馮佳賓

【摘要】無窮項(xiàng)和式的極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，本文將介紹如何利用定積分的定義來求解無窮項(xiàng)和式的極限.

【關(guān)鍵詞】定積分；無窮項(xiàng)和；極限

【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

在高等數(shù)學(xué)中定積分的定義為：∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi，其中xi-1≤ξi≤xi，λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}.幾何意義即用窄條矩形的面積代替曲邊梯形的面積再求和取極限，也就相當(dāng)于無窮多個(gè)無窮小的和相加.如果所求極限可以寫成limn→∞b-an∑nk=1f[a+（k-1）b-an]或者limn→∞b-an∑nk=1f[a+k·b-an]便可利用定積分的定義來求解這樣一類無窮項(xiàng)和式極限，很多文獻(xiàn)對(duì)此都有比較詳細(xì)的介紹.然而有一些題目，僅僅通過簡單變形還不夠，還需要適當(dāng)?shù)臉O限運(yùn)算定理以及對(duì)定積分定義更靈活地應(yīng)用才能應(yīng)用這兩個(gè)公式求解，本文下面將主要介紹三個(gè)方法，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行說明.

1.放縮法結(jié)合夾逼定理

放縮是為了得到原問題中無法通過直接變形得到的因子：in，因此放縮時(shí)應(yīng)該朝這個(gè)方向去思考如何進(jìn)行適當(dāng)放縮，所謂適當(dāng)即被放縮部分在放縮前后應(yīng)是等價(jià)量，在這一個(gè)大原則下去放縮，便不會(huì)放得太大或者太小，再通過具體的分析，便能找到合適的放縮量.

2.選取合適的區(qū)間進(jìn)行合適的等分

很多時(shí)候積分都是在區(qū)間[0，1]進(jìn)行的，但是當(dāng)每項(xiàng)變化的部分不再是從1到n連續(xù)地變化了，那便需要考慮要在其他的區(qū)間上進(jìn)行合適的等分，再使每個(gè)小區(qū)間趨于零，下面通過兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行說明.

此題在[0，2]上積分，并將區(qū)間分成n等份，得到n個(gè)小區(qū)間[0，2n]，[2n，4n]，…，2n-2n，2nn，依次取每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)處的值1n，3n，…，2n-2n，2nn作為定積分定義中的ξi.

可以看到例2每項(xiàng)變化的部分是以1，3，5…的方式變化的，例3是以1，4，9…的方式變化的，但均不再從1到n連續(xù)變化.

3.適當(dāng)運(yùn)用極限運(yùn)算法則

無窮項(xiàng)和式極限也是極限的一種，那自然也可以運(yùn)用極限運(yùn)算法則中等價(jià)無窮小等原理進(jìn)行計(jì)算.