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高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)及在解題中的應(yīng)用探析

2015-05-30 13:11賴春葵
關(guān)鍵詞:圓錐曲線定義高中數(shù)學(xué)

賴春葵

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,圓錐曲線作為平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),是非常重要的章節(jié),但是考慮到其中部分內(nèi)容相對較難,導(dǎo)致很多學(xué)生失去了學(xué)習(xí)興趣,甚至產(chǎn)生了畏懼感.因此,本文針對高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)進(jìn)行了具體分析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;定義;解題

由于高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的圓錐曲線題目具備較強的靈活性,并且還會將多種知識運用到解題之中,并且也是歷年以來高考數(shù)學(xué)的壓軸題,解答難度較大,并且得分偏低.所以,作為教師就應(yīng)該注意到教學(xué)的有效性.

一、創(chuàng)設(shè)情境,提升圓錐曲線教學(xué)趣味

開展圓錐曲線教學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn),學(xué)生很難在學(xué)習(xí)活動當(dāng)中融入圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程.如果能夠為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的情景,就能夠提升學(xué)生對于圓錐曲線知識的學(xué)習(xí)興趣.

比如,在教學(xué)過程中,對于“橢圓曲線的定義”就可以設(shè)置一個簡單的探究性活動,創(chuàng)設(shè)出情境:事先準(zhǔn)備一根細(xì)繩,然后將其兩端固定在同一個點上,讓學(xué)生套上鉛筆,將繩子拉緊,然后移動筆尖,看看移動結(jié)束后畫出來的是怎樣的軌跡,然后再將細(xì)繩的兩端在兩個不同的點進(jìn)行固定,將鉛筆套上,將繩子拉緊后移動筆尖,看看移動之后的軌跡.這樣的活動雖然很簡單,但是具備一定的可操作性,通過這樣的引入,學(xué)生也可以初步地認(rèn)識到橢圓,同時,對于學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣也有一定的幫助.

二、重視綜合能力,努力為學(xué)生“減負(fù)”

在高考當(dāng)中,圓錐曲線所涉及的考題基本上都屬于綜合類,其中包含了方程、代數(shù)、幾何等多個方面的知識.所以,在解決這一類型問題的時候,就應(yīng)該讓學(xué)生嘗試著將問題簡單化,將問題細(xì)細(xì)劃分之后,再進(jìn)行綜合性的考慮,這樣的解決問題能夠?qū)τ趯W(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線有很大的幫助作用.

1.化繁為簡

凡事都擁有兩面性,就算是復(fù)雜的問題也是由多個簡單的問題共同組成的.所以,在較難的問題解決中,就可以多個角度綜合考慮,去發(fā)現(xiàn)問題的解決之點,避開“硬碰硬”.以下,通過實際的案例進(jìn)行了具體的解答說明.

比如:在橢圓9a2+16b2=144上有A,B兩點,O為橢圓的中心,求點O到弦AB的距離.

分析 這里,需要掌握A,B兩點的坐標(biāo),如果直接求證,無論是A,B兩點的坐標(biāo)還是說利用A,B兩點,都會變得非常復(fù)雜.所以,就可以從側(cè)面考慮,避過正面,通過直線OA或者是OB方程與橢圓方程之間聯(lián)立,就可以將A或者B的坐標(biāo)直接求出來.

2.將陌生變?yōu)槭煜?/p>

絕大部分學(xué)生都會有一種感覺:對于老師已經(jīng)講過的題目,其實自己已經(jīng)會做了或者是覺得在老師講解之后,自己就可以做,但是一旦遇到了新的題目,就會出現(xiàn)手足無措的感覺.每一個題型,都需要僅僅圍繞一個中心點,也就是所謂的萬變不離其宗.所以,在遇到新題型或者是陌生的題型,首先自己不能夠慌,要嘗試著將陌生的題型轉(zhuǎn)變成為熟悉的題型,然后逐步去解決,這樣就能夠很好地完成老師規(guī)定的任務(wù).

三、滲透數(shù)形結(jié)合思想,幫助學(xué)生完善解題思路

解析幾何在幾何問題解決中是利用代數(shù)的方法,這是最典型的數(shù)形結(jié)合.所以,讓學(xué)生擁有良好的數(shù)形結(jié)合思想,就可以妥當(dāng)?shù)亟鉀Q圓錐曲線的問題.在平時的教學(xué)中,教師要懂得不斷地向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想,幫助學(xué)生完善幾何問題的解析思路.

第一,在解決圓錐曲線問題時,要讓學(xué)生腦海中時刻有圓錐曲線圖形的浮現(xiàn),比如:曲線的焦點位置、拋物線開口的注意等,并且根據(jù)焦點位置以及開口的實際方向,就可以將直線同雙曲線抑或是拋物線的位置最終判斷出來,同時在思考中也可以結(jié)合具體的圖形,不僅避開了煩瑣的運算,同時也可以快速、準(zhǔn)確地作出特殊情況的判斷.

第二,在幾何問題解題時,最主要的一點內(nèi)容是動點軌跡方程的求證.在這一類型的問題解決過程中,就需要利用曲線、幾何等等方面的綜合知識,其本質(zhì)就是將圖形化成代數(shù)、將曲線化成方程,以此來了解曲線的性質(zhì).在動點軌跡方程的求證中,最常用的方式有:定義法、幾何法、直接法以及參數(shù)法等,但是在軌跡方程求證的步驟中包含了:直角坐標(biāo)系的建立,設(shè)置出坐標(biāo)點,將方程式列出,進(jìn)行化簡處理,再將點的范圍確定好,這些都是日常教學(xué)中需要注意并且應(yīng)該加強訓(xùn)練的地方.

比如,已知雙曲線C:2x2-y2=2與點P(1,2).

(1)過點P作一條直線l,確定l斜率的取值范圍,使得C與l之間分別存在一個、兩個以及沒有交點.(2)如果存在Q(1,1),嘗試著判斷以Q為中心點的弦是否存在.

圖 1

本題命題的目的在于:第一個提問是為了考查雙曲線與直線之間相交的交點個數(shù),歸結(jié)于方程組的解答;第二個問題主要是對圓錐曲線與直線問題的第二種方法——“差分法”進(jìn)行處理.

考查知識點:在二次方程根當(dāng)中對于根的個數(shù)進(jìn)行判斷,兩點連線的斜率公式、中點坐標(biāo)公式.

易錯分析:在第一個提問當(dāng)中,容易忽略二次項系數(shù)的討論;在第二個提問當(dāng)中,算得Q為中心點的弦的斜率為2,那么就認(rèn)定直線是存在的.

方法與技巧:在面對弦長的中點問題的時候,常常是利用“差分法”設(shè)而不求,將弦所在的直線斜率、弦的中點坐標(biāo)相互地聯(lián)系起來,就可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化.

延伸練習(xí):雙曲線x2a2-y2b2=1上有一個點P,F(xiàn)作為一個焦點,那么將PF作為直徑的圓同x2+y2=a2的位置是( ).

A.內(nèi)切 B.內(nèi)切或者外切

C.外切D.相離或者相交

四、高中數(shù)學(xué)解題中圓錐曲線定義的應(yīng)用

1.利用定義來進(jìn)行求證

在高考當(dāng)中最常見的題目是:在題目的求證當(dāng)中,常常會遇到通過第二定義的應(yīng)用來證明拋物線焦點弦作為直徑的圓與準(zhǔn)線相切抑或是與相應(yīng)的準(zhǔn)線相離、將雙曲線焦點弦作為直徑與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交等等題型.

2.利用定義來求軌跡

在解題當(dāng)中,圓錐曲線定義使用最為平凡,也是最典型的求軌跡的方式之一.比如:已知定圓O1和O2,其半徑分別為a,b,并且,有動圓M內(nèi)切于O1,外切于O2,通過適當(dāng)坐標(biāo)系的建立,試著將M 的軌跡方程求出來,并且對于軌跡屬于何種曲線加以說明.

對于這一類型題目的解決很明顯會應(yīng)用到圓錐曲線的定義,在解決的過程當(dāng)中也不會很復(fù)雜,主要是利用O1O2的中心點O當(dāng)作原點,以O(shè)1O2所在的直線為x軸建立平面坐標(biāo)系,這樣就可以得到O1,O2的坐標(biāo),然后將動圓的半徑假設(shè)為r,通過動圓M內(nèi)切于O1,外切于O2,就可以得到MO1和MO2,最后再利用兩者的關(guān)系,就可以將M點的軌跡求證出來,確定焦點O1,O2,也就是雙曲線的左支(x小于0),根據(jù)半徑之間的關(guān)系,就能夠?qū)④壽E方程得到.

比如:在典型的例題應(yīng)用當(dāng)中,橢圓x2a2+y2b2=1(其中a>b>0)中有兩焦點F1,F(xiàn)2(如圖2所示),P為橢圓上任意一點,從焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線,試著求出Q的軌跡.

所以,OQ=12AP=a.

這樣,就可以將Q的軌跡為圓確定出來,這就是最常見的圓錐曲線定義的應(yīng)用題目之一.

五、結(jié) 語

在圓錐曲線的問題解決當(dāng)中,只有快速、準(zhǔn)確地找準(zhǔn)問題所在,能夠熟練地掌握并且運用每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及圖形.所以,在高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線教學(xué)當(dāng)中進(jìn)行拓展性的練習(xí)對于學(xué)生的能力水平提升非常的關(guān)鍵,同時也是高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)當(dāng)中不可缺少的重要部分.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄒麟.圓錐曲線教學(xué)策略闡釋[J].基礎(chǔ)教育論壇,2011(12):99-101.

[2]黃順華.探究圓錐曲線概念教學(xué)的新思路[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2011(7):57-58.

[3]謝順江.培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2010(1):119-120.

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