張麗春 李文鈺 楊月婷

【摘要】本文在闡述原函數存在性與函數可積的相關理論基礎上，通過對現行本科高等數學課本中三類可積函數的原函數存在情況進行討論，引申出原函數存在性與函數可積之間的關系，從而得出結論. 并在分析的基礎上舉出實例進行了探討與驗證.

【關鍵詞】原函數;可積函數;間斷點

【分類號】O174

【基金項目】吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目（批準號：2011152）.吉林省教育廳“十二五”規(guī)劃課題（GH150078）.

原函數和函數可積的概念雖然建立的背景不同，但是牛頓―萊布尼茨公式在二者之間建立了計算上的橋梁，將二者有機的結合起來. 卻也因此容易使我們誤認為“一個函數可積，則它的原函數必定存在”或“一個函數的原函數存在，則該函數必定可積”，其實這兩者的關系遠非這樣簡單. 基于此，我們對于原函數存在性與函數可積關系進行詳細的討論.

一、原函數存在性的理論基礎

定理1 若函數f（x）在區(qū)間[a，b]上可積，則積分上限函數F（x）=∫ x af（x）dt必為[a，b]上的連續(xù)函數，且在[a，b]內處處可導. 其中F′（x）=f（x）. F（x）就是f（x）在[a，b]上的一個原函數，也就證明了“連續(xù)函數必存在原函數”的結論.

定理2 （1）若函數f（x）在區(qū)間[a，b]上含有第一類間斷點，則f（x）在[a，b]上不存在原函數;（2）若函數f（x）在區(qū)間[a，b]上有無窮型間斷點，則f（x）在[a，b]上不存在原函數;（3）若函數f（x）在區(qū)間[a，b]上存在原函數，則f（x）在[a，b]上的間斷點是第二類的.

由以上定理可見，連續(xù)函數的原函數一定存在，含有第一類間斷點的函數和含有無窮型的第二類間斷點的函數一定不存在原函數.

二、函數可積性的理論基礎

定理3 若函數f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上可積.

定理4 若函數f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，且有有限個間斷點，則f（x）在[a，b]上可積.

定理5 若函數f（x）在區(qū)間[a，b]上單調，則f（x）在[a，b]上可積.

三、函數可積與原函數存在之間的關系

在高等數學中，可積函數一般可分成三類，即

（1）在[a，b]上連續(xù)的函數f（x）必定可積;

（2）在[a，b]上有有限個間斷點的有界函數f（x）必定可積;

（3）在[a，b]上單調的函數f（x）必定可積.

結論1 在區(qū)間[a，b]上可積的函數f（x）不一定存在原函數.

可積函數的三種類型中，對于第一種類型的可積函數，即如果函數f（x）連續(xù)，由定理1知，f（x）在[a，b]上存在原函數F（x）.

對于第二種類型的可積函數，如果函數f（x）的間斷點是第一類間斷點時，則f（x）的原函數必不存在，否則與定理2（3）相矛盾. 如果f（x）的間斷點是第二類間斷點時，則f（x）的原函數不一定存在.

對于第三種類型的可積函數，分析同上. 如果單調函數f（x）在[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上存在原函數. 如果單調函數f（x）在[a，b]上不連續(xù)，那么f（x）的間斷點只能是第一類間斷點，因此必不存在原函數.

結論2 在區(qū)間[a，b]上存在原函數F（x）的函數f（x）不一定可積.

結論3 存在既不可積又不存在原函數的函數.

結論4 對于連續(xù)函數，可積性與原函數的存在性是統(tǒng)一的;若函數f（x）在[a，b]上可積，且存在一個原函數F（x），則變上限積分∫ x 0f（x）dx是其一原函數.

結論5 若f（x）在[a，b]上可積，且存在原函數F（x），則一定有 ∫ b af（x）dx=F（b）-F（a）.

總之，函數可積與原函數存在是兩個不同的概念，而這兩者之間沒有必然蘊含關系. 即可積函數既可能存在原函數，也可能不存在原函數;反過來，原函數存在的函數，可能可積，也可能不可積. 僅當函數可積或者連續(xù)且存在原函數時，牛頓—萊布尼茨公式才成立，即該條件下存在原函數的函數一定可積，兩個條件缺一不可.

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