岳芳芳

數(shù)學(xué)題目的類型多，形式各異，題設(shè)和結(jié)論千變?nèi)f化，真可謂“題?！?如果教師在教學(xué)過程中選擇課本中比較有代表性的習(xí)題，重點培養(yǎng)學(xué)生形成有效的學(xué)習(xí)策略，注重引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)許多題目雖然變化萬千，但是存在著“質(zhì)同形異”，可以激發(fā)學(xué)生對于這個知識不斷向深層面的探索，學(xué)生所掌握的知識也可以縱向加深，輕松地提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.下面我們將選擇初中八年級下冊課本中一道典型的課后練習(xí)題作為范本進(jìn)行說明，如：

圖 1已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，求證：AE=EF.（提示：取AB的中點G，連接EG）

這是課后復(fù)習(xí)題中的一道題，在八年級學(xué)生剛剛學(xué)完本章節(jié)知識，如果沒有提示的情況下，想獨立解決這個問題，是有一定的難度的，通過提示學(xué)生知道解決本題只需通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用正方形和全等三角形的性質(zhì)及判定來進(jìn)行證明、求解，關(guān)鍵是要有畫正方形中輔助線的能力.意在考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握程度，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、概括、歸納及語言表達(dá)能力.

具體的解題過程可以如下：

證明：取AB的中點M，連接EM.

其中滲透著轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，我們可以引導(dǎo)學(xué)生解題方法是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

首先引導(dǎo)學(xué)生從條件入手，通過觀察圖形，自主探究，再進(jìn)行合作交流，組內(nèi)、組間充分討論后，概括出作輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等的結(jié)論.

本問題對于學(xué)生來講，因為課本中原題目中已有提示告訴學(xué)生輔助線的做法，所以在解決這個問題的方面上基本沒有障礙，由正方形的性質(zhì)自然聯(lián)想到邊相等、角相等.在構(gòu)建的全等三角形中得出深一層的結(jié)論.

但是當(dāng)我們運用一題多變的教育方式進(jìn)行一定的變形時，此時如若沒有上題作為前提的話，對于學(xué)生來說這道題還可以輕易解決嗎？如變形題1：

圖 2如圖，如果把原題中“點E是BC邊的中點”改為“點E是BC邊上的任意一點”，其他條件不變，請你猜想AE=EF的結(jié)論是否還能成立，并證明你的猜想.

學(xué)生通過上一問題的解決，明確要結(jié)合圖形，添加輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等是解決本題的關(guān)鍵.再一次讓學(xué)生進(jìn)一步清晰輔助線的畫法、全等三角形的判定、性質(zhì)和正方形證明題之間的聯(lián)系.在幾何題目中，首先要讀懂圖形，理解題意，深入挖掘題中隱含條件，掌握方法，雖然條件或結(jié)論的形式或圖形發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變.

經(jīng)過兩道題目的解決發(fā)現(xiàn)，以上兩個題目的實質(zhì)完全相同，對于題目1，學(xué)生易于由中點推斷線段的相等來助于解決問題，但學(xué)生對變形1則感到無從下手.因此，對這些“質(zhì)同形異”的題目，要善于指導(dǎo)學(xué)生拋開表面的限制因素，抓住此類題型的本質(zhì)特征，相對于問題的解決就會起到?jīng)Q定性作用.我們進(jìn)一步看變形2：

圖 3如圖所示，如果把原題中的“點E是BC邊的中點”改為“點E是BC邊的反向延長線上的任意一點”，其他條件不變，請你猜想AE=EF的結(jié)論是否還能成立，并證明你的猜想.

這個變形略有難度，著重考查學(xué)生對此類變形后圖形添加輔助線解決數(shù)學(xué)問題常用方法的靈活運用，由前面問題的解決，學(xué)生會容易找到解決問題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論，本題設(shè)計意圖是轉(zhuǎn)變思路，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識，同時要體會到數(shù)學(xué)知識不是孤立存在的，它們之間會互相轉(zhuǎn)化，有著某種必然聯(lián)系.隨著難度的不斷增大，卻能體現(xiàn)出多題歸一的思想，既能體現(xiàn)出知識之間的縱橫聯(lián)系，同時也能培養(yǎng)學(xué)生的思維拓展效果.盡管題目條件這樣的改變，原題中結(jié)論依舊是保持不變的.

圖 3如圖3，AE=EF，理由為：

通過對本題的解決和幾個變式的拓展，可以使學(xué)生根據(jù)不斷變化的情況，對原來的思維進(jìn)程和解決題目的方法作出及時的調(diào)整，把大部分學(xué)生從過去解決問題的思維定式中及時地拯救出來，大大地提高了學(xué)生對知識掌握的程度.我們啟發(fā)學(xué)生對幾何問題的思考和歸納，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵學(xué)生合作交流，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗.變式研究之前，讓學(xué)生分析母題的構(gòu)造及特點，滲透解題思想，即構(gòu)造正方形中常用的輔助線，利用全等證明線段的相等的理念，從特殊到一般，運用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，通過不斷的變化，建立新與舊、已知與未知的聯(lián)系，有助于學(xué)生關(guān)注問題或概念的不同方面，讓他們覺得有新的理念出現(xiàn)，讓他們學(xué)會從不同的角度看問題，因而加深對題意的理解，讓學(xué)生在充分的交流與合作中加深對問題的認(rèn)識.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只是為了掌握一些基本知識、基本技能，更重要的是可以提高學(xué)生的發(fā)散思維能力、化歸遷移思維能力和思維靈活性，激活思維、學(xué)會思考、解決問題.

上例中的幾個問題，內(nèi)容和形式各不相同，但實質(zhì)卻是相同的，有著相同的解題規(guī)律，有著一樣的解題技巧，甚至完全相同的結(jié)果，圖形的變化形式多樣，通過這些變化使圖形化靜為動，動靜結(jié)合，使數(shù)學(xué)問題更具魅力，中考題中也經(jīng)常出現(xiàn)源自課本題目的改編題，變化多端，卻萬宗歸一.這樣可以提高學(xué)生解決問題的興趣，本問題學(xué)生可以自主探究，或小組合作，通過畫圖、分析、論證得出恒成立的結(jié)論.

在我們數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，這種一題多變的典型題目比比皆是，形式也多種多樣，有的是改變條件，保留結(jié)論；有的是保留條件，改變結(jié)論；當(dāng)然也有同時改變條件和結(jié)論，甚至可以將原題中的結(jié)論和條件互換后產(chǎn)生新的問題.可以通過重點剖析這些典型習(xí)題，讓學(xué)生分析結(jié)論，并加強(qiáng)鍛煉引導(dǎo)和推廣，從橫向和縱向兩個方向加深學(xué)生的知識體系，如若教師可以讓學(xué)生理清千變?nèi)f化的題海中互相牽連的關(guān)系，能使學(xué)生把相似的問題歸為一類，總結(jié)解題規(guī)律，做到熟一題，通一類，脫離“題?！?，數(shù)學(xué)課必將成為大部分學(xué)生的樂趣.以此可見，在復(fù)習(xí)過程中，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生注意課本例題、習(xí)題以及常見考題之間的內(nèi)在關(guān)系，尋找同一類的類型題，適當(dāng)進(jìn)行改變題設(shè)、結(jié)論，加強(qiáng)鍛煉學(xué)生對類型題的歸一練習(xí)，以不變應(yīng)萬變，必定可以改善現(xiàn)今各個學(xué)校存在的數(shù)學(xué)學(xué)困生的一些問題，也能使得原本擅長數(shù)學(xué)的學(xué)生更加充滿自信地學(xué)習(xí).

以上所談，僅為教學(xué)之略見.事實上，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)解題策略比學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識更為重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和思維的靈活性、深刻性，使學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”以至于“會用”到“創(chuàng)造發(fā)明”，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一.