陳聰

【摘要】眾所周知，三線共點(diǎn)問(wèn)題在初等幾何證明中占有特殊重要的地位.解決三線共點(diǎn)問(wèn)題的一般方法是找出一個(gè)適當(dāng)?shù)娜切?，使其中的三條線是已知的塞瓦線.例如，三角形的中線或垂直平分線等.然而，相當(dāng)一些涉及三線共點(diǎn)的更普遍問(wèn)題，其中大部分最終仍要?dú)w結(jié)到塞瓦定理.

【關(guān)鍵詞】塞瓦定理；三線共點(diǎn)；證明

定理（塞瓦定理）給定一個(gè)ΔABC和分別位于線段BC，CA，AB上的三個(gè)點(diǎn)A′，B′，C′.線段AA′，BB′，CC′共點(diǎn)的充分必要條件是C′AC′B·A′BA′C·B′CB′A=1.

找一個(gè)滿足上面比值恒等式的適當(dāng)三角形并非容易的事情.如何解決這個(gè)問(wèn)題并正確應(yīng)用塞瓦定理？在此，筆者總結(jié)出證明三線共點(diǎn)問(wèn)題基本方法的兩個(gè)重要步驟.為便于歸納總結(jié)，我們以如下具體問(wèn)題為背景來(lái)進(jìn)行說(shuō)明.

問(wèn)題給定△ABC，構(gòu)造矩形ACDE，AFGB和BHIC使它們都在△ABC的外側(cè).證明線段EF，GH和ID的垂直平分線共點(diǎn).

這是聯(lián)系三角形邊的矩形相關(guān)問(wèn)題的一種特殊情況.要想應(yīng)用塞瓦定理證明此問(wèn)題，困難在于所給的已知條件過(guò)于簡(jiǎn)單.不像其他類似問(wèn)題通常都有附加限制，如用正方形代替矩形或給定的三角形是一特殊三角形.此外，問(wèn)題中三條垂直平分線交點(diǎn)的位置與三個(gè)矩形的高度有關(guān)，況且它不會(huì)讓我們立即想到與△ABC的聯(lián)系.

解決此問(wèn)題的關(guān)鍵就是要牢牢把握已經(jīng)給定的數(shù)量關(guān)系，即ΔABC的三個(gè)角度和三邊的長(zhǎng)度.我們分別用x，y和z表示三個(gè)矩形的高度.

步驟1構(gòu)造一個(gè)三角形，并要求所給定的線是塞瓦線.

（1）作線段FA，EA和CI的垂直平分線，并組成一個(gè)△O1O2O3.其中O1，O2，O3分別是△EAF、△GHB和△CDI的外心.再作EF、GH和ID的垂直平分線h1，h2，h3（圖1）.顯然，h1過(guò)點(diǎn)O1，h2過(guò)點(diǎn)O2，h3過(guò)點(diǎn)O3.于是，△ABC：△O1O2O3且線段h1，h2，h3是△O1O2O3的塞瓦線.

（2）在△ABC中，作平行線AA′∥h1、BB′∥h2和CC′∥h3.這樣就獲得了△ABC的塞瓦線.為此，我們只需證明線段AA′、BB′和CC′共點(diǎn)即可.

步驟2應(yīng)用塞瓦定理.為確保目的明確，我們?cè)诒硎救叨ɡ碇械谋戎禃r(shí)，只使用△ABC的邊和角以及矩形的高x，y，z.

在△ABA′和△ACA′中，分別使用正弦定理，可得

A′BAA′=sin∠A1sin∠B，A′CAA′=sin∠A2sin∠C.

兩式相除，有

A′BA′C=sin∠A1sin∠A2·sin∠Csin∠B.

注意到∠A1≡∠（O1O2，h1）≡∠F1；∠A2≡∠（O1O3，h1）≡∠E2.于是，在△EFA中再使用正弦定理，可得

sin∠A1sin∠A2=sin∠F1sin∠E2=xy.

因此A′BA′C=xy·sin∠Csin∠B.

同樣，我們可直接寫出塞瓦定理中的另外兩個(gè)比值分別為

B′CB′A=yz·sin∠Asin∠C；C′AC′B=zx·sin∠Bsin∠A.

綜上可得

A′BA′C·B′CB′A·C′AC′B=xy·yz·zx·sin∠Csin∠B·sin∠Asin∠C·sin∠Bsin∠A=1.

這就證明了AA′，BB′，CC′共點(diǎn).因此，h1，h2，h3也共點(diǎn).

最后，需提請(qǐng)讀者注意：我們一旦確定了三角形中塞瓦線的位置，應(yīng)嘗試只用初始條件來(lái)表達(dá)塞瓦定理中的每個(gè)比值.換句話說(shuō)，大家應(yīng)該嚴(yán)格使用給定的假設(shè)來(lái)寫出三個(gè)比值，并且避免直接由它們來(lái)推斷結(jié)論.