王鋒

【摘要】如何使用正、余弦定理判斷三角形的形狀？

高中數(shù)學(xué)中，有許多關(guān)于三角形形狀的判斷的題型，大部分學(xué)生解決起來(lái)感覺(jué)很困難，不知從何入手，不知如何使用兩個(gè)定理，下面本文作者就從一個(gè)實(shí)例和三個(gè)題組來(lái)剖析如何巧妙地判斷三角形的形狀.

【關(guān)鍵詞】三角形；形狀；判斷

例在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，試確定△ABC的形狀.

思路點(diǎn)撥充分運(yùn)用正弦定理和余弦定理，可利用邊的關(guān)系判斷，也可轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系來(lái)判斷.

精解詳析法一：利用邊的關(guān)系來(lái)判斷.

由正弦定理得sinC[]sinB=c[]b.

又2cosAsinB=sinC，所以cosA=sinC[]2sinB=c[]2b.

由余弦定理有cosA=b2+c2-a2[]2bc.

所以c[]2b=b2+c2-a2[]2bc.即c2=b2+c2-a2.

所以a=b.

又因?yàn)椋╝+b+c）（a+b-c）=3ab，

所以（a+b）2-c2=3ab.所以4b2-c2=3b2.

所以b=c.所以a=b=c.

因此△ABC為等邊三角形.

法二：利用角的關(guān)系來(lái)判定.

因?yàn)锳+B+C=180°，所以sinC=sin（A+B）.

又因?yàn)?cosAsinB=sinC，

所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

所以sin（A-B）=0.

因?yàn)锳，B均為三角形的內(nèi)角，所以A=B.

又由（a+b+c）（a+b-c）=3ab.

得（a+b）2-c2=3ab.即a2+b2-c2=ab.

所以cosC=a2+b2-c2p[]2ab=ab[]2ab=1[]2.

因?yàn)?°

因此△ABC為等邊三角形.

小結(jié)

1.判斷三角形的形狀，可以從考察三邊的關(guān)系入手，即把條件中的“邊角關(guān)系”利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為“邊邊關(guān)系”，進(jìn)行判斷；也可以從三個(gè)角的關(guān)系入手，即把條件轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系，結(jié)合內(nèi)角和定理作出判斷.

2.判斷三角形形狀時(shí)要注意“等腰直角三角形”與“等腰或直角三角形”的區(qū)別.

練習(xí)1若在△ABC中，acos（B+C）=bcos（A+C），則△ABC一定是（）.

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.直角三角形

解析法一：（邊化角）

由B+C=180°-A，A+C=180°-B，

則原式可化為-acosA=-bcosB，

即acosA=bcosB.

∴2RsinAcosA=2RsinBcosB.

∴sin2A=sin2B.

∵2A，2B∈（0，2π），∴2A=2B或2A=π-2B，

∴A=B或A+B=π[]2.

故△ABC為等腰三角形或直角三角形.

法二：（角化邊）

由法一，得acosA=bcosB，由余弦定理，得

a·b2+c2-a2[]2bc=b·a2+c2-b2[]2ac，即a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2），整理，得（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，

∴a2-b2=0或者a2+b2-c2=0.即a=b或a2+b2=c2.

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.答案：C

練習(xí)2.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形狀為（）.

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長(zhǎng)度決定

解析設(shè)直角三角形三邊為a，b，c且c2=a2+b2，增加的長(zhǎng)度為m，

即cosC=（a+m）2+（b+m）2-（c+m）2[]2（a+m）（b+m）

=a2+b2+2am+2bm+m2-c2-2cm[]2（a+m）（b+m）

=2（a+b-c）m+m2[]2（a+m）（b+m）>0.

故C為銳角.答案：A.

練習(xí)3在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a[]cosA=b[]cosB=c[]cosC，試判斷△ABC的形狀.

解法一：由正弦定理a[]sinA=b[]sinB=c[]sinC=2R，得

a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

代入a[]cosA=b[]cosB=c[]cosC中，得

2RsinA[]cosA=2RsinB[]cosB=2RsinC[]cosC，

即sinA[]cosA=sinB[]cosB=sinC[]cosC，

∴tanA=tanB=tanC.

又∵A，B，C是△ABC的內(nèi)角，∴A=B=C.

∴△ABC是等邊三角形.

法二：由余弦定理得

a·2bc[]b2+c2-a2=b·2ac[]a2+c2-b2=c·2ab[]a2+b2-c2.

∴b2+c2-a2=a2+c2-b2=a2+b2-c2.

得a2=b2=c2，即a=b=c.

∴△ABC是等邊三角形.

總之，判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系進(jìn)行判斷，主要有如下兩條途徑：（1）利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；（2）利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀.在兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解.