李萍萍 楊月婷

【摘要】 數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，帶有一種獨特的理性美，無論是在內(nèi)容或結(jié)構(gòu)還是方法上都具有特殊的美——數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)美的基本特征是簡潔性、和諧性和奇異性. 數(shù)學(xué)家們在追求美的過程中也推動了數(shù)學(xué)整體的發(fā)展，為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展作出巨大的貢獻.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)美；簡潔性；和諧性；奇異性

自然界是美的，美源于自然； 科學(xué)是美的，美體現(xiàn)科學(xué)； 數(shù)學(xué)是美的，美是數(shù)學(xué)的靈魂. 凡是受過教育的人，大都不同程度地領(lǐng)悟過數(shù)學(xué)的美. 數(shù)學(xué)美作為社會實踐活動的產(chǎn)物，在客觀上構(gòu)成人的審美對象，是一種在解釋自然、宇宙規(guī)律的過程中體現(xiàn)出來的美，它是一種帶有數(shù)學(xué)科學(xué)特征的理性美.

1. 簡潔美

在數(shù)學(xué)美的各個屬性里，首先要推崇的是簡潔性. 數(shù)學(xué)的簡潔美，并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡單而是指數(shù)學(xué)的表達形式和數(shù)學(xué)理論體系的結(jié)構(gòu)簡潔. 它包括符號美、公式美等. 萊布尼茲用“ f（x）dx”這一簡潔的符號表達了積分概念的豐富的思想，刻畫出“人類精神的最高勝利”，積分號“ ”是英語單詞總和“sum”中將首個字母“s”拉長而演變而來的，既簡潔深刻，又修長優(yōu)美. 因此，有些數(shù)學(xué)家把微積分比作“美女” . 還有像“∞”“≈” 等符號，也都有著無與倫比的美， 更能形象直觀地刻畫所代表的事物，使人易于接受.

數(shù)學(xué)中的許多公式、定理、公理、論證都充滿著簡潔的特征，往往許多現(xiàn)象可以歸納為數(shù)學(xué)的一個公式、一個方程、一個函數(shù)關(guān)系. 例如，歐拉給出的公式：V - E + F = 2，其中V是頂點數(shù)，E是棱數(shù)，F(xiàn)是面數(shù). 世間的多面體有多少，沒有人能說清楚，但它們的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性.

數(shù)學(xué)美的簡潔性，還常常作為衡量思維方法之優(yōu)劣和解題水平之高低的重要標(biāo)準(zhǔn)，也是數(shù)學(xué)家追求的目標(biāo). 傅里葉在創(chuàng)立“傅里葉級數(shù)”時，也進行了有關(guān)簡潔性的考慮，正如他自己所說： “每一個數(shù)學(xué)函數(shù)，無論多復(fù)雜，總可以表示為某些簡單的基本函數(shù)（即相當(dāng)于形成音樂中的純音，或光學(xué)中的純色的那種函數(shù)）之和.”眾所周知，數(shù)學(xué)是邏輯地展開的，因此簡潔性的要求在數(shù)學(xué)中就集中地反映在對公理的要求上： 對單個公理來說，要求它們是“自明的”； 對整個公理系統(tǒng)來說，則要求是相容、獨立和完備的. 而第五公設(shè)卻與公理的簡潔性相悖，其在陳述與內(nèi)容上的復(fù)雜和累贅，使得古代學(xué)者對此產(chǎn)生懷疑，因而紛紛致力于第五公設(shè)的證明，促使了非歐幾何的形成，從而推動著數(shù)學(xué)的發(fā)展.

2. 和諧美

徐利治教授提到過，“美”的基本含義是： 凡事物關(guān)系（及其呈現(xiàn)形式）的和諧性與簡單性就是美，凡是和諧的必然是簡單的，所以“和諧性”是美的本質(zhì)核心. 著名德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魏爾說： “美和對稱緊密相連.”作為研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)，自然會滲透著圓滿和自然的對稱美. 例如： 函數(shù)與反函數(shù)圖像關(guān)于直線y = x對稱，代數(shù)中的代數(shù)式化簡時的共軛因子，多項式方程虛根的成對出現(xiàn)，都給人以一種對稱性的美感. 在抽象代數(shù)中，群是刻畫事物對稱性的工具，在群論的基礎(chǔ)上給出了晶體對稱性定律，這是群論對結(jié)晶學(xué)也是對自然科學(xué)的重要應(yīng)用，它也推動了群論本身的發(fā)展. 對于對稱美的追求，早已超越現(xiàn)代數(shù)學(xué)而滲透到各門自然科學(xué)之中，并且越來越多地獲得更為豐富的成果.

談到幾何之美，人們更忘不了比例美. 它也是和諧美的一個重要方面，美麗的“黃金分割”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美的和諧性，它的這種比例性給人以和諧悅目的感覺.達·芬奇的《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉就符合黃金比例；世界上最著名的建筑物中幾乎都包含著“黃金分割比”，例如巴黎圣母院的正面高度和寬度的比例就是8 ∶ 5，它的每一扇窗戶長寬比例也是如此； 攝影時相機里通常會有九宮格功能， 九宮格的實質(zhì)是黃金分割的簡化版，在取景時可以把景物放在九宮格中，這樣拍攝出來的景物也給人一種和諧美； 黃金分割還為最優(yōu)化方法的建立提供了依據(jù)， 實驗統(tǒng)計表明，對于一個線性搜索問題，用“0.618法”做16次實驗，就可以取得“對分法”做2500次試驗所達的效果，它能使我們用較少的實驗找到合適的工藝條件和合理的配方. 意大利文藝復(fù)興時期的理論家帕喬里說過： “一些企求的物品，都得服從于黃金分割率”，這就是說，“黃金分割”乃是人們所追求的一種形體美和勻稱美.

3. 奇異美

奇異性也是數(shù)學(xué)美的基本特征之一，它給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了新的活力. 徐利治教授說： “奇異是一種美，奇異到極度更是一種美.”歐拉將數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)的最基本單位1和i，緊接在1后面的一個原始數(shù)2，自然對數(shù)的底e，圓周率π用一個式子e-2πi = 1聯(lián)系起來，即：

e-2πi = cos（-2π） + i sin（-2π） = 1.

考察一下表示這些關(guān)系的要素和運算的性質(zhì)，就會為這些關(guān)系所表示出的高度神秘性和極度的奇異性所傾倒.

奇異性常常與數(shù)學(xué)反例聯(lián)系在一起，而反例的得出則往往導(dǎo)致認(rèn)識的深化和理論的重大發(fā)展. 18世紀(jì)后期的一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，連續(xù)函數(shù)至少在某些點處可以微分，然而德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯卻在1860年找到了一個處處連續(xù)而又處處不可微的函數(shù). 這個反例的發(fā)現(xiàn)，不僅沒有影響到函數(shù)的連續(xù)性概念的研究，相反的，對于函數(shù)的連續(xù)性概念得到了更為深入的理解，大大推動了數(shù)學(xué)分析的發(fā)展.

數(shù)學(xué)中類似于上面奇異例子還可以列舉很多，抓住奇異現(xiàn)象，關(guān)注奇特的結(jié)果，是數(shù)學(xué)研究中極具誘惑力的內(nèi)容之一，是數(shù)學(xué)研究不盡源泉的一個動力.

綜上所述，我們淺析了數(shù)學(xué)美的基本特征： 簡潔性、和諧性和奇異性. 對于數(shù)學(xué)美的追求，歸根結(jié)底是對于數(shù)學(xué)真理的追求，從各個數(shù)學(xué)分支的展開到整個數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展，就像一個故事那樣，顯得跌宕起伏和扣人心弦，簡潔美、和諧美和奇異美它們之間有機地結(jié)合，組成一個完美的整體，構(gòu)成一幅至善至美的數(shù)學(xué)畫卷. 而恰恰是數(shù)學(xué)家們在追求美的過程中，推動著新的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生， 數(shù)學(xué)整體的發(fā)展又為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展作出了巨大的貢獻.