鄭啟昌

【摘要】本文主要從全等形的四種常見的變換入手，由其定義、特征展開，從而探究各種變換對圖形大小、形狀及空間位置的變化規(guī)律，從相對位置的變化特點來分析各種變換間互相轉(zhuǎn)換的可能性，通過作圖驗證、解析證明它們相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系；并從中確定了基本變換是對稱，即軸對稱和中心對稱.通過對全等形變換方式間關(guān)系及基本變換的研究旨在為數(shù)學(xué)教學(xué)與研究提供參考.

【關(guān)鍵詞】全等形變換；變換關(guān)系；基本變換；軸對稱；中心對稱

1.幾種常見的全等形變換方式及其區(qū)別和聯(lián)系

1.1 常見的全等形變換方式包括軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)和中心對稱.

1.2 四種全等形變換方式的區(qū)別和聯(lián)系

1.2.1 聯(lián)系：變換都不改變圖形的形狀和大小，而且每一種變換都具互逆性，變換2次又與原來一樣或只有平面位置的改變.

1.2.2 區(qū)別：變換方式不同，導(dǎo)致在位置上有不同的變換結(jié)果，自身各部分間的相對位置發(fā)生改變.

2.四種全等形變換方式間的代換關(guān)系的探究

2.1 問題的引出

四種全等形變換方式都不能從本質(zhì)上改變圖形的形狀、大小，這樣它們之間必有一定的親緣關(guān)系，一個能用另一個代換？一個能用幾個代換？是否能互相代換？是單向的還是雙向的？全等形作圖可以歸根于哪些基本變換作圖？具體可化為以下幾個類似的小問題.

1次平移相當(dāng)于幾次軸對稱？1次軸對稱相當(dāng)于幾次平移？1次旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于幾次軸對稱？1次軸對稱相當(dāng)于幾次旋轉(zhuǎn)？1次中心對稱相當(dāng)于幾次軸對稱？1次軸對稱相當(dāng)于幾次中心對稱？1次平移相當(dāng)于幾次中心對稱？1次中心對稱相當(dāng)于幾次平移？1次旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于幾次中心對稱？1次中心對稱相當(dāng)于幾次旋轉(zhuǎn)？1次旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于幾次平移？1次平移相當(dāng)于幾次旋轉(zhuǎn)？1種變換還可以用幾種其他的變換代換？以上各小問題的最佳次數(shù)？全等形的基本變換存在？是什么？相似形？位似變換？

2.2 猜想

對稱（即軸對稱和中心對稱）是全等形變換的基本變換，所有的全等形變換都可以用1次或2次的同類對稱代換.

2.3 分析

全等形變換不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的平面位置和自身各部分間的相對位置.因此，只要從全等形變換是否改變圖形自身各部分間的相對位置，就可以推出全等形變換的方式.

2.4 驗證

對以上代換的可能性用原理與幾何作圖、代數(shù)解析來證明.

2.4.1 簡單原理與代換的可能性

（1）圖形在變換后圖形上的每個點在平面位置上變化是顯然的.

（2）若在原圖形貼上方位坐標(biāo)架，圖形變換后自身各部分間的相對位置顯然是不變的，就如世界各地不會因地球的運動發(fā)生錯位，而是保持著不變的經(jīng)緯位置.同樣平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱也不會改變相對位置，只有軸對稱會改變相對位置（與對稱軸平行的方向不變，而與對稱軸垂直的方向恰完全相反）.

（3）平移始終不改變自身各部分間的相對位置，特別是整體位置相對不變.這樣其他的變換用平移代換是不可能的.

（4）軸對稱偶數(shù)次時不改變自身各部分間的相對位置，而在奇數(shù)次時改變.

①其他的變換用奇數(shù)次軸對稱代換是不可能的，而用偶數(shù)次軸對稱代換是有可能的；

②軸對稱用其他的變換來代換是不可能的.

（5）平移用偶數(shù)次中心對稱代換有可能.

（6）旋轉(zhuǎn)用數(shù)次中心對稱代換是不可能的，因為旋轉(zhuǎn)會改變對應(yīng)線段的成角，而中心對稱不會改變對應(yīng)線段的成角.

2.4.2 作圖證明與坐標(biāo)證明

作圖證明的說明：由于圖形自身各部分間的相對位置至少要具2個以上的方位來描述，因此三角形最具代表性，這樣點和線段就為其特殊情況，而多邊形和含曲線的圖形就是三角形的引申和推廣.

3.各種全等形變換關(guān)系圖（如圖4）

圖 4圖中箭號→表示“可看作、相當(dāng)于”，其上數(shù)字表示變換次數(shù)，如“軸對稱2平移”表示 “1次平移變換相當(dāng)于2次軸對稱變換”.

4.推廣引申

根據(jù)章士藻的《關(guān)于對稱曲線與曲面方程的幾個定理》可將以上研究的圖形由三角形擴展到一般平面圖形再到空間曲面圖形，以下的結(jié)論也是成立的.

（1）1次平移相當(dāng)于2次軸對稱

（2）1次旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于2次軸對稱

（3）1次中心對稱相當(dāng)于2次軸對稱

（4）1次平移相當(dāng)于2次中心對稱

（5）1次中心對稱相當(dāng)于1次旋轉(zhuǎn)

全等形變換的基本變換是對稱（即軸對稱和中心對稱）.

所有的1次全等形變換可用1次或2次的對稱（即軸對稱和中心對稱）來代換.

相似變換、位似變換的基本變換是相似變換和對稱（即軸對稱和中心對稱）.所有的1次相似變換、位似變換可用1次或2次的對稱（即軸對稱和中心對稱）和1次的相似變換來代換.

5.結(jié) 語

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只對平面內(nèi)全等形及其變換方式作了初步、簡要的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，而對各種變換間的關(guān)系理解與應(yīng)用也只停留在對它們的單一的定義、性質(zhì)、作圖的簡單比較與應(yīng)用上，涉及全等形變換方式間的代換關(guān)系的內(nèi)容研究甚少，本文對全等形變換方式及其之間的關(guān)系進(jìn)行了一點研究，并推廣得出圖形變換的規(guī)律，當(dāng)中用的“簡單原理”、研究方法，僅供參考使用，盼望有拋磚引玉之效.

【參考文獻(xiàn)】

章士藻.關(guān)于對稱曲線與曲面方程的幾個定理.數(shù)學(xué)通訊，1984（11）.