理學中“場”的概念，建立了信息擴散場，基于場論，采用邏輯推理和數學分析相結合的方法，構建并求解信息擴散場的擴散狀態(tài)模型，將信息擴散機理用“場”語言描述出來，并利用馬氏漂移鏈原理建立信息時空擴散模型，描述了信息擴散的時間擴展規(guī)律與空間分布特征，并利用計算機對模型進行了模擬。

宋逢明等（2002）[7]對中國股票市場的收益率與交易量進行大量實證研究的基礎上，構造了中國股票市場區(qū)別于成熟資本市場的特殊信息傳導模型，并驗證了模型的適用性，還發(fā)現(xiàn)不同類型股票的投資者的構成不同，其信息傳導結構也不同。

吳忠群（2011）描述了兩種特殊的信息模式，泄漏式和爆炸式。信息以漸次傳遞方式被個體獲知稱為“泄漏式”，信息瞬間擴散到每一個系統(tǒng)中每個個體稱為“爆炸式”。信息的傳播途徑也可分為通過媒體披露和通過個人交流。這樣，不同傳播速度和傳播途徑交織組合在一起，構成信息傳播方式的多樣性。

Kosfeld（2004）[8]用數理推導呈現(xiàn)了一個關于謠言對市場影響的模型，為其他關于謠言和資產價格的實證提供理論分析基礎。模型中個體通過與周圍鄰居進行交流產生了謠言傳播的可能。推導的結果顯示，謠言最終消失，長期均衡價格等于謠言前價格；如果謠言仍存在，會造成與謠言有關資產的價格上升。

林春燕和朱東華（2005）[9]從股市內部信息傳播如何影響股價的波動和交易量變化為研究角度，建立常微分方程組描述了在未知情者不具備學習能力的情況下，信息自身傳播過程，并預測傳播高峰，分析其過程中股票交易量的變化情況。該模型證明了兩個定理：一是傳播信息的投資者人數先單調增加，然后單調減少并趨于零；而是總有一部分人在信息公布前無法得知內部消息。

2 噪聲的擴散過程建模

股市噪聲從噪聲源產生以后總是要流動的，不存在靜止狀態(tài)的噪聲。所謂噪聲流動也就是噪聲的擴散，而噪聲擴散又可稱為噪聲的傳遞，是指噪聲從噪聲源產生以后，經過傳遞渠道送達給信息的全部活動過程。

股市噪聲擴散依據傳播速度分類可分為兩種特殊形式，泄漏式和爆炸式。泄漏式代表信息是以漸次傳遞方式被公眾獲知的，爆炸式代表信息是瞬間擴散到每一個受眾的；依據傳播途徑分類可分為，通過媒體披露以及個人之間交流。不同傳播速度和傳播途徑交織組合在一起，可以構成信息傳播方式的多樣性。

本章重點研究以“泄漏式”為傳播方式和以“個人交流”為傳播途徑的噪聲的擴散過程。此類噪聲是以“人”為載體進行傳播的。每個傳播者只通過周圍有限個人漸次將噪聲擴散出去。本章將建立模型，研究噪聲傳播者的變化規(guī)律來說明此類股市噪聲的擴散特征，可以為控制此類噪聲擴散提供一定的理論支持。

2.1 模型基本假設

設投資者集合I，噪聲產生時刻t。t時刻后，投資者開始分化成三個種群。第一類投資者在t時刻獲知噪聲并正在轉告他人，稱為噪聲傳播者，記為集合D；第二類投資者在t時刻獲知噪聲但不轉告他人，稱為傳播終止者，記為集合K；第三類投資者不知曉該噪聲，稱為不知情者，記為集合U，并且有：

I=D+K+U （2-1）

設t時刻上述三類投資者占總投資者的比例分別用D（t）、K（t）、U（t） 表示，所以有：

D（t）+K（t）+U（t）=1 （2-2）

對模型作出如下假設：

①噪聲傳播者通過有限個個體交流，逐漸將噪聲傳播出去；

②變量D（t）、K（t）、U（t）為連續(xù)可微變量。

③只有噪聲傳播者D傳播給不知情者U才算有效傳播。

假設③說明，噪聲從人群D到D、D到K兩種傳播都是無效的，因為D、K兩類人群均已知此噪聲。

設噪聲傳播者平均傳播率為常數λ，λ為大于等于1的常數，意味著單位時間內，平均每個噪聲傳播者有向λ個人傳播噪聲的傳播能力，但只有向人群U傳播才是有效傳播，故噪聲傳播者在單位時間內傳播噪聲的有效能力為：

λU（t）（2-3）

設總體投資者的人數為N，單位時間內傳播者傳播噪聲的有效傳播人數為：

λNU（t）D（t）（2-4）

上式也表示噪聲傳播者D單位時間的增加量，即噪聲傳播者D增加的速度，可以用它來衡量噪聲傳播的速度。它是U（t）、D（t）的函數。

④傳播者D會轉換為傳播終止者K，傳播終止率正比于噪聲傳播者數量ND，比例系數為μ，μ為大于0且小于1的常數，所以噪聲傳播者D單位時間減少量為：

μND（t） （2-5）

A4：不知情者具有學習能力。當股價波動，成交量擴大時，會引起持有或對該股票感興趣的投資者的關注。當有高于（或低于）均衡價的大筆訂單成交時，將引起原本不知情的交易者改變他們對該股票的預期價格，有可能對該股進行買賣。噪聲傳播者越活躍，不知情者參與的概率越大。

設不知情者參與的概率為P（t），隨時間的變化而變化，且與D（t）成正比，為不知情者學習能力參數，為大于0且小于1的常數，則有：

（2-6）

學習能力強的投資者會從交易量的變化中猜測噪聲，并加入到傳播人群中去，這部分人群的單位時間增加量為：

NP（t）U（t） （2-7）

2.2 噪聲傳播模型

2.2.1 噪聲傳播方程

當噪聲出現(xiàn)時，系統(tǒng)內種群開始分化。不知情者接收到噪聲，變成噪聲傳播者，將噪聲擴散出去；之后噪聲傳播者不再傳播，變成傳播終止者。

投資者的角色轉換過程是U?D?K，三類投資者數量隨時間推移呈現(xiàn)“此消彼長”的特征。三類投資者所占比例的變化速率分別記為D′（t）、K′（t）、U′（t）。建立常微分方程組（2-8）如下：

U′（t）=-λU（t）D（t）-p（t）U（t）

D′（t）=λU（t）D（t）-μD（t）+p（t）U（t）

K′（t）=μD（t）

P（t）=D（t）

U（t）+D（t）+K（t）=1

U0>0，D0>0，K0>0（2-8）

2.2.2 種群的演化特征一

噪聲是通過個體交流的方式逐漸在人群中擴散的，所以噪聲擴散者應該是逐漸增加的。隨著時間的推移，不斷有新消息進入系統(tǒng)取代先前的噪聲成為決策依據。噪聲逐漸淪為過時的消息，傳播者沒有動力去傳播噪聲，表現(xiàn)為人群D數量的減少。

所以噪聲有如下傳播特征一：

噪聲傳播者的種群人數變化規(guī)律有兩種可能：或單調減少，或先逐漸增加，達到峰值后逐漸減少。

2.2.3 種群的演化特征二

從現(xiàn)實情況來看，噪聲的擴散不會至整個系統(tǒng)。由于信息不對稱總是存在，交易者在有關交易信息之數量和質量的擁有上不相等，股市消息不會到達每一個人。也就是說，人群中總有人不知道噪聲。

如下傳播特征二：

不知情者不會隨時間的推移而完全消失。

2.2.4 噪聲擴散的峰值

根據噪聲傳播者的變化規(guī)律可知，傳播者人數必然會在某一時刻達到峰值。到達峰值的時間與初始傳播人數、傳播終止率、噪聲傳播者的傳播能力和不知情者的學習能力有關。一般地，初始傳播人數越大，噪聲傳播者的傳播能力越強，不知情交易者學習能力越強，峰值就會越大，到達峰值的時間就越早；傳播終止率則與峰值成負相關。

3 數值模擬與分析

3.1 分析工具的選擇

MATLAB是使用較為廣泛的模擬工具，提供了7個求常微分方程數值解的函數：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb。ode45是解決數值解問題的首選方法，將選擇ode45進行方程求解。同時，將選擇二維畫圖函數plot進行函數曲線繪制。

3.2 模擬分析

用MATLAB求解微分方程組，并畫出D（t）、K（t）、U（t）三個種群人數演化曲線（演化曲線略）。模型中需要賦值的變量有：

①噪聲傳播者的初始比例D0在0～1內由隨機數生成；

②噪聲傳播者的初始比例D0與未知情者的初始比例U0之和為1；

③傳播終止者的初始比例K0為0；

④參數λ大于或等于1的常數；

⑤參數μ、的取值范圍是（0，1）。

3.3 結果分析

①初始時刻，系統(tǒng)中噪聲傳播者為固定值，是整個系統(tǒng)的噪聲傳播源，其余人群則是不知情者。當噪聲產生后，傳播者開始傳播噪聲，不知情者人數逐漸減少。隨著噪聲的傳播，知曉噪聲但不傳播的傳播終止者人數從0開始逐漸增多。噪聲傳播者的變化規(guī)律與傳播能力、傳播終止率、未知情者學習能力和初始噪聲傳播人數都有關。

②其他條件不變，初始狀態(tài)下，系統(tǒng)中知曉并傳播噪聲的人數越多，傳播高峰來的越快，峰值越大。這符合邏輯推理和實際觀察。

③其他條件不變，當傳播者傳播噪聲的能力越強，傳播高峰來的就越快，峰值就越大，符合邏輯推理和實際觀察。

④其他條件不變，當傳播終止率越小，峰值越大，但傳播高峰時間變化不明顯。

⑤其他條件不變，當未知情者學習能力越大，峰值越大，傳播高峰時間變化也不明顯。

⑥曲線均未涉及當時間足夠長時，三類人群的數量特征。但上一章經過理論已經證明，噪聲傳播者最終會消失，整個系統(tǒng)只有未知情交易者和傳播終止者。

參考文獻：

[1]應尚軍， 魏一鳴， 范英，等. 基于元胞自動機的股票市場復雜性研究——投資者心理與市場行為[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2003， （12）：18-24+31.

[2]應尚軍，魏一鳴，范英，等.基于元胞自動機的股票市場投資行為模擬[J].系統(tǒng)工程學報，2001（5）：382-388.

[3]楊春霞，王杰，周濤，等.基于自組織逾滲的金融市場模型[J].科學通報，2005（20）：127-131.

[4]陳彥錕.基于無標度網絡的信用違約風險傳染效應研究[J].統(tǒng)計與決策，2010（2）：20-23.

[5]林俊波.證券市場信息傳導機制與信息披露制度研究[D].浙江大學，2005.

[6]鄧憶瑞.基于網絡維力的信息擴散研究[D].哈爾濱工程大學， 2008.

[7]宋逢明，唐俊.中國股票市場的信息傳導與流動性需求[J].經濟科學，2002（2）：46-57.

[8]Kosfeld M.Rumours and markets[J].Journal of Mathematical Economics，2005，V41（6）：646-664.

[9]林春燕，朱東華.證券市場信息傳播的數學模型研究[J].數學的實踐與認識，2005（11）：40-45.

作者簡介：

劉芷彤（1992-），女，內蒙古通遼人，大學本科，學士，華北電力大學經濟與管理學院。